姜付錦，韓 燦

(1.黃陂區(qū)第一中學(xué)，湖北 武漢 430300；2. 黃陂區(qū)第三中學(xué),湖北 武漢 430300)

1 題目(威爾伯福斯擺/韋氏擺)

如圖1所示，韋氏擺由懸掛在豎直方向的螺旋彈簧和連接在彈簧末端的物塊組成，物塊既能沿彈簧上下振動(dòng)，又能繞其豎直軸旋轉(zhuǎn). 請(qǐng)?zhí)骄窟@種擺的運(yùn)動(dòng)行為，以及它是如何依賴于相關(guān)參數(shù)的.

圖1 韋氏擺

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，可觀察到振子時(shí)而上下振動(dòng)，時(shí)而繞豎直軸左右振動(dòng)，當(dāng)上下振動(dòng)幅度最大時(shí)，左右振動(dòng)的幅度最小；當(dāng)左右振動(dòng)幅度最大時(shí)，上下振動(dòng)的幅度最小，周而復(fù)始.

2 建立模型

圖2 彈簧的模型

圖3 彈簧絲與水平的夾角

圖4 彈簧絲的受力分析圖

根據(jù)參考文獻(xiàn)[1]中的思想，可以把韋氏擺等效成彈簧振子與扭擺的耦合，彈簧絲的切線與水平面不平行[2]. 設(shè)彈簧的扭轉(zhuǎn)系數(shù)為k2，彈簧的折彎系數(shù)為k1，彈簧振子的質(zhì)量為m，彈簧的質(zhì)量不考慮，系統(tǒng)繞扭轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I.當(dāng)振子上下運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧的軸線長(zhǎng)度是變化的，但是考慮彈簧上下運(yùn)動(dòng)的距離遠(yuǎn)小于彈簧開(kāi)始時(shí)軸線長(zhǎng)度，所以可以認(rèn)為彈簧絲切線與水平面的夾角不變，彈簧產(chǎn)生的扭矩M=k2θ(t)，彈簧的折彎力F=k1x(t)，彈簧上下振動(dòng)的位移為x(t)，左右轉(zhuǎn)動(dòng)的角度為θ(t)，則系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)微分方程組為

(1)

(2)

2.1 歸一化研究耦合因子的作用

把式(1)、式(2)整理后得

(3)

(4)

(5)

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為

x(0)=0,x′(0)=v0,θ(0)=0,θ′(0)=0

(6)

聯(lián)立式(3)、式(4)、式(6)求得:

(7)

(8)

(9)

2.2 耦合因子不同時(shí)振動(dòng)規(guī)律

(10)

則有

(11)

(12)

式(11)、式(12)的解為

(13)

(14)

2.3 系統(tǒng)簡(jiǎn)正頻率的研究[5]

為了進(jìn)一步研究系統(tǒng)簡(jiǎn)正頻率與系統(tǒng)物理量之間的關(guān)系，可以把式(3)、式(4)中相關(guān)系數(shù)作如下變換：

(15)

(16)

在式(15)、式(16)中令

(17)

式(15)、式(16)是二階常系數(shù)齊次線性微分方程組，具有以下形式：

x=A1ept,θ=A2ept

(18)

聯(lián)立式(15)、式(16)、式(18)，為了讓式(15)、式(16)有解，則以下行列式應(yīng)為零

(19)

式(19)的解為

(20)

因?yàn)橄到y(tǒng)振動(dòng)的簡(jiǎn)正頻率為正值，所以取式(20)中兩個(gè)正值即可. 還可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)振動(dòng)的兩個(gè)簡(jiǎn)正頻率與系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)緊密相關(guān)，這與參考文獻(xiàn)[3]、[6]中的解析解是吻合的.

3 數(shù)值模擬

為了研究問(wèn)題的方便，根據(jù)式(11)、式(12)歸一化其他物理量后，得到圖5—圖8.

圖5 c1=c2=0.4

圖6 c1=c2=0.1

圖7 c1=c2=0.03

圖8 c1=0.04,c2=0.01

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

圖9所示為實(shí)驗(yàn)裝置，振子內(nèi)置一個(gè)6軸陀螺儀芯片且?guī)o(wú)線傳輸功能，振子兩邊各有一個(gè)調(diào)節(jié)螺桿，調(diào)節(jié)它可以改變振子的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，內(nèi)置芯片可以測(cè)量振子在x、y、z3個(gè)方向的加速度和角速度. 現(xiàn)測(cè)量彈簧的勁度系數(shù)為5.158 N/m，振子的質(zhì)量為57.3 g，彈簧的匝數(shù)為41，彈簧的半徑為1.65 cm，彈簧的總長(zhǎng)度為2.962 5 m，彈簧絲切線與水平面夾角的正弦值為tanα=0.059. 由于彈簧振子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)不規(guī)則，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量很難測(cè)量，彈簧絲的折彎系數(shù)和扭轉(zhuǎn)系數(shù)也無(wú)法測(cè)量，所以以下實(shí)驗(yàn)只是一種驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)：讓彈簧振子在豎直方向上小幅度振動(dòng)，把彈簧振子的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與上面的數(shù)值模擬進(jìn)行比對(duì)，研究其是否能達(dá)到系統(tǒng)內(nèi)共振.在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中彈簧振子內(nèi)置芯片會(huì)把測(cè)量數(shù)據(jù)無(wú)線傳輸?shù)诫娔X中，電腦利用軟件處理數(shù)據(jù)作圖，如圖10、圖11、圖12、圖13所示.

圖9 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖10 沒(méi)有達(dá)到共振時(shí)角速度、加速度與時(shí)間關(guān)系

圖11 接近共振時(shí)角速度、加速度與時(shí)間關(guān)系

圖12 共振時(shí)角速度、加速度與時(shí)間關(guān)系

圖13 接近共振時(shí)兩個(gè)方向應(yīng)力與時(shí)間關(guān)系

如圖10所示，振子的角速度是周期性變化的，當(dāng)振子的角速度為最大時(shí)，振子上下振動(dòng)的加速度最小但是沒(méi)有達(dá)到零，這是因?yàn)閺椈烧褡优c扭擺的兩個(gè)耦合因子并沒(méi)有調(diào)到完全相等所導(dǎo)致的；若緩慢調(diào)節(jié)振子兩邊的螺桿改變其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會(huì)逐漸達(dá)到共振，這與參考文獻(xiàn)[1]中實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象是吻合的.

當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到共振時(shí)，拍的周期約27.647 s，包絡(luò)面內(nèi)大約有40個(gè)波形，如圖11、圖12所示，利用拍的相關(guān)知識(shí)可以計(jì)算得兩個(gè)分振動(dòng)的圓頻率分別為ω1=8.977 rad/s,ω2=9.204 rad/s，折彎勁度系數(shù)和扭轉(zhuǎn)勁度系數(shù)大約分別為k1=4.44 N/m,k2=5.05×10-4N·m/rad，數(shù)值模擬如圖14所示. 圖13是通過(guò)兩個(gè)應(yīng)力傳感器測(cè)量彈簧在兩個(gè)方向上應(yīng)力與時(shí)間的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)豎直加速度最大時(shí)，豎直方向應(yīng)力也是最大的，當(dāng)水平方向角速度最大時(shí)，水平方向上的應(yīng)力也是最大的，應(yīng)力與時(shí)間關(guān)系之所以不是連續(xù)變化的，是因?yàn)樾酒跓o(wú)線傳輸數(shù)據(jù)時(shí)有少量數(shù)據(jù)丟失以及網(wǎng)絡(luò)不穩(wěn)定.

圖14 數(shù)值模擬角速度、加速度與時(shí)間關(guān)系

5 結(jié)語(yǔ)

致謝:本文中的測(cè)量電路設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理是由筆者的一位朋友——孫月明老師完成，他是一位精通電子電路和單片機(jī)設(shè)計(jì)的老師；在數(shù)學(xué)建模分析時(shí)得到了筆者的一位學(xué)生——電子工程師李文成的精心指點(diǎn)，在此特別感謝李文成工程師和孫月明老師對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析與解決所付出的不懈努力！