陳 輝, 張星星, 楊文瑜

(1. 蘭州理工大學(xué) 電氣工程與信息工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730050; 2. 中國民航大學(xué) 電子信息與自動(dòng)化學(xué)院， 天津 300300)

傳統(tǒng)目標(biāo)跟蹤算法主要以點(diǎn)目標(biāo)(小目標(biāo))假設(shè)為前提,然而,由于高分辨率的現(xiàn)代傳感器出現(xiàn)以及對跟蹤近距離目標(biāo)的需求,目標(biāo)往往對應(yīng)了傳感器的多個(gè)分辨單元,這表現(xiàn)為目標(biāo)在每個(gè)采樣周期內(nèi)產(chǎn)生多個(gè)量測,這樣的目標(biāo)定義為擴(kuò)展目標(biāo)(extended target,ET),其對應(yīng)的跟蹤問題稱為擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤(ET tracking,ETT)[1-3].此時(shí),簡單的將目標(biāo)建模為點(diǎn)目標(biāo)不再適用于現(xiàn)代目標(biāo)跟蹤任務(wù),目標(biāo)在空間上的擴(kuò)展應(yīng)該表現(xiàn)為更為復(fù)雜的建模形式.ETT問題的提出具有非常重要的研究意義,尤其在近幾年吸引了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.結(jié)合ET的多個(gè)量測源,通過最優(yōu)濾波估計(jì)能夠得到目標(biāo)更為豐富的狀態(tài)信息.

實(shí)際上,對ET形狀估計(jì)的研究在近幾年已經(jīng)取得了許多引人矚目的成果[4-6].其中,絕大多數(shù)算法利用簡單幾何形狀(如橢圓、矩形等)來描述擴(kuò)展目標(biāo)的范圍.典型的代表有隨機(jī)矩陣模型(random matrix model,RMM)[7-8].然而這種方法僅能大致估計(jì)出目標(biāo)的形狀,建模對象也具有局限性.所以,在RMM的基礎(chǔ)上,蘭劍等[9]提出的用多個(gè)子橢圓來逼近一個(gè)整體不規(guī)則形狀方法,利用多個(gè)子橢圓逼近非橢圓(不規(guī)則)擴(kuò)展目標(biāo)的形狀.另一種方法是隨機(jī)超曲面模型(random hypersurface model,RHM )[10-12].RHM靈活地利用傅里葉級數(shù)展開的方式對描述星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的徑向函數(shù)進(jìn)行了參數(shù)化,通過目標(biāo)形狀邊界的縮放利用曲線擬合的思想估計(jì)目標(biāo)形狀.這種方法對解決目標(biāo)的識別、檢測以及跟蹤問題具有巨大的實(shí)際價(jià)值.

擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤研究通常在假設(shè)過程噪聲和量測噪聲都服從高斯分布的前提下進(jìn)行.但是在實(shí)際跟蹤場景中,理想的高斯噪聲比較少見.相較而言,厚尾噪聲更接近于現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中有干擾的噪聲,如一旦接受量測信息的傳感器不靈敏或者傳感器在跟蹤敏捷目標(biāo)的過程中遭受電磁干擾,量測噪聲中很容易出現(xiàn)野值從而表現(xiàn)出厚尾特性；或者當(dāng)目標(biāo)在雜波環(huán)境中有大幅度機(jī)動(dòng)時(shí),由于運(yùn)動(dòng)模型的不準(zhǔn)確,過程噪聲中包含野值,產(chǎn)生厚尾過程噪聲.此時(shí)再用高斯假設(shè)下的濾波器會(huì)使得濾波精度大大下降.已有文獻(xiàn)進(jìn)行了在厚尾噪聲假設(shè)下利用student’s t濾波器解決目標(biāo)跟蹤問題的一系列研究[13-18],但僅僅限于點(diǎn)目標(biāo)跟蹤,沒有考慮到ETT問題的求解.所以,思考一種在厚尾噪聲分布條件下,針對ET多個(gè)量測源穩(wěn)健地估計(jì)出目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀輪廓的濾波算法,具有非常重要的研究意義.

本文針對厚尾過程噪聲和量測噪聲的環(huán)境下任意不規(guī)則形狀擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤問題,首先將厚尾過程噪聲和量測噪聲建模為student’s t分布,利用星凸形RHM對擴(kuò)展目標(biāo)的量測源進(jìn)行建模,然后將RHM建模的空間量測分布模型與魯棒student’s t濾波算法相結(jié)合對RHM的非線性偽量測方程進(jìn)行求解.最后,通過實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了本文算法的正確性和有效性.

1 魯棒student’s t濾波器

將非線性離散隨機(jī)系統(tǒng)利用狀態(tài)空間模型建模為

(1)

其中:xk∈Rn表示k時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)向量,n為系統(tǒng)狀態(tài)維度；zk∈Rm表示k時(shí)刻的量測向量,m為量測維度；fk-1(·)和hk(·)分別為非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測函數(shù)；wk和vk分別為系統(tǒng)的過程噪聲和量測噪聲.

由圖1可以看出,與高斯分布相比student’s t分布具有厚尾特性,對野值有良好的包容度,由此student’s t分布[14]適用于對厚尾噪聲建模：

(2)

將系統(tǒng)的初始狀態(tài)向量x0建模為student’s t分布:

(3)

其中,假設(shè)x0、wk、vk互不相關(guān).Student’s t分布和高斯分布比較圖如圖1所示.

圖1 高斯分布和student’s t分布Fig.1 Gaussian distribution and student’s t distribution

魯棒student’s t濾波器的主要思想是利用student’s t分布來逼近系統(tǒng)的后驗(yàn)概率分布,即

(4)

根據(jù)文獻(xiàn)[16],利用student’s t分布逼近系統(tǒng)的后驗(yàn)PDF必須滿足以下前提條件：

假設(shè)1：系統(tǒng)狀態(tài)和量測的聯(lián)合分布為student’s t分布：

(7)

根據(jù)式(5,6),其中的各個(gè)分量為

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

假設(shè)2：系統(tǒng)當(dāng)前狀態(tài)和系統(tǒng)預(yù)測狀態(tài)的聯(lián)合分布為student’s t分布:

(13)

其中:

(14)

根據(jù)貝葉斯濾波框架,系統(tǒng)的預(yù)測PDF為

(15)

很明顯,由于非線性函數(shù)fk-1(·)的存在,使得預(yù)測PDF不可能是student’s t分布,所以需要在假設(shè)1的基礎(chǔ)上將其近似為student’s t分布：

(16)

根據(jù)假設(shè)1可得參數(shù)為

同理,量測似然PDF也近似為student’s t分布：

(19)

根據(jù)假設(shè)2可得參數(shù)為

同理,將聯(lián)合PDFp(xk,zk|Zk-1)近似為student’s t分布可得：

(22)

最后,利用student’s t分布近似后驗(yàn)分布,再根據(jù)貝葉斯理論可得：

(23)

其中：

nz表示系統(tǒng)的量測維度.式(16～28)構(gòu)成了完整的魯棒student’s t濾波算法,很明顯在遞推過程中含有大量非線性student’s t的高維積分,其求解極為困難.

2 星凸形擴(kuò)展目標(biāo)student’s t濾波器

不同于點(diǎn)目標(biāo)跟蹤,擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤不僅要估計(jì)目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),還要估計(jì)目標(biāo)的擴(kuò)展形狀.由此,在厚尾過程噪聲和量測噪聲的場景中,星凸形擴(kuò)展目標(biāo)student’s t濾波器首先利用星凸形RHM對目標(biāo)量測源進(jìn)行建模,進(jìn)而估計(jì)出目標(biāo)形狀.然后通過魯棒student’s t濾波器進(jìn)行目標(biāo)運(yùn)動(dòng)的估計(jì),最后再結(jié)合三階球面-徑向容積規(guī)則[17]求解RHM的非線性偽量測方程(含非線性student’s t的高維積分).為了估計(jì)星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的狀態(tài),建立如下系統(tǒng)的聯(lián)合估計(jì)模型.

1) 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

擴(kuò)展目標(biāo)在k時(shí)刻的狀態(tài)表示為

xk+1=Fxk+wk,wk～st(wk;0,Qk,v1)

(29)

2) 目標(biāo)量測模型

(30)

再結(jié)合徑向函數(shù)r(pk,φk),S(pk)可以參數(shù)化表示為

S(pk)=sk,l·r(pk,φk)·η(φ)+mk

(31)

其中:φk∈[0,2π];r(pk,φk)表示質(zhì)心和目標(biāo)邊界間的距離關(guān)于角度φk的函數(shù);方向向量為η(φk)=[cos(φk),sin(φk)]T.

徑向函數(shù)r(pk,φk)的有限階傅里葉級數(shù)展開為

(32)

其中形狀參數(shù)向量為

所以,徑向函數(shù)為

r(pk,φk)=R(φk)·pk

(35)

由此RHM星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的量測源可以建模為

yk,l=sk,l·R(φk)·pk·η(φk)+mk

因?yàn)榱繙y模型包括傳感器噪聲模型和量測源模型兩部分,即

zk=yk,l+vk

所以基于RHM的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的量測方程為

zk=sk,l·R(φk)·pk·η(φk)+mk+vk

(36)

h*(xk,vk,sk,l,zk)將狀態(tài)向量xk、收縮因子sk,l、量測zk和量測噪聲vk映射到偽量測0,則稱為偽量測方程.以上公式(29,37,38)構(gòu)成了偽星凸形擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的狀態(tài)空間模型.在此基礎(chǔ)上,結(jié)合魯棒student’s t濾波器推導(dǎo)濾波算法.

(1) 預(yù)測部分

由于目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型是線性的,在厚尾噪聲下,系統(tǒng)的一步預(yù)測PDF如式(16)所示,根據(jù)文獻(xiàn)[18]推導(dǎo)可得：

(2) 更新部分

結(jié)合以上推導(dǎo)得到的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的非線性RHM偽量測函數(shù)和式(20～28)所示魯棒student’s t濾波算法的更新步,再通過采用高濾波精度的三階球面-徑向容積規(guī)則近似求解過程中出現(xiàn)的非線性student’s t的高維積分,得到星凸形擴(kuò)展目標(biāo)student’s t濾波器的更新部分.具體步驟如下：

步驟1:基于標(biāo)準(zhǔn)student’s t分布密度積分準(zhǔn)則確定容積采樣點(diǎn)ξi及其權(quán)值ωi為

(41)

其中:nx為系統(tǒng)的狀態(tài)維數(shù);ej為單位矩陣的第j列;容積點(diǎn)總數(shù)為2nx.

(42)

其中Sk|k-1由Pk|k-1進(jìn)行Cholesky分解得到.

步驟3: 經(jīng)過RHM偽量測方程傳遞后的容積點(diǎn)：

(43)

步驟4: 由經(jīng)過偽量測方程傳遞后的容積點(diǎn)確定量測的預(yù)測均值、協(xié)方差為

在上述濾波算法中,由式(26)可以看出隨著濾波遞推,自由度參數(shù)會(huì)越來越大,使得系統(tǒng)的厚尾特性消失.為了保持系統(tǒng)厚尾特性的魯棒性,采用二階矩匹配的方法對后驗(yàn)分布進(jìn)行修正[18]：

(47)

在以上星凸形擴(kuò)展目標(biāo)student’s t濾波器算法的推導(dǎo)過程中,由于針對厚尾噪聲選擇高匹配度student’s t分布建模噪聲，再用魯棒student’s t濾波器進(jìn)行系統(tǒng)濾波.理論上通過建模的穩(wěn)定性確保了算法的魯棒性.

3 仿真分析

本文引入一種擬Jaccard(quasi-Jaccard)距離[9]作為不規(guī)則擴(kuò)展(群)目標(biāo)形狀估計(jì)[19-20]評價(jià)指標(biāo),k時(shí)刻擴(kuò)展目標(biāo)的真實(shí)輪廓與估計(jì)輪廓間的擬Jaccard距離定義為

(48)

通過構(gòu)造不同情況下不規(guī)則形狀擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的仿真場景,在過程噪聲和量測噪聲均具有厚尾特性的情況下,設(shè)置用經(jīng)典的UKF對星凸形擴(kuò)展目標(biāo)濾波作為對比算法,分別用本文所提出的student’s t濾波算法和對比算法跟蹤不同形狀的擴(kuò)展目標(biāo)、形狀漸變的擴(kuò)展目標(biāo)以及群目標(biāo),驗(yàn)證所提算法對擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤的有效性.目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型選CV模型,仿真場景設(shè)置采樣周期T=1,k時(shí)刻目標(biāo)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可由式(29)描述,其中

其中:過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σw=1.5 m/s2;nf為傅里葉級數(shù),取11;Inf為nf階單位矩陣;尺度因子設(shè)置為s～N(0.5,0.02).目標(biāo)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為x0=[5,10,10,5],自由度參數(shù)為v1=v2=v3=3.

厚尾過程噪聲和量測噪聲分別設(shè)置為

其中:R=rI2，r=100,95%的vk和wk來自于協(xié)方差為Q或R的高斯噪聲,只有5%的過程噪聲和5%的量測噪聲來自于協(xié)方差嚴(yán)重增加的高斯分布.

圖2和圖3分別是兩種算法對五角星目標(biāo)的跟蹤效果圖和其對應(yīng)的擬Jaccard距離,運(yùn)動(dòng)終止時(shí)刻tf=5 s,綠色的質(zhì)心和輪廓為本文所提算法的估計(jì)結(jié)果，紅色的質(zhì)心和輪廓為對比算法的估計(jì)結(jié)果.可以看出：

圖2 五角星目標(biāo)跟蹤Fig.2 Pentagram target tracking

1) 隨著目標(biāo)的運(yùn)動(dòng),兩種算法都能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出當(dāng)前時(shí)刻的目標(biāo)質(zhì)心位置,且估計(jì)質(zhì)心基本重合.這表明兩種算法都能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

2) 由于目標(biāo)的形狀先驗(yàn)是未知的,兩種算法在初始時(shí)刻的目標(biāo)輪廓估計(jì)較為粗略.但是,隨著濾波次數(shù)的遞推,到最終時(shí)刻只有星凸形student’s t濾波器能較為準(zhǔn)確地估計(jì)出該五角星目標(biāo)的輪廓,而另一種對比算法不能完整地估計(jì)出五角星目標(biāo)的形狀輪廓.

圖3的擬Jaccard距離圖更進(jìn)一步說明了本文

圖3 五角星目標(biāo)跟蹤擬Jaccard距離

所提算法對目標(biāo)形狀的估計(jì)確實(shí)比已有的算法精確.由此驗(yàn)證了本文所提濾波器在厚尾噪聲下對不規(guī)則擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀都具有收斂性.

圖4和圖5為形狀突變的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤效果圖及其局部放大圖,運(yùn)動(dòng)終止時(shí)刻為tf=15 s,在第5個(gè)時(shí)刻目標(biāo)形狀發(fā)生突變(前4個(gè)時(shí)刻目標(biāo)形狀為十字架,后11個(gè)時(shí)刻目標(biāo)形狀為五角星).由圖4可知,該濾波器能夠較為精確地跟蹤不規(guī)則擴(kuò)展目標(biāo).圖5選取了目標(biāo)形狀突變時(shí)刻和最終時(shí)刻的目標(biāo)跟蹤局部放大圖.由圖5a可以看出,由于大量的先驗(yàn)信息來自于突變前的目標(biāo),在突變剛發(fā)生時(shí)形狀估計(jì)效果很差.但是,由圖5b可知隨著突變后濾波次數(shù)的遞推,對突變后的形狀仍然能達(dá)到較為精確的估計(jì).從而驗(yàn)證了在厚尾噪聲的環(huán)境中,星凸形student’s t濾波器對形狀突變的擴(kuò)展目標(biāo)的不規(guī)則形狀和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)具有收斂性.

圖4 形狀突變目標(biāo)跟蹤Fig.4 Shape change target tracking

圖5 形狀突變目標(biāo)跟蹤局部放大圖

圖6和圖7構(gòu)造兩種不同算法下具有形狀突變的群目標(biāo)跟蹤實(shí)驗(yàn),每個(gè)群目標(biāo)由20個(gè)點(diǎn)目標(biāo)構(gòu)成.圖6為群目標(biāo)跟蹤的形狀擬Jaccard距離,圖7是目標(biāo)在發(fā)生形狀突變時(shí)刻和跟蹤的最終時(shí)刻的局部放大圖,從而比較對于群目標(biāo)這兩種濾波器的跟蹤性能.很明顯,由圖7a可以看出,在剛發(fā)生突變后兩種算法的目標(biāo)形狀估計(jì)都較差,但是隨著濾波次數(shù)的增加,到濾波的最終時(shí)刻如圖7b所示,星凸形student’s t濾波算法估計(jì)的藍(lán)色輪廓線與群目標(biāo)的真實(shí)輪廓很接近，而對比算法估計(jì)的黑色輪廓線明顯不夠精確.由此可見,本文所提濾波器能夠較為精確地估計(jì)出群目標(biāo)此時(shí)的形狀.

圖6 群目標(biāo)跟蹤擬Jaccard距離Fig.6 Quasi-Jaccard distance statistics of the group target tracking

圖7 群目標(biāo)跟蹤局部放大圖Fig.7 Partial enlarged detail of the group target tracking

對群目標(biāo)跟蹤實(shí)驗(yàn),在同樣的厚尾噪聲設(shè)置下進(jìn)行了100次蒙特卡羅仿真,得到了圖6所示的目標(biāo)形狀擬Jaccard距離,注意到在t=21 s時(shí)兩種算法的擬Jaccard距離都驟然增加,這是由于此時(shí)群目標(biāo)的形狀發(fā)生突變(由四邊形變?yōu)槭旨?引起的,但在之后的時(shí)刻隨著濾波次數(shù)的遞推再次穩(wěn)定.由擬Jaccard距離的比較可以明顯看出,在厚尾噪聲條件下相對于傳統(tǒng)的不敏卡爾曼濾波器解決星凸形擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤,本文所提算法的準(zhǔn)確性有明顯的提高.

綜合上述實(shí)驗(yàn),本文所提出的算法在厚尾過程噪聲和量測噪聲的情況下,對不規(guī)則擴(kuò)展目標(biāo)(包括形狀突變)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀估計(jì)都較為精確.同時(shí)對形狀突變的群擴(kuò)展目標(biāo)(與現(xiàn)實(shí)意義中的編隊(duì)飛行目標(biāo)相似)也具有收斂性.

4 結(jié)論

本文針對非線性非高斯厚尾噪聲條件下的不規(guī)則形狀的擴(kuò)展目標(biāo)跟蹤問題,提出了基于隨機(jī)超曲面模型的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)student’s t濾波算法.結(jié)合擴(kuò)展目標(biāo)形狀評價(jià)指標(biāo)擬Jaccard距離,在雜波環(huán)境下分別對不同形狀的擴(kuò)展(群)目標(biāo)進(jìn)行了估計(jì)狀態(tài),從而驗(yàn)證了所提出方法的正確性和有效性.根據(jù)仿真結(jié)果可知,本文算法可以同時(shí)較為精確地估計(jì)厚尾噪聲下的擴(kuò)展目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和形狀,并能較為準(zhǔn)確地識別和跟蹤群目標(biāo)形狀.將來的工作重點(diǎn)是進(jìn)一步研究厚尾噪聲下基于RHM的星凸形擴(kuò)展目標(biāo)的收斂條件及其理論證明和厚尾噪聲下多擴(kuò)展目標(biāo)的跟蹤算法.