劉衛(wèi)華 宋斐斐

（河南農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息與管理科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州 450002）

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)分支學(xué)科，是理工類學(xué)科的重要基礎(chǔ)課。該課程的內(nèi)容豐富，理論性強(qiáng)，并且與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系非常緊密。對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和專業(yè)素養(yǎng)，對塑造新時代大學(xué)生的價值取向和文化素養(yǎng)起著重要的作用。

2020年6 月8 日，教育部組織召開全面推進(jìn)高等學(xué)校課程思政建設(shè)工作視頻會議，部署《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》貫徹落實(shí)工作。會議強(qiáng)調(diào)，要深刻認(rèn)識全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)的戰(zhàn)略意義，充分發(fā)揮好專業(yè)課教師“主力軍”、專業(yè)課教學(xué)“主戰(zhàn)場”、專業(yè)課課堂“主渠道”的作用，推動課程思政建設(shè)不斷取得新進(jìn)展新成效，使專業(yè)課與思政課同向同行，構(gòu)建立德樹人長效機(jī)制，實(shí)現(xiàn)全員全程全方位育人。陳寶生指出，全面推進(jìn)高校課程思政建設(shè)，是落實(shí)習(xí)總書記關(guān)于教育的重要論述的重要舉措，是落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的必然要求，是全面提高人才培養(yǎng)質(zhì)量的重要任務(wù)。習(xí)總書記強(qiáng)調(diào)“廣大青年人人都是一塊玉，要時常用真善美來雕琢”?？梢哉f課程思政就是專業(yè)課和弘揚(yáng)真善美的結(jié)合。本文我們以馬克思哲學(xué)思想出發(fā)，以概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具體知識點(diǎn)出發(fā)，深度挖掘概率論教學(xué)中的“真、善、美”。

一、“真”在概率論教學(xué)中的融入

“真”是學(xué)科的基礎(chǔ)，是事物的本原、本來面貌和客觀規(guī)律。而自然現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律也是客觀規(guī)律的一種呈現(xiàn)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)正是對隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律的一種研究，是對“真”的一種追求。這種追求是現(xiàn)在社會強(qiáng)調(diào)的求實(shí)精神和誠信，真實(shí)的一種發(fā)揚(yáng)。是當(dāng)代教師培養(yǎng)大學(xué)生人才的標(biāo)桿，向大學(xué)生灌輸求實(shí)精神，做到對自然現(xiàn)象不浮夸，不虛夸，運(yùn)用所學(xué)知識探究其本來面貌。擁有正確的價值取向，培養(yǎng)大學(xué)生勇于探索，勇于實(shí)踐，為實(shí)現(xiàn)偉大中國夢的奮斗精神。做“真”人，真知求學(xué)，使其成為擁有科學(xué)的思維，批判性的思維，精益求精的精神。

人類認(rèn)識隨機(jī)現(xiàn)象的歷史是很久遠(yuǎn)的。古希臘人從航海實(shí)踐中積累了許多概率經(jīng)驗(yàn)，古猶太文獻(xiàn)有應(yīng)用概率加法、乘法定律的記錄。但直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家才從骰子賭博中找到隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)原理，建立起概率理論。重溫這段艱難的認(rèn)識歷程，讓我們不僅能體會概率論結(jié)束人類對于隨機(jī)世界迷茫無知的歷史意義，更能看到格物致知、追求真理的數(shù)學(xué)人的品格。教學(xué)中，讓學(xué)生明白人類正是對“真”的追求，才具有了是非之分，激發(fā)了對真理的追求，強(qiáng)化了理性思維，從而升華為理想信念。

根據(jù)大數(shù)定律，在大量重復(fù)試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的頻率接近于它們的概率。倘如，買彩票中頭等獎的概率為，則在100000 次試驗(yàn)中A才出現(xiàn)一次。因此，概率很小的事件在一次試驗(yàn)中實(shí)際上不大可能出現(xiàn)，在概率論的應(yīng)用中，稱這樣的事件為實(shí)際不可能事件。實(shí)際不可能事件在一次試驗(yàn)中是不會出現(xiàn)的，這就是小概率原理。買彩票中大獎的問題是一個非常簡單的古典概型問題。譬如某彩票每周開獎一次，每次提供十萬分之一的中大獎機(jī)會，若你每周買一張彩票，盡管堅(jiān)持了十年（每年52 周），你從未中過一次大獎的概率是多少？

解：因?yàn)橐荒?2 周，十年就是520 周，于是，你有520 次抽獎機(jī)會.設(shè)依題意有

二、“善”在概率論教學(xué)中的融入

“善”是中華民族的傳統(tǒng)美德，是社會發(fā)展中非常重要的一種品質(zhì)。2020年正是全國人民都存有一顆“善良”的心，為整個疫情保衛(wèi)戰(zhàn)付出自己應(yīng)有的努力，為中國疫情保衛(wèi)戰(zhàn)取得突破性勝利！而這也恰是中國人民“團(tuán)隊(duì)精神”的完美體現(xiàn)，在我們概率論中也是可以深刻體會這種團(tuán)隊(duì)精神的重要性的。比如我們在學(xué)習(xí)這門課程中的期望與方差這一知識點(diǎn)時，我們就可以體會到“團(tuán)隊(duì)精神”的重要性。比如把疫情保衛(wèi)戰(zhàn)的勝利看作期望，那么就需要每一個中國人的努力與付出。疫情保衛(wèi)戰(zhàn)的勝利與否是所有中國人共同努力的結(jié)果，比如我們的居家隔離，我們的醫(yī)護(hù)人員的舍生就死，我們社區(qū)工作人員的日夜堅(jiān)守……這一切的一切都不能懈怠。如果我們把這些進(jìn)行量化，可以做個試驗(yàn)，假設(shè)疫情保衛(wèi)戰(zhàn)的勝利這一期望值是100，那么各方的努力按一定的比例進(jìn)行賦值（聽從國家號召居家隔離賦值85,醫(yī)護(hù)人員的舍生就死賦值100，社區(qū)工作人員的日夜堅(jiān)守賦值90。）根據(jù)我們期望的計(jì)算公式（85+100+90）/3<100 很顯然即使醫(yī)護(hù)人員賦值100，依然不能取得疫情保衛(wèi)戰(zhàn)的勝利。假若醫(yī)護(hù)人員超負(fù)荷的付出，賦105，那么期望值依然不能達(dá)到100，所以這里的期望的達(dá)到需要我們每一個人都要百分之百做出努力。就需要人們的“團(tuán)隊(duì)精神”，這也是我們每個中國人心中“大善”的體現(xiàn)。在概率論知識中讓同學(xué)們從定量的角度仍然可以看到“善”的體現(xiàn)，這個體現(xiàn)更為客觀具體。所以學(xué)習(xí)概率論不是冷冰冰的，我們依然可以賦予它溫度熱度，從而溫柔對待我們的概率論知識，因?yàn)樗偸菨櫸锛?xì)無聲的默默守候在我們的生活之中。學(xué)習(xí)概率論讓同學(xué)們品味“善”的數(shù)量化。

三、“美”在概率論教學(xué)中的融入

數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式是多種多樣的,從數(shù)學(xué)內(nèi)容看,有概念之美、公式之美、體系之美等；從數(shù)學(xué)的方法及思維看,有簡約之美、類比之美、抽象之美、無限之美等；從狹義美學(xué)意義上看,有對稱之美、和諧之美、奇異之美等.接下來我們從以下幾個方面讓大家體會下概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的美之所在。

（一）和諧統(tǒng)美

概率中蘊(yùn)含著豐富的辯證唯物主義思想，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中可以感知到偶然與必然、確定與不確定、有限與無限、離散與連續(xù)的辯證統(tǒng)一之美。

案例：擲硬幣試驗(yàn)。

人們經(jīng)過長期的實(shí)踐知道，雖然隨機(jī)事件在某次試驗(yàn)或觀察中可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)，但在大量試驗(yàn)中它卻呈現(xiàn)出明顯的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性—頻率穩(wěn)定性。擲一枚硬幣觀察出現(xiàn)正面朝上的概率。在投擲過程中，出現(xiàn)的結(jié)果可能正面朝上，也可能反面朝上，由古典概型的知識我們知道結(jié)果出現(xiàn)正面朝上的概率都是 1/2。同樣，通過實(shí)驗(yàn)我們可以得出硬幣正面朝上的頻率，頻率是事件 A 發(fā)生的次數(shù) nA與實(shí)驗(yàn)總次數(shù) n 的比值，但是每次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都是不確定的，是隨機(jī)的、偶然的。只有當(dāng) n 越來越大，即在大量重復(fù)試驗(yàn)時，正面朝上的頻率值才會越來越逼近概率值 1/2，歷史上有許多學(xué)者都做過此試驗(yàn)。每次實(shí)驗(yàn)值只是偶然現(xiàn)象，只有當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠大時，其正面朝上的頻率的極限值才反映了本質(zhì)。變化中蘊(yùn)涵著規(guī)律，得到了不變的常數(shù) 1/2，偶然中蘊(yùn)涵著必然。

案例：貝特朗悖論。

18、19 世紀(jì)，概率論在理論和應(yīng)用方面取得了很多成果，但發(fā)展緩慢。19 世紀(jì)末，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)的一些概率論悖論。悖論的產(chǎn)生，違背了人類正確思維所遵循的基本規(guī)律。對素有嚴(yán)謹(jǐn)著稱的數(shù)學(xué)，它實(shí)際上是一種荒誕的美，在荒誕中蘊(yùn)含著真理，促使數(shù)學(xué)家們?nèi)ニ伎?，給人以啟迪，給人以美感。其中最著名的是貝特朗悖論。1899年法國學(xué)者貝特朗(J.Bertrand)指出：在半徑為 R 的圓內(nèi)隨機(jī)選擇弦，計(jì)算弦長超過圓內(nèi)接正三角形邊長的概率，根據(jù)“隨機(jī)選擇”含義的不同解釋，可以得到不同的答案。這類悖論反映出概率的概念是以某種確定的實(shí)驗(yàn)為前提，這種實(shí)驗(yàn)有時由問題本身所明確規(guī)定，有時則不然。悖論的出現(xiàn)，說明概率的理論基礎(chǔ)尚不夠完美協(xié)調(diào)。為了實(shí)現(xiàn)其理論的和諧美，1900年夏，在世界數(shù)學(xué)家大會上，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特(D.Hilbort)提出了建立概率公理系統(tǒng)的問題，引導(dǎo)了一批數(shù)學(xué)家投入了這方面的工作。這次概率發(fā)展史上的危機(jī)是由悖論而引起的，欲達(dá)到和諧，必先消除悖論。1933年原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫(A.Kolmgorov)的著作《概率論基礎(chǔ)》正式出版，給出了概率公理化的完整結(jié)構(gòu)，對于這一漂亮、優(yōu)美的公理系統(tǒng)，深刻體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的和諧美。

（二）結(jié)構(gòu)之美

古人總喜歡用“閉月羞花，沉魚落雁”來比喻女子的美，的確，天生麗質(zhì)總是給人帶來賞心悅目的感受。而概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一樣有美麗的外表給人帶來美的享受。法國數(shù)學(xué)家龐加萊說 :“數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)美是指一種內(nèi)在的美,它來自各部分的和諧秩序,并能為純粹的理智所領(lǐng)會,可以說正是這種內(nèi)在美給了滿足我們感官的骨架 .”概率統(tǒng)計(jì)不但它的整體結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn),而且某一部分的內(nèi)部結(jié)構(gòu)也是很美的,呈現(xiàn)出簡單、整齊、和諧、對稱的美。在實(shí)際中有各種各樣的分布.但最常用的是正態(tài)分布,而且由正態(tài)分布可以構(gòu)造出在數(shù)理統(tǒng)計(jì)用途最多的三個重要分布,從下列構(gòu)造過程中可以看出三個重要分布的結(jié)構(gòu)美.

（三）奇異美

數(shù)學(xué)中的奇異美,是指數(shù)學(xué)中所得出的結(jié)果或有關(guān)的發(fā)展是如此出乎意料,既引起了極大的 驚愕和詫異,又引起了人們的贊賞與嘆服,從而給人以新奇的美感.概率中最能表現(xiàn)奇異美的例子是蒲豐(Boffon)別開生面用投針求解圓周率π 的值。1777年的一天,蒲豐突發(fā)奇想,把許多賓朋要請到家里,把事先畫好了的一條條有等距離之平行線的白紙,鋪在桌面上,又拿出一大把質(zhì)量均勻的而長度都是平行線的小針,請客人們把這些小針一根一根的隨便扔到紙上.而蒲豐則在一旁專注觀察并計(jì)著數(shù),投一共2212 次,其中與任意平行線相交的有 704 次,作簡單除法2212/704=3 .142 。然后蒲豐宣布:“這就是圓周率π 的近似值。”若用a 表示平行間距,則針的長度為 a/2.設(shè)投擲數(shù)為n,相交數(shù)為 v,則蒲豐證明了這表明當(dāng)n 充分大時,有計(jì)算 π 的這一方法,不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕 ;而且開創(chuàng)了用 偶然性方法去做確定性計(jì)算的前導(dǎo),充分顯示了數(shù)學(xué)方法的奇異美。

英國哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家羅素指出:“數(shù)學(xué),如果正確地看它,不但擁有真理,而且也具有至高的美,正像雕刻的美,是一種冷而嚴(yán)肅的美.這種美不是投合我們天性的微弱的東西,這種美沒有繪畫或音樂那些華麗的裝飾;它可以純潔到崇高的地步,能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完滿的境地.”作為教育者，在授課的過程中通過概率論中美的講授，既能讓學(xué)生用欣賞的眼光學(xué)習(xí)概率論，又能通過美的東西凈化學(xué)生心靈，使學(xué)生心智得到熏陶，使得學(xué)生提高學(xué)習(xí)概率論的興致。

總結(jié)：通過思政元素的融入讓同學(xué)們切實(shí)的從根本上理解概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，并且能夠從思想上學(xué)習(xí)到概率論中的“真知”“辯證”“規(guī)律”等科學(xué)精神，從而在以后的科研或者工作中能夠運(yùn)用到概率論中蘊(yùn)含的科學(xué)精神。