王 春，陳俑志，馬玉婷

（四川輕化工大學a.機械工程學院；b.數學與統(tǒng)計學院，四川 自貢 643000）

引 言

發(fā)展新能源汽車是我國從汽車大國邁向汽車強國的必由之路，是應對氣候變化、推動綠色發(fā)展的戰(zhàn)略舉措。國務院在《國務院辦公廳關于印發(fā)新能源汽車產業(yè)發(fā)展規(guī)劃（2021—2035 年）的通知》中，將突破整車智能能量管理控制納入深化“三縱三橫”的研發(fā)布局中［1］。而超級電容由于其功率密度高、充放電循環(huán)壽命長等特點越來越廣泛地應用于新能源汽車儲能系統(tǒng)［2-5］。

對于新能源汽車而言，超級電容（組）的模型精度直接關系到車輛的安全性、能量決策和使用壽命等［6］。但超級電容由于內部殘留電荷和自放電效應的影響，其內部狀態(tài)會發(fā)生不確定變化，并不能輕易得到其真實工作狀態(tài)［7-8］。因此，為了更好地對超級電容進行狀態(tài)估計和優(yōu)化控制，必須建立能夠準確反映超級電容工作特性的模型。

目前，常見的超級電容等效電路模型有Rint 模型、Thevenin 模型和GNL 模型等［9-11］。一般地，相較于電池的充放電曲線，超級電容具有更好的線性。因此，眾多學者采用形式最為簡單，只考慮了歐姆內阻的Rint模型完成超級電容建模。然而，經過實驗對比，超級電容還具有一定的極化作用和自放電現象，故能描述極化作用的Thevenin 模型和能描述自放電現象的GNL 模型也常常用于建模過程中［12-15］。但單一模型并不能保證在整個超級電容工作區(qū)段內都保持最優(yōu)精度。換言之，在不同的工作區(qū)段，不同的模型有著各自的優(yōu)勢，這表明模型的精度還有進一步提高的可能。

基于此，對上述3 種模型分別進行建模，得到了這3種模型在UDDS（Urban Dynamometer Driving Schedule）工況下的端電壓殘差情況，并提出融合模型概念。在每一時刻對這3 種模型的優(yōu)先度進行判斷，采用最優(yōu)的模型作為當前時刻模型。最終模型是由每個時刻的最優(yōu)模型組合而成，以保證在整個工作區(qū)段都能保持最高的精度。

1 超級電容模型解析

超級電容不同于傳統(tǒng)化學電源，其儲能過程并不會發(fā)生化學反應，但由于內部殘留電荷、自放電效應和環(huán)境等因素的影響，其內部狀態(tài)會隨時間而變化［16］。用等效電路模型代替其真實工作情況雖然會存在一定誤差，但其操作相對簡單，可行性更高。

以下分別介紹3 種模型（Rint 模型、Thevenin 模型和GNL模型）的電路結構和電路方程［9-11］。

Rint 模型由電源模塊和內阻模塊兩部分組成，其電路結構如圖1所示。

圖1 Rint模型

圖1 中，Uoc為電源模塊；R0為歐姆內阻模塊；iL為端電流；Ut為端電壓。其數學關系如下：

對式（1）進行離散化處理得式（2）：

式中，Ut,k，Uoc,k，iL,k分別為Ut，Uoc，iL在k 時刻所對應的值，下文中物理量下標k 的用法同樣地表示在k 時刻下該物理量所對應的值，下標k+1 表示在k+1 時刻下該物理量所對應的值。

Thevenin 模型是在Rint 模型的基礎上串聯了一組RC 網絡模塊，用以描述超級電容的極化特性。由電源模塊、內阻模塊以及RC 網絡模塊3 個模塊組成，其電路結構如圖2所示。

圖2 Thevenin模型

圖2 中，RD、CD屬于RC網絡模塊,分別為極化內阻和極化電容；UD為RC 網絡模塊的極化電壓。其電路的數學關系式如下：

式（4）中，τ為時間常數；Δt為采樣時間。

GNL 模型是在Rint模型的基礎上串聯兩組RC 網絡模塊（一組表示電化學極化，另一組表示濃差極化），同時加入了自放電內阻模塊，其電路結構如圖3所示。

圖3 GNL模型

圖3 中，R1、R2均表示極化內阻；C1、C2均表示極化電容；U1、U2分別為兩組RC 電路的極化電壓；Re為支路歐姆內阻；Rs為自放電內阻；I 為干路電流；Im為支路電流；U為自放電內阻電壓。該電路的電路方程如下：

式（5）為GNL模型的數學表達式，式（6）為電流對時間積分所得的t 時刻超級電容荷電狀態(tài)方程。其中，Q0為電容總容量；η為庫倫效率（單次充放電中超級電容放電量與充電量之比），其值默認為1；SOC（State of Charge）為電源荷電狀態(tài)，其值為當前剩余容量與最大可用容量的比值0~100%；U1,t, U2,t分別為U1, U2在t 時刻下的值。

將式（5）和式（6）進行離散化并整理后，得到狀態(tài)空間方程如式（7）和式（8）所示：

式（7）中，a，b，c，d，e，f，g，h 為模型參數；C 為電路的總電容；wk為系統(tǒng)噪聲。

2 基于遺傳算法的離線參數辨識

2.1 遺傳算法

遺傳算法是一種基于生物自然選擇的隨機搜索算法。與傳統(tǒng)搜索算法不同，遺傳算法是從隨機生成的一組初始解（稱為“種群”）開始搜索的［16］。種群的每個個體都是問題的1 個解，個體之間進行選擇、交叉、變異得到更優(yōu)秀的子代并淘汰母代［17］。經過若干代后，算法收斂于最好的子代，它很可能就是問題的最優(yōu)解或者次優(yōu)解。其一般步驟如下：

（1）編碼，即將初始解（初始種群）進行編碼方便后續(xù)運算，編碼方法可以采用格雷碼（Binary Gray Code）、BCD碼（Binary-Coded Decimal）等。

（2）選擇，即先根據實際問題對初始種群的每個個體進行適應度計算（依照適應度越高該個體越接近真實解的原則，結合實際問題進行求解），然后參照適應度值對母代進行選擇（每兩個一對，總對數和母代個體數相同，單個個體可以被多次選擇，但不能選擇同一個個體作為一對），適應度越高，被選擇或者重復選擇的概率就越高。

（3）交叉，即對選擇出的母代個體進行交叉操作，交叉位置由交叉概率隨機決定，交叉結束淘汰母代個體，得到還未發(fā)生變異的子代。

（4）變異，即最后對交叉產生的個體進行變異操作，得到最終的子代（變異位置隨機決定，是否變異由變異概率確定，不是每個個體都一定會變異）。

（5）解碼，即得到子代后對子代進行判斷，如果不能滿足問題要求，則將子代作為新的母代返回上述流程中的（2）“選擇”重新進行循環(huán)；如果滿足要求，則解碼最優(yōu)的1個子代個體作為最終解輸出。

2.2 HPPC混合動力脈沖特性測試

HPPC（Hybrid Pulse Power Characteristic）混合動力脈沖特性測試常用于模型參數的離線辨識，采用連續(xù)的脈沖激勵序列對超級電容進行充放電操作，以獲得超級電容在不同SOC 值下的動態(tài)特性。超級電容端電壓范圍設定為0.5 V ～2.7 V，且設定Uoc=0.5 V 時，SOC=0%，Uoc=2.7 V 時，SOC=100%。本次使用的HPPC 測試實驗具體流程如下：

（1）超級電容靜置180 s 后，以1 A 恒流充電，在電壓達到上截止電壓2.7 V 后，斷開電源靜置兩小時，此時SOC=100%。

（2）靜置結束后，①以1 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以1 A 恒流充電5 s，靜置10 s；②接著以5 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以5 A恒流充電5 s，靜置10 s；③最后以10 A 恒流放電5 s，靜置10 s，再以10 A 恒流充電5 s，靜置10 s；令計數值j= 0。

（3）以1 A 恒流放出額定容量10% 的電量，靜置300 s，令j=j+ 1；

（4）如果j< 10，則返回步驟（2），反之則結束循環(huán)。循環(huán)結束時SOC=0%。

超級電容在混合脈沖測試階段的電流和電壓曲線分別如圖4和圖5所示。

圖4 HPPC實驗電流圖

圖5 HPPC實驗電壓圖

2.3 離線參數辨識

得到HPPC 測試數據后，通過遺傳算法分別對Rint、Thevenin和GNL這3種模型進行離線參數辨識。

離線參數辨識基本流程如下［18-20］：

（1）標定參數辨識區(qū)間?；贖PPC充放電曲線，每間隔10%SOC，標定出參數辨識區(qū)間，SOC的計算方法如下：

式中，Cmax為超級電容容量（Ah），Inow為當前時刻電流（A），t為時間（s）；SOCnow為當前時刻SOC值，SOC0為初始時刻SOC值。

（2）計算模型中間量Uoc。由于Uoc隨SOC保持單調遞增關系，因此對式（9）采用多元線性擬合，得到Uoc和SOC之間的關系如下：

式中，αi（i=0,1,……,7）為擬合系數，z為SOC的值，用于擬合超級電容Uoc和SOC的映射關系。

（3）模型參數初始化。結合模型實際情況，建立兩列n行的參數始化矩陣，n等于該模型所需辨識的參數個數，第一列為各參數下限，第二列為各參數上限。

（4）建立適應度函數。將等效模型離散化后的方程代入適應度函數中，該函數以參數矩陣作為輸入，以該模型端電壓殘差作為適應度值返回到遺傳算法中。

（5）調用遺傳算法工具箱。將參數初始化矩陣和適應度函數代入遺傳算法工具箱中，遺傳算法工具箱基礎參數保持默認即可。

（6）參數驗證。將遺傳算法返回的參數值代入模型的端電壓方程中計算端電壓殘差值。

若遺傳算法求解不理想或者所需代數過多，則可以嘗試將參數初始區(qū)間減小，或者更換選擇、交叉、變異等算子的計算函數，以提升模型精度。

3 基于端電壓殘差的融合模型

3.1 不同模型下端電壓誤差比較

通過遺傳算法分別對Rint 模型、Thevenin 模型和GNL 模型完成參數辨識，并得到各模型在HPPC 測試數據下的端電壓殘差數據集。

但由于HPPC 是為參數辨識所設計的實驗，與實際工況有著很大的差別，故其端電壓殘差數據集并不能很好的說明該模型的好壞，需要將不同模型分別代入實際工況數據，得到實際工況下的誤差。因此，將3 個模型分別代入UDDS 標準工況實驗，得到這3 個模型在UDDS 工況下的端電壓誤差集（表1）。從表1 中可以看出，3 種模型的最大誤差都小于16 mV，平均誤差均小于2.5 mV，均方根誤差均小于3.2 mV；其中Rint 模型表現最佳，其最大誤差比3 個模型中最大值小0.54 mV，平均誤差比3 個模型中最大值小0.088 mV，均方根誤差比3個模型中最大值小0.099 mV。

表1 各模型端電壓殘差對比

然而，雖然采用單一模型的情況下，Rint 模型的整體精度是3 種模型中最高的，但這并不能代表Rint 模型在超級電容的整個工作區(qū)段都能保持最佳狀態(tài)。

為了確定3 個模型在整個工作區(qū)段上的優(yōu)劣性，在每一時刻對3 個模型的誤差情況進行對比，選出每一時刻誤差最小的模型并進行編號記錄，結果如圖6所示。

圖6 優(yōu)先度代號圖

圖6 中，1 代表該時刻Rint 模型優(yōu)先度最高；2 代表該時刻Thevenin 模型優(yōu)先度最高；3 代表該時刻GNL 模型優(yōu)先度最高，每個時刻只有1 個最優(yōu)模型。圖6 中Rint 模型優(yōu)先的次數為3967 次，占42.41%；Thevenin 模型優(yōu)先的次數為3689 次，占39.44%；GNL 模型優(yōu)先的次數為1698次，占18.15%。

結合表1 及圖6 可見，Rint 模型并不是在每一時刻都能做到最優(yōu)，其余兩種模型在不同時刻都有著各自的優(yōu)勢區(qū)段。這表明模型的精度還有進一步提高的可能。基于此，提出了以這3 種模型為基礎的融合模型，即將上述的3 種模型按照其優(yōu)勢區(qū)段進行融合以求得到精度更高的模型。

3.2 融合模型的建立

綜合上述結論可知，3 個模型之間并沒有明顯的優(yōu)勢區(qū)段分界點，各模型之間的優(yōu)勢區(qū)段是相互交錯的，通過SOC 區(qū)間等特征區(qū)域來劃分不同模型并不能保證得到的模型為這3 種模型的優(yōu)勢區(qū)段的融合。因此，采用基于每一時刻端電壓殘差切換不同模型的方法進行融合，可以保證整體工作區(qū)段都能保持最佳狀態(tài)。其基本操作流程包括：

（1）模型函數建立。分別建立Rint 模型、Thevenin模型和GNL 模型的殘差計算函數，函數輸入值為電壓、電流值，輸出為端電壓殘差值。

（2）模型優(yōu)先度判斷。其過程如下：①載入UDDS數據，給3個模型設置對應代號；②計算出3個模型方程中需要用到的中間變量；③在每一采樣時刻分別將電壓、電流數據代入3 個模型的端電壓殘差計算函數中，得到3 個模型在當前時刻的殘差值；④對端電壓殘差值進行對比，記錄下最優(yōu)模型代號；⑤重復③~④步驟，以得到整個工作區(qū)間的最優(yōu)模型代號。

（3）切換目標函數。載入步驟（2）得到的優(yōu)先度代號數據，依照優(yōu)先度代號數據，在每一時刻切換對應代號的模型函數作為當前時刻的模型，即可得到融合模型。

（4）融合模型端電壓誤差計算。根據當前時刻模型最優(yōu)代號，將電壓電流值代入對應模型的殘差計算函數中，并記錄下殘差值。重復此過程即可得到整個工作區(qū)段融合模型的殘差情況。

3.3 融合優(yōu)化模型和未優(yōu)化模型誤差對比

建立融合模型后，將融合模型代入UDDS 工況實驗，得到其在真實工況下的誤差情況，并與3 種構成融合模型的基礎模型進行對比。其對比結果如表2 和圖7 所示。

從表2 可以看出，融合模型的最大誤差和最小的Rint 模型相同，均為15.062 mV，平均誤差為2.070 mV，比3 個基礎模型中最小的Rint 模型小6.88%，均方根誤差為2.982 mV，比最小的Rint模型小2.69%。

表2 各模型端電壓殘差對比

圖7 所示為各模型端電壓殘差對比情況。從圖中可以看出融合模型的殘差曲線的穩(wěn)定性是高于3 個基礎模型的，在1500 s 到2500 s 這個區(qū)間上尤為明顯。在1900 s到2100 s區(qū)間段的放大圖中可以發(fā)現Thevenin 模型的誤差抖動非常明顯，Rint模型和GNL 模型的誤差抖動略大于融合模型，只有在1950 s 到1980 s 區(qū)間，融合模型的抖動大于Rint模型和GNL模型，但總體融合模型的誤差抖動都是小于3個基礎模型的。

圖7 各模型端電壓殘差對比

結合表2和圖7可以發(fā)現，相較于單一模型，融合模型有著更高的精度和穩(wěn)定性，其在整個工作區(qū)間段內都能夠保持最優(yōu)的狀態(tài)。

4 結束語

基于端電壓殘差將Rint 模型、Thevenin 模型和GNL模型進行融合，得到了精度更高、穩(wěn)定性更好的融合模型。首先介紹了這3 個電路模型的基本電路結構及其電路方程，然后采用遺傳算法通過HPPC 測試數據分別對這3個模型進行了離線參數辨識，并對比了3個模型在UDDS工況下的端電壓殘差，然后通過每一時刻對超級電容端電壓殘差值進行判斷，選擇最優(yōu)模型的方法得到了融合模型，并且將UDDS數據代入融合模型中，得到了融合模型的端電壓殘差數據集。與組成融合模型的3個基礎模型相比，融合模型在整個工作區(qū)段表現是最優(yōu)的，并且其均方根誤差和平均誤差分別改善了2.69% 和6.88%。相較于單一模型，這種新的融合建模方法具有更高的精度和可靠性，有利于車載電源的優(yōu)化控制。