李 勁，李小蘭，闞 飛

(1.四川省都江堰東風(fēng)渠管理處，成都，610081；2.成都賽零信息技術(shù)開發(fā)有限公司，成都，610000；3.四川省水利科學(xué)研究院，成都，610072)

1 前言/背景

水位流量關(guān)系曲線是用來描述水文測站所在的基本斷面的水位與通過該斷面的流量之間關(guān)系的曲線。河(渠)道斷面流量監(jiān)測方法多樣，水位流量關(guān)系曲線法是其中最為常用的、在多數(shù)情況下也是較其他方法更為經(jīng)濟的方式。在水文資料整編工作中，水位-流量關(guān)系率定是其中重要的一環(huán)。

在水文監(jiān)測站，斷面流量隨水位的變化而變化，水位隨時間的變化過程易于觀測且相對準確。故一般不需要連續(xù)觀測流量過程，而是通過一定次數(shù)的實測水位及其實測流量的對應(yīng)數(shù)據(jù)資料建立水位與流量的關(guān)系曲線，再依據(jù)建立的水位流量關(guān)系曲線，通過水位插值推算出對應(yīng)的流量值，把水位變化過程轉(zhuǎn)換為相應(yīng)的流量變化過程[1]，最后根據(jù)轉(zhuǎn)換的流量值計算各業(yè)務(wù)需要的數(shù)據(jù)及報表。

東風(fēng)渠灌區(qū)管轄范圍內(nèi)16條干渠主要斷面均已建立水情監(jiān)測設(shè)施，依托于灌區(qū)信息化建設(shè)，當前有131個點位都實現(xiàn)了水位的自動實時監(jiān)測，絕大多數(shù)斷面存在單一水位流量關(guān)系曲線。灌區(qū)每年都按相關(guān)測驗規(guī)范，通過實測斷面流量與相應(yīng)水位，手工繪制擬合水位流量關(guān)系曲線。為適應(yīng)灌區(qū)信息化發(fā)展，這部分工作需借助計算機來自動完成，傳統(tǒng)的計算機定線方法一般都是應(yīng)用單一的函數(shù)來進行，雖然能根據(jù)最小二乘法得到最小的殘差平方和，但是求得的水位流量關(guān)系曲線不能真實體現(xiàn)高水、低水時的數(shù)量關(guān)系。但將曲線分段后，進行分段擬合，通過蠻力搜索，尋找各點整體最優(yōu)解，可以在一定程度上解決這個問題。

2 水位流量關(guān)系曲線及其擬合方法

2.1 蠻力搜索算法

蠻力搜索算法也稱窮舉算法，他要求設(shè)計者找出所有可能的方法，然后選擇其中一種方法，若該方法不行，則試探下一種可能的方法。蠻力法適應(yīng)能力強，是唯一一種幾乎什么問題都能解決的一般性算法。雖然通常情況下蠻力法效率很低，但在數(shù)據(jù)量有限的條件下，可以作為衡量同類問題更高效算法的準繩。

2.2 最小二乘法原理

最小二乘法是一種在誤差估計、不確定度、系統(tǒng)辨識及預(yù)測、預(yù)報等數(shù)據(jù)處理諸多學(xué)科領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)工具[2]。最小二乘法在19世紀由勒讓德發(fā)現(xiàn)，他認為，要設(shè)法構(gòu)造出k個方程去求解，關(guān)鍵不在于使每一個方程等號的左右兩邊都嚴格相符，這在實際中也是不現(xiàn)實的，而在于要使誤差以一種平衡的方式分配到各個方程[3]。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小，形式如下：

目標函數(shù)=Σ(觀測值-理論值)2

其中：觀測值為監(jiān)測的多組樣本，理論值為假設(shè)的擬合函數(shù)，目標函數(shù)即為機器學(xué)習(xí)中常說的損失函數(shù)。最小二乘法的目標是得到使目標函數(shù)最小化時的擬合函數(shù)的模型。如若有m個只有一個特征的樣本：

(xi,yi)(i=1,2,3,…m)

2.3 擬合曲線數(shù)學(xué)模型

(1)根據(jù)曲線的特征，將曲線分為3段，其中，第一段采用冪函數(shù)描述兩者之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)模型為：

Q=a1Ha2

(1)

式(1)中，Q為流量(m3/s)；H為水位(m)；a1、a2為待定的模型參數(shù)。

第二、三段采用多項式來描述兩者之間的關(guān)系，數(shù)學(xué)模型為：

Q=b0+b1x+b2x2

(2)

式(2)中，Q為流量(m3/s)；H為水位(m)；b0、b1、b2為待定的模型參數(shù)。

(2)將水位、流量用最小二乘法分段做一次線性擬合，通過蠻力搜索將給定范圍內(nèi)的誤差值最小化，找到全局最小值。

模型目標函數(shù)為求理論流量與實際流量的殘差平方和最小[4]：

(3)

式(3)中，Qi為第i次實測流量；Q(Hi)為擬合的水位流量關(guān)系曲線上查到的第i次實測水位對應(yīng)的流量。

模型約束條件[5]：

2.4 數(shù)據(jù)處理流程

圖1 數(shù)據(jù)擬合、處理流程

步驟一：導(dǎo)入水位流量實測數(shù)據(jù)；

步驟二：確定分段的數(shù)量，通過蠻力搜索，計算在各個實測點的誤差；

步驟三：尋找最小的誤差值的分段點，生成最優(yōu)的擬合函數(shù)；

步驟四：根據(jù)生成的擬合函數(shù)，得出水位流量關(guān)系曲線。

3 實例分析

3.1 實例1

以徐堰河進口實測水位、流量為例。

表1 徐堰河進口2018年水位流量關(guān)系曲線計算成果

Q(m3/s)

檢驗結(jié)果如下：

符號校驗統(tǒng)計量=0.071、適線檢驗統(tǒng)計量=-0.148、偏離數(shù)值檢驗統(tǒng)計量=0.229、系統(tǒng)誤差=0.872%、標準差=1.789%。由此，擬合的曲線光滑順暢地通過各點群中心，各水位測點均勻分布在曲線兩邊；擬合成果的精度和各項檢驗通過定線三檢驗、滿足定線精度要求，通過各項檢驗。

3.2 實例2

以眉彭干渠進口實測水位、流量為例

表2 眉彭干渠進口2018年水位流量關(guān)系曲線計算成果

Q(m3/s)

檢驗結(jié)果如下：

符號校驗統(tǒng)計量=0.266、適線檢驗統(tǒng)計量=-0.1、偏離數(shù)值檢驗統(tǒng)計量=0.005、系統(tǒng)誤差=0.423%、標準差=1.164%。由此，擬合的曲線光滑順暢地通過各點群中心，各水位測點均勻分布在曲線兩邊；擬合成果的精度和各項檢驗通過定線三檢驗、滿足定線精度要求，通過各項檢驗。

4 結(jié)論

針對東風(fēng)渠灌區(qū)這種存在大量天然河道的大型灌區(qū)，水位流量關(guān)系曲線的率定是流量資料整編的一個重要環(huán)節(jié)，傳統(tǒng)的定線方式工作量繁重，還會有不可避免的人為誤差。本文采用基于蠻力搜索的最小二乘算法對水位流量關(guān)系曲線優(yōu)化模型進行優(yōu)化求解，可以使工作人員從繁重的定線工作中解脫，從而提高工作效率。實例表明該算法率定出來的水位流量關(guān)系曲線既能很好地滿足《水文資料整編規(guī)范》(SL 247-2012)關(guān)系曲線定線的三性檢驗(即符號檢驗、適線檢驗、偏離數(shù)值檢驗)要求，從而有效地提高水位流量關(guān)系曲線的率定效率，很好地滿足水文資料整編更高的時效要求。