王鳳鳳，虞旦盛*，盧誠波

（1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江杭州 311121；2.麗水學(xué)院工學(xué)院，浙江麗水 323000）

0 引言和概念

1968年，Stancu[1]引入了所謂的Bernstein-Stancu多項(xiàng)式。設(shè)f∈C［0，1］，相應(yīng)的Bernstein-Stancu算子定義為：

2010年，Gadjiev和Ghorbanalizadeh[2]引入了以下具有移動(dòng)節(jié)點(diǎn)的一般化Bernstein-Stancu算子：

其中

定理1 設(shè)0≤λ≤1為固定常數(shù)，則對(duì)任何f∈C（An），存在一個(gè)僅依賴于λ、α和β的正常數(shù)C，使得

定理2 設(shè)f∈C（An），0＜θ＜2，則有

如果f（x）具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，即f（x）∈C2（An），我們有下面的Voronovskaja型估計(jì)：

定理3 對(duì)任何f∈C2（An），存在一個(gè)僅依賴于λ、α和β的正常數(shù)C，使得

注 本文中，C表示一個(gè)正的絕對(duì)常數(shù)，或依賴于某些參數(shù)但不依賴于f、x和n的正的常數(shù)，它們的值在不同的情況下可能不同。本文中A～B指的是存在兩個(gè)正常數(shù)C1和C2，使得C1A≤B≤C2A。

1 引理及其證明

為了證明上述定理，我們首先給出幾個(gè)引理。

引理1下列等式成立：

證明 通過簡單的計(jì)算可得：

因此，

引理2[13]設(shè)（x）為［a，b］上不恒等于0的函數(shù)，且2為上凸的，則對(duì)所有x∈［a，b］，h＞0滿足x±h∈［a，b］，下式成立：

引理3對(duì)任何t，，0≤λ≤1，下式成立：

證明 通過直接計(jì)算可得

引理4設(shè)f∈C（An），則下式成立：

證明 通過簡單計(jì)算可得

故有

利用Cauchy-Schwarz不等式，有

從而

引理4得證。

證明 記

直接計(jì)算可得

下面開始證明式（13）。對(duì)任意的s=t+τ（x-t），τ∈An，利用φ2λ（x）的凸性，知

利用式（15）和Taylor公式：

得

因此，

因此，

2 定理的證明

定理1的證明 顯然

定義

根據(jù)式（18）和式（19），我們有

利用Taylor展開式

以及下列不等式（見文［6］）：

得

其中上述的最后一個(gè)式子用到了式（20）。

結(jié)合式（21）和式（22），定理1得證。

定理2的證明 充分性的證明由定理1可以直接推得。下面我們證明必要性。設(shè)x，h∈An，使得x±h∈An。顯然，

下面分別估計(jì)上式右邊的兩項(xiàng)的值。利用φ2（1-λ）（x）的凸性可知，

通過定理的假設(shè)，我們可以得到

由引理4和引理5，可得

現(xiàn)在利用引理2，就有

用hφλ（x）代替h，

于是

選擇n使得

這樣就有

對(duì)上式關(guān)于h在0＜h≤t取上確界得到，0＜t≤δ。

利用著名的Berens和Lorentz引理[15]，即知必要性成立。

定理3的證明 對(duì)任何f∈C（An），定義K-泛函：

利用引理1和Taylor展開式：

可以得到

從而，

利用式（7）和式（23），就有

類似地

我們分下面兩種情形來估計(jì)I3。

情形1。此時(shí)，有及，…，因此，

由Cauchy不等式及式（7）和式（9），得

利用式（29），我們繼續(xù)估計(jì)I3，

在最后一個(gè)不等式中我們利用了式（24）和式（25）。

利用式（29）和δn（x）～φ（x），推得

結(jié)合式（26）（27）（28）（30）和（31），定理3得證。