吳 苑，喬 丹，李曉軍

（河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100）

波動方程是一類重要的偏微分方程，具有廣泛的物理背景，主要用于描述自然界中各種波動現(xiàn)象，例如聲波、光波和無線電波等，為聲學(xué)、電磁學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域的研究提供了強(qiáng)有力的科學(xué)理論依據(jù)。目前已有許多學(xué)者對波動方程進(jìn)行了研究，如：文獻(xiàn)[1-2]研究了有界區(qū)域上自治隨機(jī)波動方程所確定的隨機(jī)動力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子的存在性，文獻(xiàn)[3-4]研究了帶強(qiáng)阻尼波方程吸引子的存在性。文獻(xiàn)[5-6]對非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)進(jìn)行了研究，通過引入兩個驅(qū)動動力系統(tǒng)，證明了非自治隨機(jī)動力系統(tǒng)隨機(jī)吸引子存在的充分必要條件。關(guān)于隨機(jī)波動方程的其他研究參見文獻(xiàn)[7-8]。目前還沒有文獻(xiàn)研究無界域上帶有非線性阻尼以及強(qiáng)阻尼的隨機(jī)波動方程。

本文將研究無界域上帶有非線性阻尼以及強(qiáng)阻尼的隨機(jī)波動方程。在無界域的情況下，由于Sobolev嵌入緊性的缺失，可以利用有界球上的一致估計以及無界域上的尾部一致小估計證明動力系統(tǒng)的漸近緊性，如文獻(xiàn)[9]。本文采用對解的一致估計和區(qū)域分割的方法來克服Rn上Sobolev嵌入缺乏緊性的困難，即在有界域上對相應(yīng)的解進(jìn)行漸近估計，對相應(yīng)無界域上的解進(jìn)行一致小估計，并結(jié)合解的分解估計得到了該隨機(jī)動力系統(tǒng)的漸近緊性，進(jìn)而得到隨機(jī)吸引子的存在性。

本文中，||?||和(?,?)分別表示L2(Rn)上的范數(shù)和內(nèi)積，||?||X表示一般的Banach空間上的范數(shù)，字母c表示某一正常數(shù)，且其值可能每行各不相同，字母ci(i= 1,2,…)表示特定常數(shù)。

1 準(zhǔn)備知識

令X是可分的Banach空間，(Ω,F,P)是概率空間，其中Ω ={ω∈C(R,R):ω(0)= 0}，F(xiàn)是Ω上緊開拓?fù)湔T導(dǎo)的Borelσ-代數(shù)，P表示(Ω,F)上相應(yīng)的Wiener測度。定義變換

1）Φ( ?,τ,?,?):R+× Ω ×X→X是(B(R+)×F×B(X),B(X))-可測的；

2）Φ(0,τ,ω2,?)是X上的恒同映射；

3）Φ(t+s,τ,ω,?)= Φ(t,τ+s,θsω,?)°Φ(s,τ,ω,?)；

4）Φ(t,τ,ω,?):X→X是連續(xù)的。

定義1.4 稱K={K(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D是Φ 的D-拉回隨機(jī)吸收集，若對任意的t∈R+，τ∈R，ω∈Ω，D?∈D，存在T=T(D?,τ,ω)> 0，使得對任意的t≥T，有

定義1.5 稱A={A(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D是Φ 的D-拉回隨機(jī)吸引子，若對任意的t∈R+，τ∈R，ω∈Ω，有

1）A(τ,ω)在X上是緊的且A關(guān)于F在Ω中是可測的；

2）A是不變的，即Φ(t,τ,ω,A(τ,ω))=A(t+τ,θtω)；

3）A吸引D中的任意集合，即對任意的D?={D?(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D，

其中dH是X上的Hausdorff半距離。

定理1[5]令D是X上包含閉的非空子集族，若Φ在X上是D-拉回漸近緊的，且在D上存在一個閉可測D-拉回隨機(jī)吸引集K，那么，對任意的τ∈R，ω∈Ω，Φ在D上存在唯一的D-拉回隨機(jī)吸引子A有

2 隨機(jī)動力系統(tǒng)

本節(jié)證明式（1）～（2）的解可以生成隨機(jī)動力系統(tǒng)，考慮一維Ornstein - Uhlenbeck方程

初值為

如同文獻(xiàn)[5]中的證明，有如下引理：

引理2.2 令φ(t+τ,τ,θ-τω,φ0)=(u(t+τ,τ,θ-τω,u0),v(t+τ,τ,θ-τω,v0))T，其中φ0=(u0,v0)T，且式（3）～（7）成立，則對任意的ω∈Ω，τ∈R，φ(τ,τ,ω,φ0)=φ0∈E(Rn)，式（14）～（16）在E(Rn)上存在唯一解φ( ?,τ,ω,φ0)∈C([τ,+ ∞),E(Rn))，且該解連續(xù)依賴于初值φ0，此時式（1）～（2）的解生成連續(xù)的隨機(jī)動力系統(tǒng)Φ:R+×R× Ω ×E(Rn)→E(Rn)，

3 解的一致估計

為證明D-拉回隨機(jī)吸收集的存在性以及隨機(jī)動力系統(tǒng)Φ的D-拉回漸近緊性，下面對式（14）～（16）的解進(jìn)行一致估計。

現(xiàn)對式（21）逐項(xiàng)進(jìn)行估計。應(yīng)用Cauchy不等式可得

由假設(shè)（H3）、式（32）和式（34）可知結(jié)論成立。

由上述結(jié)論可得以下引理。

引理3.2 設(shè)Q(x)∈H1(Rn)，假設(shè)（H1）～（H3）成立，則定義在E(Rn)上的連續(xù)動力系統(tǒng)Φ(t,τ,ω,φ0)有隨機(jī)拉回吸收集B={B(τ,ω):τ∈R,ω∈Ω}∈D，其中B(τ,ω)定義為