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        一類對稱群的胞腔

        2021-10-30 09:00:02王利萍
        大學數(shù)學 2021年5期
        關鍵詞:定義標準

        羅 新, 王利萍

        (北京建筑大學 理學院,北京102616)

        1 引 言

        1979年,Kazhdan和Lusztig提出了著名的Kazhdan-Lusztig理論.胞腔是該理論中的一個主要研究對象.為了研究Coxeter群的相關代數(shù)結(jié)構(gòu),Kazhdan和Lusztig根據(jù)左(右)等價關系,把群元素劃分成不同的等價類,即雙邊胞腔、左(右)胞腔[1].當W是一個Weyl群時,Barbasch, Lusztig, Joseph, Vogan等人對其胞腔進行了研究.Weyl群中胞腔在李型群的表示理論以及半單李代數(shù)的普遍包絡代數(shù)的本原理想理論中都有重要的應用[2].

        對于對稱群Sn,它有著很好的組合方面的結(jié)論和性質(zhì),更希望有方便好用的工具可以描述和計算對稱群的雙邊胞腔(或左胞腔、右胞腔),從而應用到表示理論中.文章主要分為三部分,首先介紹了對稱群以及胞腔等基本概念,并且指出了Sn內(nèi)不等價的不可約表示、其每一個左胞腔所對應的W-圖與n的整數(shù)無序劃分之間存在關系;其次,通過計算機編程,實現(xiàn)了用Matlab構(gòu)建標準Young表,對于對稱群中的任意一個置換,可以很快得出其所對應的標準Young表;最后,運用程序給出了一類對稱群所對應的雙邊、右(左)胞腔的個數(shù).

        2 預備知識

        2.1 雙邊胞腔及左(右)胞腔

        定義1[1]對于每一個元素w∈W,令

        L(w)∶={s∈S|sw

        L(wi-1)?L(wi) (L(wi-1)?L(wi) 或R(wi-1)?R(wi)).

        類似的,對應于關系w≤Lu,可以定義w≤Ru. 這些關系≤L,≤R,≤LR是W上的預次序.

        定義2[1]對于W中的元素w和u,如果滿足關系w≤Lu≤Lw(w≤LRu≤LRw),則稱它們滿足關系w~Lu(w~LRu). 類似的,也可以定義w~Ru. 關系~L,~R,~LR為W中的等價關系,它們對應的等價類分別稱為W的左胞腔,右胞腔,雙邊胞腔.

        2.2 a函數(shù)

        定義3[1]給定一個Coxeter群W, A=為整系數(shù)的Laurent多項式環(huán),q為一個變量,定義在A上的代數(shù)H稱為一個Hecke代數(shù),H有一組典范基{Cw|w∈W},即為Kazhdan-Lusztig基.

        對于任意一個Coxeter群W,Lusztig首次引入a函數(shù):a∶W→∪{∞}. 該函數(shù)是研究胞腔以及計算Kazhdan-Lusztig多項式首項系數(shù)的一個極其重要的工具.

        給定x,y∈W,有

        定義5[7]對任意z∈W,定義

        2.3 n的整數(shù)無序劃分與Sn的關系

        定義6[8]整數(shù)無序劃分是指把整數(shù)分解成若干整數(shù)的和,若各部分不允許出現(xiàn)0值時,則稱各部分為類,即

        引理1[9]兩個置換g1,g2∈Sn共軛?它們對應著n的同一劃分.

        由引理1知,Sn的共軛類和n的劃分之間一一對應,因此,Sn內(nèi)共軛類的個數(shù)等于n的不同劃分的個數(shù).

        引理2[10]設G是有限群,|G|=g,F是代數(shù)封閉域,且charF=0或charF=p但p不整除|G|,又設G的共軛類數(shù)為s,則G恰有s個不等價的不可約表示.

        對于每一個確定的正整數(shù)n,其所對應的對稱群Sn顯然是一個有限群,因此符合引理2,根據(jù)引理1和引理2,可以得到以下結(jié)論:

        定理1Sn內(nèi)不等價的不可約表示的個數(shù)等于其所對應的共軛類的個數(shù),并且等于n的整數(shù)無序劃分的個數(shù).

        引理3[1]令X是對稱群W=Sn的一個左胞腔,Γ是與X相關的W-圖,ρ是對應于Γ的代數(shù)H的表示,則ρ是不可約的,并且Γ的同構(gòu)類只取決于不可約表示ρ的同構(gòu)類,與X無關.

        由引理3知,Sn的每一個左胞腔所對應的W-圖Γ的同構(gòu)類與Sn的不可約表示有著緊密的聯(lián)系.

        3 R-S法則下的Young表構(gòu)建

        對于對稱群W=Sn,定義單反射集S由以下元組成:

        si=(i,i+1),i=1,2,…,n-1.

        并且規(guī)定Sn中置換的乘法是從右向左的.可以根據(jù)Robinson-Schensted法則來描述W的胞腔分解情況[11].同時,我們也可以較為容易地計算出相應對稱群的a函數(shù).

        對于整數(shù)n的一個劃分λ,都可以找到一個Young表Fλ與之相對應.該Young表由n個盒子組成,每一列的長度由λ的分量所確定,且按照Robinson-Schensted法則,用1,2,…,n來填充盒子.如果用來填充盒子的數(shù)字按列從上到下遞增且按行從左到右遞增,就稱該表是一個標準的Young表.該法則定義了一個從Sn到標準Young表對組成的集合上的雙射θ∶w→(P(w),Q(w)).

        對任意的i=1,2,…,n,令w(i)=ji,標準Young表定義如下:

        令T0是一個Young圖,接下來利用數(shù)學歸納法,按照法則,把數(shù)字j1,j2,…,jn-1依次填入到n-1個盒子中,這樣便定義好了一個Young表Tn-1. 現(xiàn)在定義Young表Tn:如果jn比Tn-1的第一行中的每一個數(shù)字都大,則在Tn-1的第一行的后面再增加一個盒子,并且用jn標記便得到了Tn;否則在Tn-1中找出比jn大的那個最小的數(shù)字,并把它記為z,此時用jn來替換z,而對于z,按照上面同樣的方法,把它插入到Tn-1表的第二行中,這樣經(jīng)過一系列的比較、替代、換行……,最終得到的Young表就是Tn. 令P(w)=Tn,則它就是一個標準的Young表.相對應地,Q(w)∶=P(w-1).

        定理2[12]令y,w是Sn中的元素,則有

        (i)y~Lw當且僅當Q(y)=Q(w);

        (ii)y~Rw當且僅當P(y)=P(w);

        (iii)y~LRw當且僅當P(y)和P(w)有相同的型.

        命題1(i)w,u∈Sn,若a(w)=a(u)且w≤LRu,則有w~LRu[7];

        (ii) 在Sn中,a函數(shù)的不同函數(shù)值的個數(shù)小于等于群所對應的雙邊胞腔的個數(shù).w,u∈Sn,若w~LRu,則必有a(w)=a(u);但反之,若a(w)=a(u),不一定必有w~LRu,即w,u未必在Sn的同一個雙邊胞腔中;

        (iii)w,u∈Sn,若w~LRu,則未必有w~Lu或w~Ru成立.反之,若w~Lu或w~Ru成立,則w~LRu.

        例如:在A3型Weyl群中,有s2s1s3~LRs1s3s2,但s2s1s3~Ls1s3s2和s2s1s3~Rs1s3s2均不成立.

        給出對稱群中的一個元素,在畫它所對應的Young表時,若所給元素的長度較短,則很容易畫出Young表,而一旦所給元素的長度較長,Young表的給出較為困難.因此有必要借助計算機編程,以便更加高效地解決問題.根據(jù)標準Young表的相關描述,可以很清楚地看到:對于一個給定的Sn中的置換,構(gòu)建標準Young表的過程實際是一個具有遞歸思想的圖表構(gòu)建過程,因此可以應用matlab編程[附錄1],從而快速實現(xiàn)標準Young表的構(gòu)建.

        對于任意給出的Sn的置換,可以通過程序來給出它們所對應的標準Young表.下面以n=22,30為例:

        12711141516369132148122051710191822圖1 置換y對應的Young表

        137101322232481115253056169121814172619212024272829圖2 置換z所對應的Young表

        4 Sn的雙邊胞腔及右胞腔

        4.1 n的無序劃分與Sn的雙邊胞腔

        引理4[8]整數(shù)無序劃分的相關遞推公式

        對于任意的正整數(shù)n,可以運用C語言軟件,根據(jù)整數(shù)無序劃分的要求,得到n的每一種具體的劃分[13].根據(jù)標準Young表的相關描述,對于n的每一種具體劃分,令第一列有n1個盒子,第二列有n2個盒子,……,第k列有nk個盒子,并且每一列第一個盒子左右水平對齊,這樣就把n的每一種劃分,對應到同一種型的Young表,根據(jù)定理2(iii),可以得出以下定理:

        定理3Sn的雙邊胞腔的個數(shù)與n的整數(shù)無序劃分的個數(shù)相等.

        對于Sn,由于其雙邊胞腔的個數(shù),等于n的按遞減排序的劃分個數(shù),而在排列組合中,符合這種條件的劃分,就是n的無序k-劃分,所以要求Sn的雙邊胞腔的個數(shù),實際上就是求符合一定條件的n的劃分個數(shù).在這里,根據(jù)引理4中整數(shù)無序劃分的相關遞推公式,運用matlab[附錄2]編程軟件,快速求出不同的正整數(shù)n所對應的劃分個數(shù)Pn,即Sn的雙邊胞腔的個數(shù).

        在對稱群Sn中,假設P(y)是一個型為λ=(λ1≥λ2≥…≥λk)的Young表,則有

        根據(jù)a函數(shù)的計算公式,可以很快得到:n的每一種具體劃分,都會對應一個a函數(shù),同時也對應一種型的Young表,也即符合這種型的標準Young表所對應的Sn中的元素,都在同一個雙邊胞腔中.這樣就把Sn中的元素劃分到了不同的雙邊胞腔中,從而得到了Sn的雙邊胞腔分解.

        4.2 Sn的右胞腔個數(shù)

        在對Sn中的元素進行標準Young表的構(gòu)建過程中,很容易得到:在同一個雙邊胞腔中的元素,都會對應相同型的標準Young表,所以也可以間接通過標準Young表的型數(shù),來得到雙邊胞腔的個數(shù),而標準Young表的型數(shù)又是由n的無序劃分所決定的;在同一個右胞腔中的元素,都會對應相同的標準Young表.由于當n比較大時,n!是一個比較大的數(shù),所以為了得到Sn所對應的右胞腔分解及其個數(shù),不妨換個角度思考問題:在n的無序k-劃分的基礎上,給出一種具體劃分,便可以得到一種型的Young表,然后用matlab進行編程,把從1到n的這些數(shù)填入這種型的Young表中,保證得到的是標準Young表.通過統(tǒng)計滿足給定型的標準Young表的個數(shù),便可得到它在這種情況下的右胞腔分解個數(shù),即這種型所對應的雙邊胞腔中包含的右胞腔的個數(shù).這樣把Sn中所有雙邊胞腔所包含的右胞腔的個數(shù)一一都求出來再求和,便可以求出Sn的右胞腔的個數(shù)[附錄3].由于Q(w)=P(w-1),根據(jù)定理2,可得:在對稱群中,左胞腔的個數(shù)等于右胞腔的個數(shù).

        由于計算機內(nèi)存和算法的限制,在這里給出了當n≤10時,Sn所對應的右胞腔分解個數(shù).當n比較大時,Sn所對應的雙邊胞腔分解個數(shù),所受影響較小,在這里只列出當n≤20時,Sn的雙邊胞腔分解個數(shù).下面以S4為例:

        例其生成元為s1=(12),s2=(23),s3=(34),并且

        4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1,

        W={e,s1,s1s2,s1s2s3,s2,s2s1,s2s3,s3,s3s2,s3s2s1,s3s1,s3s1s2,s2s1s3,s2s1s3s2,s1s2s1,

        s1s2s1s3,s1s2s1s3s2,s2s3s2,s2s3s2s1,s2s3s2s1s2,s3s1s2s1,s3s1s2s1s3,s1s2s3s2,s1s2s3s1s2s1},

        得到這些元素所對應的標準Young表如下:

        1234圖3

        1342圖4

        1243圖5

        1234圖6

        1324圖7

        1234圖8

        1423圖9

        1234圖10

        1324圖11

        1234圖12

        根據(jù)定理2,可以得出S4的10個右胞腔為

        R1∶{e};R2∶{s1,s1s2,s1s2s3};R3∶{s2,s2s1,s2s3};R4∶{s3,s3s2,s3s2s1};R5∶{s3s1,s3s1s2};
        R6∶{s2s1s3,s2s1s3s2};R7∶{s1s2s1,s1s2s1s3,s1s2s1s3s2};R8∶{s2s3s2,s2s3s2s1,s2s3s2s1s2};
        R9∶{s3s1s2s1,s3s1s2s1s3,s1s2s3s2};R10∶{s1s2s3s1s2s1}.

        表1 S4的右胞腔所對應的Young表及a函數(shù)值

        根據(jù)定理2以及整數(shù)4的無序劃分數(shù)目,綜合上面圖表可知,對稱群S4所對應的標準Young表有5種型,因此它有5個雙邊胞腔,分別為

        由于篇幅限制,以下是運行的部分結(jié)果

        表2 Sn所對應的右胞腔和雙邊胞腔的個數(shù)

        5 結(jié) 論

        本文主要借助計算機編程,得出了以下主要研究結(jié)論:

        (i) 指出了Sn內(nèi)不等價的不可約表示、其每一個左胞腔所對應的W-圖與n的整數(shù)無序劃分之間存在關系;

        (ii) 對于對稱群中的任意一個置換,實現(xiàn)了用Matlab快捷構(gòu)建標準Young表;

        (iii) 以n的整數(shù)無序劃分的組合公式為出發(fā)點,運用編程,分別計算了一類對稱群的雙邊胞腔以及右(左)胞腔的個數(shù);

        (iv) 從解決問題的角度出發(fā),體現(xiàn)了數(shù)學與計算機的緊密結(jié)合,這將是一段時間內(nèi)解決數(shù)學問題的有效途徑.

        致謝本文的完成得到了海軍航空大學司守奎教授的幫助,他對本文的部分編程提出了有益的建議.同時,也要感謝審稿人對本文提出的寶貴建議.

        附錄1(Young表的構(gòu)建)

        clc, clear

        m=input(′請輸入正整數(shù)m= ′);

        A=[1∶m;randperm(m)]

        a=A(2,∶) %生成一個1到n的隨機全排列

        n=length(a);

        b=cell(1,ceil(n/2)); %初始化細胞數(shù)組

        b{1}=a(1); k=1;

        for i=2∶n

        if all(a(i)>b{1})

        b{1}=[b{1},a(i)];

        else

        ind=find(b{1}>=a(i),1,′first′); %從頭開始找第1個數(shù)

        t1=b{1}(ind); b{1}(ind)=a(i);

        j=2;

        while 1

        if length(b{j})<1 %b{j}為空

        k=k+1; b{k}=t1; break;

        elseif all(t1>b{j})

        b{j}=[b{j},t1]; break;

        else

        ind=find(b{j}>=t1,1,′first′); %從頭開始找第1個數(shù)

        t2=b{j}(ind); b{j}(ind)=t1;

        t1=t2; j=j+1;

        end

        end

        end

        end

        b(cellfun(@isempty,b))=[]; %刪除細胞數(shù)組的空元素

        celldisp(b) %顯示細胞數(shù)組的所有元素值

        附錄2(計算對稱群的雙邊胞腔個數(shù))

        clc, clear

        n=input(′請輸入正整數(shù)n= ′);

        a=eye(n);

        for i=2∶n

        for j=1∶i-1

        if j<=i-j

        a(i,j)=sum(a(i-j,[1∶j]));

        elseif j>i-j

        a(i,j)=sum(a(i-j,[1∶i-j]));

        end

        end

        end

        a

        m=sum(a(end,∶)) %計算分解的個數(shù)

        附錄3(計算對稱群的右胞腔個數(shù))

        clc, clear

        %m=input(′請輸入n劃分的k元數(shù)組∶ ′)

        m=[1 2 3 4]; m=sort(m,′descend′); %按降序排列

        n=sum(m); %計算n的取值

        L1=length(m); %劃分的個數(shù)

        b=perms([1∶n]); %生成1,2,…,n的全排列

        L2=size(b,1); %計算全排列的個數(shù)

        L=0; %計數(shù)初始化

        t=cumsum(m);s=[1,t(1∶end-1)+1]; %每一段數(shù)據(jù)的終點和起點編號

        e=cell(1); %初始化細胞數(shù)組

        for i=1∶L2

        a=2*n*ones(L1,m(1)); %矩陣初始化

        c=b(i,∶); %利用第i個全排列

        for j=1∶L1

        a(j,[1∶m(j)])=sort(c(s(j)∶t(j))); %第i個全排列構(gòu)造的分解

        end

        d=a; d=sort(d); %逐列按照從小到大排列

        if isequal(a,d) %相等時滿足要求

        for k=1∶length(e)

        if isequal(e{k},d)

        break; %與已經(jīng)構(gòu)造好的數(shù)組相等,不保存

        end

        if k==length(e) %與已經(jīng)構(gòu)造好的數(shù)組不重復

        L=L+1;

        e{L}=d; %保存

        end

        end

        end

        end

        for j=1∶length(e)

        a=e{j}; a(a==2*n)=0; e{j}=a; %把2n替換為0

        E{j}=e{j}′;

        end

        celldisp(E) %顯示細胞數(shù)組的內(nèi)容

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