楊晶然，趙麗明，周云松，隗功民

（首都師范大學物理系，北京 100048）

0 引言

振動現(xiàn)象在自然界中廣泛存在，而簡諧振動是最簡單、最基本的振動形式.在力學中，常利用彈簧振子系統(tǒng)來研究簡諧振動.事實上，彈簧振子是一個理想模型，系統(tǒng)中的彈簧是“輕”彈簧，其質(zhì)量忽略不計.彈簧作為日常生活中一種廣泛使用的彈性元件，具有吸收振動和沖擊能量的功能，在車輛和坦克中有重要應用［1-3］.因此，考慮彈簧質(zhì)量對運動狀態(tài)的影響是必要的.關于質(zhì)量均勻分布的彈簧的振動特性問題，在很多文章中都有討論［4-11］.楊建宋［12］和謝利民［13］運用瑞利近似的方法，求出了彈簧系統(tǒng)的振動頻率，并給出了彈簧的等效質(zhì)量；丁履成和司明揚［14］利用牛頓定律，通過嚴格求解證實彈簧振動的周期與振子的質(zhì)量和彈簧的質(zhì)量有關.然而，彈簧質(zhì)量對振動特性的影響以及高階模式對體系運動狀態(tài)的影響有多大，以上問題并未見文獻報道.本文主要探討了在給定初始條件的情況下，彈簧質(zhì)量對振子的振動特性以及體系波動特性的影響.

1 彈簧的波動方程及本征頻率

1.1 波動方程

假設質(zhì)量均勻分布的彈簧，其質(zhì)量為m，自然長度為l，勁度系數(shù)為k，彈簧的左端固定，右端連接一個質(zhì)量為M的振子（圖1）.將彈簧離散成n個小彈簧，每一小段的長度為Δx，并設彈簧上距離左端固定處O點的距離為x處的一小段彈簧為Δx，偏離原來位置的位移為y，該小段彈簧的伸長量為Δy，那么該小段彈簧的勁度系數(shù)為其質(zhì)量為［15-16］

圖1 彈簧振子形變示意

在振動過程中，彈簧不斷地拉伸或壓縮.對于原長為Δx的一小段彈簧，在某一時刻t，假定其左端受到的拉力大小為Fx，右端受到的拉力大小為Fx+Δx.由胡克定律可知，x處的Δx小段彈簧右端所受到的力為則x處Δx小段彈簧受到的合力為

根據(jù)牛頓第二定律，式（1）可整理為

1.2 本征頻率

彈簧振子體系滿足條件：

將邊界條件代入波動方程得到本征頻率，其中式（3）表示彈簧左端固定處O點（x=0）任意時刻的位移y=0，式（4）表示x=l（自然長度）處，振子M所受合力的表達式.

設y（x，t）=X（x）T（t）［17-18］帶入式（2）得

因此，當考慮彈簧質(zhì)量時，系統(tǒng)的振動模式是由無限多個簡諧振動疊加而成.

將式（5）代入邊界條件（3）和（4）可得本征方程

利用方程（7）可得到體系的本征值ωn，其為某一簡諧振動的圓頻率.由此可知，彈簧振子系統(tǒng)的振動頻率只與的值有關.如果給定初始條件，那么系數(shù)Cn與?n便可以確定，從而可以得到該系統(tǒng)的振動特性.

2 波動方程初始條件

2.1 一般初始條件

通常情況下，初始時刻將振子拉伸或壓縮一段距離（初位移），那么彈簧各個點的伸長量（y）與速度（v）都是x的函數(shù)，因此，初始條件的一般表達式為：

將波動方程的形式解（5）代入初始條件，再由傅里葉級數(shù)展開，整理得：

因此，只要給出Φ(x)和Ψ(x)的具體函數(shù)表達式，就可以得 出Bn和Dn（或Cn和?n）的值（其中Cn=

2.2 特定初始條件

結合一個給定的初始條件，對各級振動特性作一個簡單的分析.對于實驗室常用的起振方法來說（初始時刻將振子拉伸到初位移A處，且彈簧各點的速度都為0），初始條件變?yōu)?/p>

因為彈簧振子系統(tǒng)的運動是簡諧振動的疊加，因此，系數(shù)A只是將系統(tǒng)的各個量擴大A倍，不會影響該系統(tǒng)的振動特性.為了方便運算，故設A=1.下文中，y均表示與A的比值.

將其代入式（10）和（11）得：

因而可以確定Cn=Dn，這樣就可以得到彈簧的振動解為

由式（15）可知，彈簧振子體系的運動，是由無限多個本征頻率的振動疊加而成，相應振子的運動方程為

利用式（6）代入式（16），整理得

由式（15）也可得到彈簧上任意一點，在t0時刻的波動方程為

3 結果與分析

3.1 振子振動的本征頻率

表1 不同質(zhì)量比對應的振動頻率比

圖2 彈簧基頻振動頻率比隨質(zhì)量比的變化曲線

3.2 振子的振動特性

當m/M=10（比值較大）時，彈簧振子不同時間的振動如圖3 所示.振子的振動模式主要由1 級振動模式?jīng)Q定，1 級振動模式的振幅占總振動模式的90%，且振子的振動周期也由1 級振動模式的周期決定，高階分量對于振動特性的貢獻不大.彈簧振子各級振動表明，振幅主要由1 階分量確定，隨著n的增加，振幅快速衰減.高階分量對于振動特性的作用很小，基本可以忽略不計.

圖3 彈簧振子不同時間的振動情況

3.3 彈簧振動過程中的波動特性

t=1/4T時，彈簧各處的波動特性如圖4 所示.當系統(tǒng)振動了1/4 周期時，彈簧m越小，各個點基本處于平衡位置，彈簧的振動就越趨于簡諧振動；彈簧m越大，振動就越復雜，1/4 周期時，彈簧各個位置都不在平衡位置，且離平衡位置的距離各不相同.結果表明，當考慮彈簧m時，系統(tǒng)不可能同時處于平衡位置.

圖4 彈簧振子的波動特性

t=1/4T，彈簧的質(zhì)量很大時（取m/M=10），ωn所對應的波動特性如圖5 所示.隨著ω階次的不斷增加，振幅的大小先增加，在n=4 處，振幅達到最大，之后隨著n的增加振幅減小.因此，n=4 之后，高階模對波動的影響會逐漸減弱.在t=1/4T時，對于1 階模來說，彈簧各個點應處于平衡位置，但實際情況還是偏離平衡位置，因此，1 階模對波動的影響很弱.而對于其他階模，當t=1/4T時，則彈簧各個點并未處于平衡位置.因此，在t=1/4T時，波動主要由2～4階模決定.

圖5 各級振動模式ωn 所對應的波動特性

當彈簧m很大時（取m/M=10），系統(tǒng)經(jīng)過n個1/4T與n個3/4T時，彈簧振子的波動如圖6 所示.彈簧運動1/4、3/4、5/4 和7/4 個周期時，彈簧都沒有回到平衡位置，對于彈簧的每個點來說，振幅（大小和方向）都不相同，有的壓縮，有的伸長.隨著時間的增加，這種現(xiàn)象越來越明顯.因此，對于m大的彈簧，振動與簡諧振動有了很大的區(qū)別，各個點的運動不能完全重復上個周期的運動.

圖6 不同周期彈簧振子的波動

4 結論

本文討論了大質(zhì)量彈簧的振動特性以及體系的波動特性.通過求解超越方程，得到體系的本征頻率，結果表明：本征頻率僅與m/M有關.m/M越大，ω越大，且值增大.大約m/M>2 之后，瑞利近似不再適用.振子的振動特性主要由1 級分量決定，高階分量對于振動特性的貢獻不大；當考慮彈簧的m時，m越大系統(tǒng)的振動就越復雜，彈簧無法同時處于平衡位置，并且不會重復上一周期的運動.