唐 遙， 易桂生

(江西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 江西 南昌 330022)

1 問題的提出

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)指出，復(fù)數(shù)作為一類重要的運(yùn)算對(duì)象，有廣泛的應(yīng)用[1].然而當(dāng)下一些教師因復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容“簡(jiǎn)單”，加之考試分值占比小，往往重解題、重練習(xí)，輕過程、輕設(shè)計(jì).在數(shù)學(xué)教育立德樹人的大環(huán)境變革下，當(dāng)前對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的研究主要圍繞以下四個(gè)方面展開：(1)核心素養(yǎng)，如張?bào)悻|等[2]著眼于核心素養(yǎng)對(duì)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”進(jìn)行教學(xué)再設(shè)計(jì)，呂天璽等[3]基于核心素養(yǎng)以“幾何意義”為線索進(jìn)行了復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)研究；(2)HPM，如王海青[4]基于數(shù)學(xué)史對(duì)“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念”的教學(xué)設(shè)計(jì)提出思考，尹娟[5]進(jìn)行了數(shù)學(xué)史融入復(fù)數(shù)概念的設(shè)計(jì)和教學(xué)研究；(3)教師學(xué)科知識(shí)，如從建華等[6]研究了MKT下的“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”教學(xué)設(shè)計(jì)，盧建川[7]重構(gòu)了基于問題驅(qū)動(dòng)的高中復(fù)數(shù)教學(xué)內(nèi)容并開展教學(xué)設(shè)計(jì)研究；(4)學(xué)生認(rèn)知，如李昌官[8]在布盧姆認(rèn)知目標(biāo)的指導(dǎo)下進(jìn)行了“數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計(jì)研究，甘經(jīng)娟[9]研究了高中生關(guān)于復(fù)數(shù)單元的概念表象.

對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)的現(xiàn)有研究充分肯定了核心素養(yǎng)的價(jià)值，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)史對(duì)于特定教育內(nèi)容的指導(dǎo)意義，有重視學(xué)生發(fā)展的導(dǎo)向，一定程度上貫穿了“教師主導(dǎo)、學(xué)生主體”的理念，為教學(xué)的實(shí)施提供了參考.但是還存在以下問題：在教學(xué)內(nèi)容上多集中在“數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的引入”部分，而對(duì)于復(fù)數(shù)的其他知識(shí)涉及較少，缺少整體性的單元教學(xué)設(shè)計(jì)；在教學(xué)原理的指導(dǎo)上相對(duì)缺乏，更多的是強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的本身，教師的教與學(xué)生的學(xué)及數(shù)學(xué)知識(shí)間的邏輯關(guān)系并未充分分析.此外，HPM與核心素養(yǎng)的聯(lián)系程度不夠高.基于此，筆者在HPM的視角下從《標(biāo)準(zhǔn)》和高中數(shù)學(xué)新教材出發(fā)，分析復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)背景，在數(shù)學(xué)教學(xué)“二重原理”理論框架的指導(dǎo)下，探討復(fù)數(shù)的單元教學(xué)設(shè)計(jì).

2 教學(xué)設(shè)計(jì)背景

《標(biāo)準(zhǔn)》是課程的綱領(lǐng)性文件，教材是知識(shí)的載體，在教學(xué)設(shè)計(jì)前應(yīng)明晰.為此，整理《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于復(fù)數(shù)的教學(xué)要求[1]，如表1所示.復(fù)數(shù)屬于“主題三 幾何與代數(shù)”，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要載體.三個(gè)版本最新教材中復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史料呈現(xiàn)情況如表2所示.不同版本所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史料不乏有相同之處，都有關(guān)于復(fù)數(shù)概念形成的背景，盡管呈現(xiàn)形式不盡相同.北師大版和湘教版還專門設(shè)置了閱讀材料作為學(xué)習(xí)內(nèi)容的補(bǔ)充.

表1 《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于復(fù)數(shù)內(nèi)容的相關(guān)要求

表2 不同版本新教材中“復(fù)數(shù)”的HPM內(nèi)容比較

可見，HPM的滲透是教材編寫者的共識(shí)，對(duì)于復(fù)數(shù)的教學(xué)有一定的指導(dǎo)性.然而，把HPM融入教學(xué)絕非易事，其原因主要有：教師要充分儲(chǔ)備復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，要對(duì)復(fù)數(shù)概念有完整的理解，要認(rèn)識(shí)受教育者的“最近發(fā)展區(qū)”等.另外，HPM應(yīng)用于復(fù)數(shù)教學(xué)時(shí)不應(yīng)簡(jiǎn)單拼接，應(yīng)著重揭示含于歷史進(jìn)程中的數(shù)學(xué)文化價(jià)值[10]，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的思想、方法和精神.

3 教學(xué)理論基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)教育是“數(shù)學(xué)”與“教育”的雙向建構(gòu)[11]，既有一般教育共有的特征，又有其數(shù)學(xué)自身的特性.在這種思想基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)教學(xué)研究遵循“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)從學(xué)生的“學(xué)”和“數(shù)學(xué)”的本質(zhì)上開展.此外，在新課改的背景下，學(xué)科核心素養(yǎng)的出臺(tái)倒逼教學(xué)設(shè)計(jì)的變革，教學(xué)設(shè)計(jì)要從設(shè)計(jì)一個(gè)知識(shí)點(diǎn)或課時(shí)轉(zhuǎn)變?yōu)樵O(shè)計(jì)一個(gè)大單元[12].因此，數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)就顯得尤為重要了.

3.1 教與學(xué)對(duì)應(yīng)

“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”原理由認(rèn)知主義心理學(xué)家皮亞杰(Jean Piaget)提出，它源于夸美紐斯(Jan Amos Komensky)的“教育適應(yīng)自然”思想[13]，即人類的教育活動(dòng)應(yīng)以自然界的一般規(guī)律為基礎(chǔ)，根據(jù)人的自然本性和年齡特征，使學(xué)習(xí)者的智力得到充分的發(fā)展.數(shù)學(xué)教學(xué)要從學(xué)生出發(fā)，教師的“教”要以學(xué)生的“學(xué)”為基礎(chǔ)，教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)施和評(píng)價(jià)等也應(yīng)根據(jù)學(xué)生的學(xué)情來確定.這與布魯納(Jerome S. Bruner)的“教的理論以學(xué)的理論與發(fā)展的理論為基礎(chǔ)”[11]也是一致的.

不同的學(xué)生對(duì)之前接觸的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)不一致，此外數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過程，學(xué)生不可能親身經(jīng)歷，之前已經(jīng)獲得的間接經(jīng)驗(yàn)也相對(duì)有限.因此，在學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)上確定復(fù)數(shù)教學(xué)的重難點(diǎn)顯得尤為重要.學(xué)生對(duì)于數(shù)系擴(kuò)充并不陌生，但是在為何還要將數(shù)系擴(kuò)充至復(fù)數(shù)這一點(diǎn)上可能會(huì)存在理解上的問題.所以在教學(xué)設(shè)計(jì)中要講清復(fù)數(shù)概念形成的來龍去脈，并擴(kuò)充學(xué)生的知識(shí)面，在引導(dǎo)得出復(fù)數(shù)的概念之后舉例說明它在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用.

3.2 教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)

有理論張力的數(shù)學(xué)教育學(xué)體系的邏輯起點(diǎn)有兩個(gè)維度：一個(gè)維度是教育學(xué)，另一個(gè)維度是數(shù)學(xué)教學(xué)[14].數(shù)學(xué)教育是研究數(shù)學(xué)教學(xué)方法與實(shí)踐的學(xué)科，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的學(xué)科課程內(nèi)容在數(shù)學(xué)教育中的重要價(jià)值，這樣數(shù)學(xué)教育才能達(dá)到育人目的.數(shù)學(xué)教學(xué)中的“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”與“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”原理相輔相成.

數(shù)學(xué)對(duì)象，如定義、公式、概念、法則等，往往有不同的表現(xiàn)形式，但它本身所固有的根本屬性不變.因此，站在“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”原理的角度，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)形式，如記住公式、符號(hào)等，更重要的是使學(xué)生把握本質(zhì)，即理解其在特定范圍內(nèi)始終不變的特質(zhì)[15].“復(fù)數(shù)”來源于解方程的現(xiàn)實(shí)需要，它在教材中是靜態(tài)的定義，但從HPM的角度出發(fā)更能體會(huì)其動(dòng)態(tài)的形成過程.

復(fù)數(shù)問題的發(fā)現(xiàn)始于古希臘時(shí)代丟番圖(Diophantus)求解一元二次方程，但當(dāng)時(shí)并未被承認(rèn)；至1545年意大利數(shù)學(xué)家卡丹(Cardano)在作品《重要的藝術(shù)》中意識(shí)到求解一元三次方程無法避免虛數(shù)問題；直到18世紀(jì)末韋塞爾(C. Wessel)給出了復(fù)數(shù)幾何表示，這一概念才開始被人們逐漸接受[16].復(fù)數(shù)的出現(xiàn)既充滿歷史的痕跡，又影響了現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展.數(shù)學(xué)之內(nèi)有黎曼(Riemann)和柯西(Cauchy)開始了復(fù)變函數(shù)研究，將數(shù)學(xué)的眼界由一維擴(kuò)展至二維，數(shù)學(xué)之外有物理學(xué)家用其解釋波動(dòng)現(xiàn)象等.

3.3 數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)

單元是指一個(gè)特定主題下相關(guān)教學(xué)目標(biāo)、內(nèi)容、過程、評(píng)價(jià)的集合[17]，單元教學(xué)設(shè)計(jì)是對(duì)單元教學(xué)的整體規(guī)劃和系統(tǒng)安排[18].數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計(jì)著眼于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，它是在整體思維的指導(dǎo)下，為了突出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的主線和內(nèi)在聯(lián)系而統(tǒng)籌、重組和優(yōu)化教材的內(nèi)容，并將優(yōu)化后的內(nèi)容視為一個(gè)相對(duì)獨(dú)立的教學(xué)單元，在此基礎(chǔ)上對(duì)教學(xué)單元整體進(jìn)行循環(huán)改進(jìn)的動(dòng)態(tài)教學(xué)設(shè)計(jì)[19].這也契合《標(biāo)準(zhǔn)》中“優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，突出主線，精選內(nèi)容”的理念.“復(fù)數(shù)”是“主題三 幾何與代數(shù)”的重要內(nèi)容之一，可以將其視為一個(gè)單元，內(nèi)容主要包括：數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入；復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等.

4 預(yù)設(shè)教學(xué)設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)教育的實(shí)踐研究上，張奠宙先生提倡“上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂”，把數(shù)學(xué)的“學(xué)術(shù)形態(tài)”轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的“教育形態(tài)”[20].這一轉(zhuǎn)化需要數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，需要在教學(xué)理論的支撐下進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)、預(yù)設(shè)教學(xué)情形.因此，依據(jù)“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”和“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”的原理，認(rèn)識(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知水平，理解復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)概念本質(zhì)，從而梳理好教學(xué)設(shè)計(jì)的內(nèi)容.

4.1 基于學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)歷，創(chuàng)設(shè)良好的教學(xué)情境

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)內(nèi)容和認(rèn)知經(jīng)歷如表3所示，從一年級(jí)至八年級(jí)持續(xù)“經(jīng)歷”數(shù)系的擴(kuò)充.從自然數(shù)擴(kuò)充到整數(shù)，然后擴(kuò)充到有理數(shù)，再擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，新數(shù)系和原數(shù)系加法、乘法運(yùn)算相容，并保持運(yùn)算律.義務(wù)教育階段并未給學(xué)生強(qiáng)調(diào)數(shù)系擴(kuò)充的規(guī)則和特點(diǎn).學(xué)生只有大概的經(jīng)驗(yàn)，沒有形成完整的認(rèn)識(shí).

表3 學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)內(nèi)容及認(rèn)知經(jīng)歷

基于上述分析，學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的認(rèn)知困難主要有[21]：已經(jīng)建立的數(shù)系擴(kuò)充經(jīng)驗(yàn)理性程度不高，特別是對(duì)其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法的理解不夠深入；復(fù)數(shù)是“二維數(shù)”，用直角坐標(biāo)系上的有序數(shù)對(duì)表示是經(jīng)驗(yàn)上的一次飛躍.為此，引入復(fù)數(shù)時(shí)可以介紹數(shù)學(xué)史背景，在解方程中引起認(rèn)知沖突，在數(shù)學(xué)情境中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

4.2 基于HPM設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，揭示數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)

數(shù)學(xué)問題的設(shè)計(jì)要合理、自然，基于HPM設(shè)計(jì)的引導(dǎo)性問題應(yīng)體現(xiàn)復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)邏輯及文化底蘊(yùn).在實(shí)際教學(xué)實(shí)踐中，教師常采用的引入復(fù)數(shù)概念的方式有[22]：直接從一元二次方程的求解問題引入；先講解數(shù)系的擴(kuò)充，然后再?gòu)姆匠糖蠼鈫栴}引入；利用卡丹或萊布尼茨的二元二次方程組問題引入；從三次方程求根問題引入.前兩種方式遵循復(fù)數(shù)概念的邏輯順序，后兩種方式則遵循歷史順序.HPM視角下開展教學(xué)設(shè)計(jì)可以將復(fù)數(shù)的歷史順序和邏輯順序統(tǒng)一起來.

根據(jù)復(fù)數(shù)發(fā)展史，基于HPM的教學(xué)設(shè)計(jì)可用的數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)抽象出的內(nèi)容、問題和要點(diǎn)如表4所示.數(shù)學(xué)史料在數(shù)系擴(kuò)充、復(fù)數(shù)引入和后續(xù)教學(xué)中具有引導(dǎo)性，結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的理念適當(dāng)選取并有機(jī)融合，凸顯出教學(xué)設(shè)計(jì)的要點(diǎn)；從解方程中歸結(jié)出將數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)系所要解決的根本問題[21]，為揭示復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)做準(zhǔn)備，并體現(xiàn)出復(fù)數(shù)產(chǎn)生和發(fā)展過程中的科學(xué)精神和數(shù)學(xué)文化.

表4 HPM知識(shí)、數(shù)學(xué)抽象出的問題和教學(xué)設(shè)計(jì)要點(diǎn)

5 教學(xué)設(shè)計(jì)形成

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)體現(xiàn)在四個(gè)方面[1]：情境與問題；知識(shí)與技能；思維與表達(dá)；交流與反思.從這四個(gè)方面入手，結(jié)合HPM并在數(shù)學(xué)教學(xué)“二重原理”的指導(dǎo)下，嘗試將《標(biāo)準(zhǔn)》中復(fù)數(shù)的考試要求內(nèi)容“復(fù)數(shù)的概念”和“復(fù)數(shù)的意義”進(jìn)行整合，并適量滲透復(fù)數(shù)的三角表示，開展單元教學(xué)設(shè)計(jì).

5.1 教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

根據(jù)上述分析，制定復(fù)數(shù)單元教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)目標(biāo)，如表5所示.將復(fù)數(shù)的要點(diǎn)進(jìn)行分解，在知識(shí)學(xué)習(xí)的層次上用“了解”“理解”和“掌握”刻畫，同時(shí)對(duì)應(yīng)可能涉及的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

表5 復(fù)數(shù)的教學(xué)目標(biāo)

5.2 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：數(shù)系的擴(kuò)充過程；復(fù)數(shù)的概念；復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義；復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算；復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.

教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的引入；復(fù)數(shù)的幾何意義；復(fù)數(shù)的三角表示式.

5.3 教學(xué)程序設(shè)計(jì)

【情境與問題】

情境一：1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡丹在著作《大術(shù)》中遇到一個(gè)問題：將數(shù)字10分成兩部分，使得它們的乘積為40，則它們分別為多少？

情境二：在16世紀(jì)出現(xiàn)了用

(Tartaglia)求解方程x3+px=q.1572年意大利數(shù)學(xué)家邦貝利研究了三次方程的個(gè)例：x3=15x+4.根據(jù)上面的求根公式，你覺得邦貝利這個(gè)方程有解嗎？

問題：當(dāng)年的數(shù)學(xué)家們遇到了“實(shí)數(shù)集不夠用”的情況，那么后來又是怎樣解決這個(gè)問題的呢？

設(shè)計(jì)意圖：通過呈現(xiàn)真實(shí)的數(shù)學(xué)史故事，自然地引出數(shù)學(xué)問題.結(jié)合學(xué)生已有的認(rèn)知水平，給出三次方程求解公式并從數(shù)學(xué)史中發(fā)掘問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，對(duì)應(yīng)了“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”的原理.

【知識(shí)與技能】

經(jīng)驗(yàn)一：回顧學(xué)過的數(shù)系擴(kuò)充過程，體會(huì)它來源于生產(chǎn)實(shí)踐的需要.

(1)遠(yuǎn)古人類由于計(jì)數(shù)的需要而創(chuàng)造了自然數(shù)，形成自然數(shù)系；

(2)為了刻畫相反意義的量而引入了負(fù)整數(shù)，將數(shù)系擴(kuò)充至整數(shù)系；

(3)為了解決測(cè)量與分配中等分的問題而引入了分?jǐn)?shù)，將數(shù)系擴(kuò)充至有理數(shù)系；

(4)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，為了解決正方形對(duì)角線測(cè)量問題而引入了無理數(shù)，將數(shù)系擴(kuò)充至實(shí)數(shù)系.

經(jīng)驗(yàn)二：從解方程的角度理解數(shù)系的擴(kuò)充過程[22]，如表6所示，體會(huì)它是數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要.

表6 從解方程的角度理解數(shù)系的擴(kuò)充過程

知識(shí)建構(gòu)：引入復(fù)數(shù)的必要性和數(shù)系的擴(kuò)充.

(1)卡丹二次方程求解.

看似合理，實(shí)則違反了“負(fù)數(shù)不可開平方”.

(2)邦貝利三次方程求解.

圖1 函數(shù)f(x)=x3-15x-4的局部圖象

(3)學(xué)習(xí)頓悟.

(4)引入復(fù)數(shù)系.

設(shè)計(jì)意圖：從生產(chǎn)實(shí)踐和數(shù)學(xué)內(nèi)部需要兩個(gè)角度回顧數(shù)系擴(kuò)充過程，總結(jié)數(shù)系擴(kuò)充過程中遵循的規(guī)律和原則，自然地引入復(fù)數(shù)系，對(duì)應(yīng)“教與數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)”的原理；數(shù)學(xué)史和現(xiàn)代教育技術(shù)的合理融合，有利于加深學(xué)生對(duì)數(shù)系擴(kuò)充過程的理解.

知識(shí)建構(gòu)：復(fù)數(shù)的概念、代數(shù)形式、分類及相等的含義.

把擴(kuò)充后的新數(shù)記為a+bi(a,b∈R),通常用z表示，其中a為實(shí)部，b為虛部，分別記作：Re(z)=a,Im(z)=b.1813年，高斯首次將這種數(shù)取名為“復(fù)數(shù)”(complex number)，a+bi(a,b∈R)稱為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式.全體復(fù)數(shù)組成的集合{a+bi|a,b∈R}稱為復(fù)數(shù)集，記為“C”(大寫)，其具體分類如表7所示.在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生展開討論，得出兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件：實(shí)部和虛部分別都相等.由此，再帶領(lǐng)學(xué)生一起畫出數(shù)集之間的關(guān)系圖，如圖2所示.

表7 復(fù)數(shù)的分類

圖2 數(shù)集之間的關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：突出重點(diǎn)，系統(tǒng)傳授復(fù)數(shù)的主要知識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生明晰數(shù)集之間的關(guān)系，有利于提升學(xué)生歸納總結(jié)能力.

知識(shí)建構(gòu)：復(fù)數(shù)的幾何意義.

(1)引出復(fù)平面.

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)本質(zhì)上是一對(duì)有序數(shù)對(duì)(a,b).提出問題：復(fù)數(shù)系是在實(shí)數(shù)系的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而來，實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，并一一對(duì)應(yīng)，那么類似地復(fù)數(shù)能否也用點(diǎn)表示呢？啟發(fā)學(xué)生思考，并展開討論.有了直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)和有序數(shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)的經(jīng)驗(yàn)，復(fù)數(shù)可以用點(diǎn)表示.但是一維數(shù)軸上的點(diǎn)只能表示“一維數(shù)”，無法正確地表示復(fù)數(shù)這種“二維數(shù)”.在此基礎(chǔ)上，為了表示出復(fù)數(shù)“二維”的性質(zhì)，復(fù)平面應(yīng)運(yùn)而生.介紹復(fù)平面的由來：1797年，挪威數(shù)學(xué)家韋塞爾在著作中首次把全體復(fù)數(shù)與平面上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；1831年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯對(duì)復(fù)平面作出了詳細(xì)的說明，至此復(fù)平面才被人們廣泛地接受，它也被稱為高斯平面.

(2)復(fù)數(shù)的幾何意義.

圖3 復(fù)數(shù)z=a+bi的幾何表示

圖4 復(fù)平面上z和它的共軛復(fù)數(shù)

圖5 復(fù)數(shù)z=a+bi的向量形式

圖三者之間的關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：通過類比“實(shí)數(shù)—數(shù)軸”，得到“復(fù)數(shù)—復(fù)平面”，實(shí)現(xiàn)了一維到二維的聯(lián)想[24]，從復(fù)數(shù)的代數(shù)形式遷移到復(fù)數(shù)的幾何形式和向量形式，建構(gòu)了復(fù)數(shù)的幾何意義，并引出了共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)模的概念和復(fù)數(shù)的三角表示，層層遞進(jìn)，中間穿插了復(fù)平面的數(shù)學(xué)史.對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的“二重原理”，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力及數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象核心素養(yǎng).

知識(shí)建構(gòu)：復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算.

(1)復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算及其幾何意義[25].

根據(jù)已有的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)數(shù)的加法滿足交換律和結(jié)合律，即a,b,c∈R,a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c).先提出問題：復(fù)數(shù)的加法應(yīng)該如何規(guī)定，才能符合類似的結(jié)合律和交換律？然后給出三個(gè)復(fù)數(shù)：z1=1+2i,z2=1-i,z3=-1+3i,讓學(xué)生思考并討論z1+z2與(z1+z2)+z3的值應(yīng)該等于多少？歸納總結(jié)出任意兩個(gè)復(fù)數(shù)相加的運(yùn)算規(guī)則：設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)，則z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.顯然，兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的和為實(shí)數(shù)，即

圖7 復(fù)數(shù)加法的幾何意義

圖8 復(fù)數(shù)減法的幾何意義

(2)復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算.

實(shí)數(shù)的乘法對(duì)加法滿足分配律，如(x1+y1)(x2+y2)=x1x2+x1y2+y1x2+y1y2.設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，如何定義它們的乘法法則才可行呢？引導(dǎo)學(xué)生探究.為使乘法分配律成立，有：

z1·z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+cbi+bidi;

希望加法滿足交換律和結(jié)合律，所以有：

z1·z2=ac+adi+cbi+bidi=ac+(ad+bc)i+bdi2.

當(dāng)b=0,d=0時(shí)，復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)的乘法法則一致了，說明采用這種辦法得到的復(fù)數(shù)乘法法則與實(shí)數(shù)乘法法則相容.復(fù)數(shù)的乘法類似于關(guān)于i的“一次二項(xiàng)式乘法”，按照乘法、加法的運(yùn)算律展開，再合并同類項(xiàng)，結(jié)果中如含有i2則替換成-1.

類比根式除法中的“分母有理化”，復(fù)數(shù)的除法寫成分?jǐn)?shù)的形式后，借助除數(shù)的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行“分母實(shí)數(shù)化”[21]，再拆開、化簡(jiǎn).這里還可以用問題的形式引入，如設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足(a+bi)(1+3i)=1,利用方程組求得a,b的值，讓學(xué)生思考能否用其他方法求解，從而發(fā)現(xiàn)并總結(jié)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算的規(guī)則.事實(shí)上，1837年復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的法則由愛爾蘭數(shù)學(xué)家哈密爾頓提出，之后他還推廣了“四元數(shù)”.

設(shè)計(jì)意圖：注重引導(dǎo)學(xué)生探究與發(fā)現(xiàn)，類比實(shí)數(shù)推出復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，既順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知又符合數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程；對(duì)于復(fù)數(shù)的加減法還給出了幾何解釋，數(shù)形結(jié)合，有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng).

【思維與表達(dá)】

思維訓(xùn)練：主要通過習(xí)題考查學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)知識(shí)的理解與應(yīng)用.

(3)已知實(shí)數(shù)x、y滿足(1+i)x=1+yi,求復(fù)數(shù)z=x+yi的模長(zhǎng).

(4)計(jì)算

i÷(1-i).

學(xué)習(xí)升華：學(xué)生根據(jù)教師的講解，反思解題過程中存在的問題，理解其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.教師再進(jìn)行知識(shí)拓展，復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)之外也“大有作為”，如：達(dá)朗貝爾將復(fù)變函數(shù)論用于流體力學(xué)，蘭伯特將復(fù)數(shù)理論用于地圖制作等.

設(shè)計(jì)意圖：解題過程中復(fù)數(shù)知識(shí)的靈活應(yīng)用既訓(xùn)練了學(xué)生的邏輯思維，又有利于提高分析問題和解決問題的能力，對(duì)應(yīng)了“教與學(xué)對(duì)應(yīng)”的原理.此外，復(fù)數(shù)跨學(xué)科應(yīng)用的知識(shí)拓展，融合了數(shù)學(xué)史料，使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要性和實(shí)用性.

【交流與反思】

提出以下問題：

(1)復(fù)數(shù)是怎樣產(chǎn)生的？復(fù)數(shù)的概念是什么？

(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)表示和幾何意義是什么？

(3)怎樣理解共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模？

(4)復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算規(guī)則是什么？

(5)復(fù)數(shù)的三角形式怎樣表示？

(6)學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)后對(duì)數(shù)學(xué)有哪些新的認(rèn)識(shí)與感觸？

引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)回顧、交流討論、歸納總結(jié)，并進(jìn)行學(xué)習(xí)反思，然后將復(fù)數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系以及其中的數(shù)學(xué)思想方法整合[26]，如圖9所示.

圖9 復(fù)數(shù)知識(shí)之間的聯(lián)系及其思想方法

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧、梳理所學(xué)知識(shí)，知識(shí)再現(xiàn)、過程再現(xiàn)、交流反思，有利于加深學(xué)生對(duì)復(fù)數(shù)的理解，并形成系統(tǒng)的復(fù)數(shù)知識(shí)框架和建構(gòu)完整的復(fù)數(shù)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)教學(xué)的“二重原理”.

6 結(jié)束語

數(shù)學(xué)存在于歷史之中, 活的數(shù)學(xué)存在于活的數(shù)學(xué)史之中, 活的數(shù)學(xué)教育講授的是活的數(shù)學(xué)和活的數(shù)學(xué)史[27].HPM視角下將復(fù)數(shù)的數(shù)學(xué)史料、數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)生認(rèn)知有機(jī)結(jié)合，注重知識(shí)的整體性和關(guān)聯(lián)性，把教師的教和學(xué)生的學(xué)統(tǒng)一起來，使復(fù)數(shù)的教學(xué)變得生動(dòng)而更加有意義.圍繞數(shù)學(xué)教學(xué)的“二重原理”開展復(fù)數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)，既要考慮學(xué)生學(xué)習(xí)的前后關(guān)聯(lián)和繼承，也要凸顯數(shù)學(xué)的本質(zhì)及其蘊(yùn)含的思想方法.上述復(fù)數(shù)的單元教學(xué)設(shè)計(jì)在HPM、“二重原理”理論、數(shù)學(xué)知識(shí)、學(xué)生學(xué)習(xí)等方面的耦合上做了一些安排和思考，以期助力于新課改下圍繞數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主題式和單元式教學(xué)設(shè)計(jì)研究及實(shí)踐.