楊燕燕，王曉紅

(華北理工大學 礦業(yè)工程學院，河北 唐山 063210)

GPS定位技術由于具有較高精度、成本低且作業(yè)便捷的特點，故在測繪領域得到廣泛應用，并且隨著GPS技術逐漸成熟，利用GPS定位技術與高精度似大地水準面模型，可以測定正常高[1]，實現(xiàn)對似大地水準面的精化。在實際工程測量中，采用GPS技術能夠準確測定地物點的坐標，但其測定的高程為大地高，在實際工作中無法直接利用，需通過采用一定的方法將其轉換成具有實際意義的正常高。因此，將大地高轉換為實際所需的正常高是數(shù)據(jù)處理的關鍵，且高程異常擬合的精度直接影響坐標轉換精度[2]。常用的GPS轉換方法有高程擬合法，它是將GPS水準點獲得的高程異常近似看作各點坐標的曲面函數(shù)，通過此擬合函數(shù)來計算其他地方的GPS點的高程異常，從而得到正常高[3]，高程擬合法只需要GPS測量數(shù)據(jù)和相應的水準測量數(shù)據(jù)，并選擇合適的擬合模型和計算方法，簡單、快捷，因此成為區(qū)域似大地水準面精化常用的一種方法[4]。

在實際測量工作中，由于大地水準面的復雜性，在進行多項式擬合時，往往需要較多的擬合系數(shù)，這就會使得擬合系數(shù)之間存在嚴重的多重共線性，即設計矩陣的病態(tài)性[5]。如果多項式曲面擬合模型出現(xiàn)病態(tài)性問題，將很難求解出準確的參數(shù)，根據(jù)該模型得到的高程異常值也會有較大誤差。采用嶺估計的有偏估計方法可以很好地解決此類方程病態(tài)性問題。

1區(qū)域似大地水準面精化

似大地水準面是指從地面點沿正常重力線量取正常高所得端點構成的封閉曲面，與地球橢球體、大地水準面一樣，是獲取地理空間信息的重要高程基準面之一[6]。大地高系統(tǒng)、正高系統(tǒng)和正常高系統(tǒng)分別以地球橢球面、大地水準面和似大地水準面為常用的參考基準面。某點的大地高是該點沿參考橢球面的法線到參考橢球面的距離；正高是地面點沿通過該點的鉛垂線至大地水準面的距離；正常高是地面點沿通過該點的垂線方向到似大地水準面的距離[7]。在實際測量工程中，我國采用以似大地水準面為基準的正常高作為我國的高程系統(tǒng)，將正常高與大地高之間的差值稱作高程異常值[8]。

精化似大地水準面常用的方法有重力法、GPS水準擬合法等。在不考慮地球重力場模型和重力等數(shù)據(jù)影響的情況下，在某小區(qū)域范圍內，利用高精度的GPS大地高和精密幾何水準數(shù)據(jù)通過最小二乘方法來擬合區(qū)域似大地水準面能得到良好的效果[9]。GPS水準法即高程擬合法，在實際應用中，大多采用多項式擬合的方法。

多項式曲面擬合法是將小范圍GPS網(wǎng)內的似大地水準面視作不規(guī)則曲面，根據(jù)GPS實際測得的大地高和水準點求出其高程異常值[10]，通過相應的數(shù)學模型對測區(qū)的似大地水準面進行擬合，建立與該不規(guī)則曲面最接近的多項式曲面模型，根據(jù)此模型求解出待定點的高程異常值，然后利用GPS測得的大地高減去得到的高程異常值，即可求出待求點的正常高[11]。該項目以二次多項式擬合為例，介紹此數(shù)學模型以及理論基礎。

二次多項式曲面擬合法數(shù)學模型為：

F(x,y)=a0+a1x+a2y+a3x2+a4y2+a5xy

(1)

其中，F(xiàn)(x,y)表示函數(shù)模型；(x，y)為觀測點坐標；a0-a5為擬合系數(shù)。在進行二次多項式擬合時，擬合系數(shù)有6個，因此觀測點的個數(shù)應不少于6個。其中，當觀測點個數(shù)大于6時，可根據(jù)最小二乘法則vTpv=min求解擬合系數(shù)，假設觀測點個數(shù)為n，由(1)式可列誤差方程：

(2)

總誤差方程式為：

V=BX-L

(3)

X=(BTB)-1BTL

(4)

得到系數(shù)矩陣后，將其帶入公式(1)即可得到高程異常值。多項式函數(shù)理論上可以任意確定次數(shù)，理論上多項式的次數(shù)越高，擬合模型越接近真實曲面，但是在實際應用中，次數(shù)不斷增高的同時，會造成法方程系數(shù)陣呈病態(tài)性，即擬合系數(shù)之間也出現(xiàn)多重共線性的情況，且系數(shù)越高，多重共線性越嚴重，從而使得高程擬合結果不準確。目前，采用嶺估計的有偏估計方法可以很好地解決法方程病態(tài)性的問題。

3嶺估計

嶺估計方法是根據(jù)最小二乘估計提出的一種改進的有偏估計，它主要是通過確定一個很小嶺參數(shù)k來使法方程系數(shù)陣N的一小部分特征根非常接近于零，從而打破系數(shù)陣的嚴重復共線性，進而消除或減弱數(shù)據(jù)呈病態(tài)性對參數(shù)估計的影響[12]。嶺估計參數(shù)模型如式(5)：

XOR=(BTPB+kI)-1BTPL

(5)

由嶺估計的性質可知嶺估計是在最小二乘估計的基礎上進行的改進，而其最重要的特點就是通過加入了嶺參數(shù)k，以此來打破系數(shù)陣B的嚴重復共線性，所以使用嶺估計最重要的就是確定嶺參數(shù)k，因此眾多學者做了大量的工作來進行探索，提出了很多方法來確定k值，但目前為止還沒有一種公認的好方法[13]。目前，比較常用的2種方法就是嶺跡法和雙h法。

3.1 嶺跡法

所謂嶺跡法，就是以嶺估計XOR的分量Xi(k)=(i=1,2,…t)作為嶺參數(shù)k的函數(shù)，將t條嶺跡畫出函數(shù)圖像，當t條嶺跡都大體處于穩(wěn)定且沒有不合理的符號時，這個狀態(tài)下的值即可作為k值[14]。利用嶺跡法選擇k值的優(yōu)點是應用方便，但具有隨意性，容易造成較大誤差。

3.2 雙h法

由于嶺跡法選取k值時具有較強的主觀性，誤差較大，還可根據(jù)雙h法確定嶺參數(shù)k。雙h法如式(6)：

(6)

因為該公式中有2個可供選擇的參數(shù)h1和h2，故稱為雙h法，當取G=I,h1=t,h2=0，上式就變?yōu)椋?/p>

(7)

4案例分析

以唐山市華北理工大學曹妃甸校區(qū)實測數(shù)據(jù)為例。華北理工大學曹妃甸校區(qū)的高程系統(tǒng)為1984國家高程基準。測區(qū)實驗點分布圖如圖1所示。

圖1 測區(qū)實驗點點位分布圖

為減小實驗誤差，選取測區(qū)內gps1、gps2、gps3、gps4、gps5、gps7、da17、da06、da08、da48、da51、da39這12個GPS水準點作為已知點進行多項式擬合，其余da04、da30、da32、da43、da54這5個作為檢核點。由于數(shù)據(jù)保密需要，對數(shù)據(jù)進行處理，部分實驗數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 測區(qū)實驗點點位數(shù)據(jù)

考慮到不同多項式對曲面擬合的影響，利用matlab軟件進行程序設計時，將已知點數(shù)據(jù)分別進行二次多項式擬合和三次多項式擬合。在進行精度評價時，采用最多的是內符合精度和外符合精度。內符合精度一般用μ表示，是根據(jù)參與擬合計算的已知點的高程異常值與實際得到的擬合值的差值V，以及擬合點的個數(shù)n，由公式(8)計算得到[15]。

(8)

外符合精度一般用M表示，是根據(jù)檢核點的實測高程異常值與擬合得到的高程異常值的差值，以及檢核點的個數(shù)m，由公式(9)計算得到。根據(jù)內符合精度和外符合精度可以評價模型的優(yōu)劣[16]。

(9)

實驗中，選取分布合理的12個點作為已知點來擬合似大地水準面模型，剩余5個點作為檢核點。其中，二次多項式擬合和三次多項式擬合的條件數(shù)分別為6.231 4 e+21和6.232 3 e+21，說明法方程系數(shù)陣呈嚴重病態(tài)性，則采用嶺估計的方法對其進行優(yōu)化，不同擬合方法的精度如表2所示。

表2 不同擬合方法精度分析/m

由表2可以看出，采用二次多項式擬合得到的殘差最大值為-0.634 61 m，最小殘差為0.014 65 m；三次多項式擬合的殘差最大值為-0.633 13 m，最小殘差值為0.013 24 m；嶺估計二次擬合中，最大殘差值為0.162 9 m，最小殘差值為0.008 7 m；采用嶺估計三次擬合方法，得到的最大殘差值為0.162 6 m，最小殘差值為0.007 6 m。多項式曲面擬合方法由于方法簡單，其模型應用最廣，但其精度偏低，無論是二次多項式擬合還是三次多項式擬合，其擬合效果并不理想。其中，二次多項式內外符合精度分別為0.524 93 m和0.422 25 m，三次多項式擬合的內外符合精度分別為0.525 10 m和0.422 39 m。采用嶺估計的方法進行高程擬合，精度明顯得到了改善，其中嶺估計二次擬合內外符合精度分別為0.068 11 m和0.054 78 m，嶺估計三次擬合內外符合精度分別為0.067 63 m和0.054 41 m。

5結論

(1)在實例計算中，雖然測區(qū)內的實測點數(shù)量有限，但選取實驗點位相對合理，在此基礎上進行多項式擬合和嶺估計可減少實驗點位選取不合理帶來的誤差，但由于高程異常受多種因素影響，再加上實驗數(shù)據(jù)有限，模型誤差不可避免。

(2)由實驗結果可以看出，多項式擬合模型簡單，應用方便，但其系數(shù)矩陣的復共線性較強，無論是二次多項式擬合還是三次多項式擬合，其擬合精度并不能達到實際水準測量的要求。

(3)利用雙h法選取嶺參數(shù)k進行嶺估計運算，能夠很好改善最小二乘法下的多項式擬合，并且可以提高模型的內外符合精度，且效果顯著，可達到實際測量要求的精度，實現(xiàn)對似大地水準面的精化。