丁海玲， 凌能祥

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥230601)

1 引 言

在非參數(shù)統(tǒng)計(jì)推斷中，探索響應(yīng)變量和解釋變量之間的關(guān)系時(shí)，條件密度占據(jù)重要地位.關(guān)于條件密度和條件眾數(shù)的研究一直是令人十分感興趣的內(nèi)容.隨著信息化時(shí)代的發(fā)展，越來越多的領(lǐng)域所獲取的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)出函數(shù)特征，函數(shù)型數(shù)據(jù)的研究也逐漸成為熱門.在實(shí)際生活中，得到的數(shù)據(jù)往往形式各異、類型復(fù)雜，所以現(xiàn)在的數(shù)據(jù)研究類型已不滿足于完全獨(dú)立觀測數(shù)據(jù)，而更傾向于相互依存的隨機(jī)刪失和隨機(jī)缺失數(shù)據(jù)，這樣的研究結(jié)果更具有實(shí)用性也更有意義.

Ferraty和Vieu[1]基于函數(shù)型數(shù)據(jù)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法，獲得了樣本在獨(dú)立和α-混合條件下條件密度估計(jì)的幾乎完全收斂速度.Ezzahriouia和Ould-Said[2-3]在樣本獨(dú)立情況下分別獲得了條件分位數(shù)和條件眾數(shù)的漸近正態(tài)分布.Attaoui等[4]研究了基于樣本在獨(dú)立場合下單函數(shù)型指標(biāo)模型條件密度的非參數(shù)雙重核估計(jì)，并獲得了幾乎完全一致收斂速度.此外，Ling等[5-6]利用Kolmogorov-ε熵的方法，研究了單函數(shù)型指標(biāo)模型的條件密度估計(jì)，獲得了樣本在α-混合情況下條件密度估計(jì)及條件眾數(shù)估計(jì)的幾乎完全一致收斂速度.Attaoui和Ling[7]研究了單函數(shù)型指標(biāo)模型時(shí)間序列數(shù)據(jù)的條件累積分布估計(jì)的漸進(jìn)結(jié)果.Ling等[8]研究了遍歷數(shù)據(jù)在響應(yīng)變量隨機(jī)缺失條件下的條件眾數(shù)估計(jì)，獲得條件眾數(shù)估計(jì)的收斂速度和漸近正態(tài)性.吳波[9]基于遍歷函數(shù)型數(shù)據(jù)，研究了條件風(fēng)險(xiǎn)率函數(shù)的核估計(jì).Ling等[10]研究了遍歷數(shù)據(jù)在響應(yīng)變量隨機(jī)刪失的核回歸估計(jì).Benkhaled等[11]利用局部線性估計(jì)方法，獲得隨機(jī)刪失條件下條件密度的強(qiáng)一致性.針對α-混合時(shí)間序列數(shù)據(jù)，本文基于單函數(shù)型指標(biāo)模型，主要研究在響應(yīng)變量Y隨機(jī)刪失時(shí)條件密度和條件眾數(shù)的漸近正態(tài)分布.

2 模型與假設(shè)

2.1 模型及相關(guān)標(biāo)記

則稱{Xn,n≥1}是α-混合的隨機(jī)變量序列.假定(Xi,Zi,δi)1≤i≤n是來自總體(X,Y,δ)的數(shù)據(jù)樣本.基于數(shù)據(jù)集(Xi,Zi,δi)1≤i≤n，本文構(gòu)造密度函數(shù)f(θ,y,x)的估計(jì)如下：

其中

這里K和H是核函數(shù)，hK=hK,n>0和hH=hH,n>0是正向的序列光滑參數(shù)，并且當(dāng)n→∞的時(shí)候趨于零.

2.2 假設(shè)條件

本文中出現(xiàn)的C是不依賴于n的正實(shí)數(shù)，下面給出一些必要的條件：

(A1) 存在一個(gè)可導(dǎo)的函數(shù)φ(·)，使得對任意x∈SH,θ∈ΘH有

0

且當(dāng)hK→0時(shí)，φθ,x(hK)→0；

(A2)K在支撐集[0,1]上非負(fù)有界且在[0,1]上可微,存在正實(shí)數(shù)c1,c2,使得

-∞

(A3)H是非負(fù)有界函數(shù)，滿足

(A4) 條件密度f(θ,y,x)滿足

(i) 存在β1>0,β2>0，對任意(x1,x2)∈SH×SH, (y1,y2)∈SR×SR,θ∈ΘH有

|f(θ,y1,x1)-f(θ,y2,x2)|≤c(‖x1-x2‖β1+|y1-y2|β2)，

(ii) 存在β0>0, (y1,y2)∈SR×SR，對任意q=1,2有

|f(q)(θ,y1,x)-f(q)(θ,y2,x)|≤c(|y1-y2|β0)，

(iii)f(θ,·,x)在M(x)處二階連續(xù)可微，且|f(2)(θ,M(x),x)|≠0，其中f(q)(θ,y,x),q=1,2表示f(θ,y,x)關(guān)于y為q階可導(dǎo)，

(iv) 存在ζ>0和唯一的y0∈SR，使得f(θ,·,x)在(y0-ζ,y0)上嚴(yán)格遞增，在(y0,y0+ζ)上嚴(yán)格遞減；

(A5) (Xi,Yi)i∈N滿足

(ii) 存在βθ,x(·)，使得對任意t∈[0,1]，都有

(A6) 算術(shù)α-混合中的a>3，窗寬hK和hH以及小球概率φθ,x(hK)滿足：當(dāng)n→0時(shí)

(A8) 假設(shè)對任意ε>0,y∈SR，存在η>0，使得：|M(x)-y|≥ε，則有

|f(θ,M(x),x)-f(θ,y,x)|≥η.

注 (A1)-(A4)是單函數(shù)型指標(biāo)模型中條件密度和條件眾數(shù)的基本假設(shè),文獻(xiàn)[4]有類似假設(shè).(A5)給出了聯(lián)合分布(xi,xj)相對于其邊緣的性質(zhì)，并允許我們給出一個(gè)顯式漸進(jìn)方差項(xiàng).(A6)-(A7)給出小球概率和窗寬的條件，以及α-混合的相關(guān)條件和性質(zhì).(A8)是對條件眾數(shù)的基本假設(shè).

2.3 理論結(jié)果

定理1條件(A1)-(A7)成立時(shí)，有

其中

由于上述結(jié)果不能直接應(yīng)用于實(shí)際，對未知函數(shù)做估計(jì)

由估計(jì)值則可以得出

定理2在定理1成立的條件和條件(A8)下，有

其中

3 引理及證明

證明之前，先做如下分解：

下面給出必要的三個(gè)引理以及相關(guān)證明.

對于J1:

由(A1),(A2)可知

所以

對于J2:

這里an=o(n)為特定選擇.首先對于J2,1，由條件(A1)，(A2)，(A6)有

所以

即

可知

選取合適的an，使得當(dāng)n→∞時(shí)，J2,1→0.對J2,2，運(yùn)用強(qiáng)混合依賴的Davydov不等式[1]，有

Cov{Ki,Kj}≤C{E(Ki)v}2/v[α(|i-j|)]1-2/v.

因?yàn)镋|Ki|v=Cφθ,x(hK)，所以Cov{Ki,Kj}≤C[φθ,x(hK)]2/v[α(|i-j|)]1-2/v.可知

即

引理2條件(A1)-(A4)成立時(shí)，當(dāng)n→∞有

對任意度量函數(shù)φ(·)，有

I{Y1≤C1}φ(Z1)=I{Y1≤C1}φ(Y1)，

所以可得

引理2得證.

引理3條件(A1)-(A4),(A5)-(A8)成立，有

首先

第二步，由ηni的定義，對于i≠j，有

令

則

結(jié)合Licbscher[16]推論2.2得證.

接下來證明定理2，考慮到

由條件知

及f(2)(θ,y,x)的一致連續(xù)性，可得

由于

類似引理3的證明，即可得證.此時(shí)，定理2得證.

4 模擬研究

本節(jié)將展開單函數(shù)型指標(biāo)模型條件眾數(shù)估計(jì)在響應(yīng)變量隨機(jī)刪失情況下的模擬研究，驗(yàn)證其估計(jì)的有效性.模擬方法及參數(shù)設(shè)置參考Ling等[10]和Ding等[18]關(guān)于刪失和單指標(biāo)的研究.文章構(gòu)造函數(shù)型數(shù)據(jù)xi(t)為

圖1 曲線xi(t), i=1,…,200.

其中

此外將比較條件眾數(shù)的單函數(shù)型指標(biāo)模型和函數(shù)型非參數(shù)模型的表現(xiàn)，函數(shù)型非參數(shù)模型為

Y=r(x)+ε.

在這里，曲線、核函數(shù)及窗寬的選取和單函數(shù)型指標(biāo)模型相同，將采用如下半度量：

表1 不同模型在相同刪失率下的MSE

從表1可以看到，在相同樣本量的情況下，條件密度估計(jì)的預(yù)測效果(MSE)隨著刪失率CR的減小(u增大)而變好；刪失率相同的情況下，樣本量越大，預(yù)測精度越準(zhǔn)，受缺失率的影響也越弱.在對刪失數(shù)據(jù)的處理中，單函數(shù)型指標(biāo)模型的表現(xiàn)要明顯優(yōu)于函數(shù)型非參數(shù)模型.

5 結(jié) 論

本文將單函數(shù)型指標(biāo)模型和響應(yīng)變量隨機(jī)刪失結(jié)合起來，并應(yīng)用于α-混合的場合中，獲得條件密度和條件眾數(shù)估計(jì)量的漸近正態(tài)分布.模擬實(shí)驗(yàn)和真實(shí)數(shù)據(jù)分析也表明了模型的可行性和研究問題的實(shí)用價(jià)值.

致謝作者非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.