王義鬧，張向文

(溫州大學(xué)數(shù)理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

1 基本假定

考慮多元線性回歸問題：Y為被解釋變量，為解釋變量，u是與解釋變量無關(guān)的、方差為σ2的0均值隨機(jī)干擾項(xiàng).它們之間有如下關(guān)系：

假設(shè)ui是來自u的簡單隨機(jī)樣本，且與線性無關(guān)（或記

則（2）式可表示成：

其中X稱為回歸設(shè)計(jì)矩陣或資料矩陣.

2 不完全多重共線性定義存在的問題

文[1]指出了目前廣泛應(yīng)用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材[2-8]中不完全多重共線性定義存在的問題，但僅就解釋變量為隨機(jī)變量的情況給了一個(gè)新的定義.本文試圖進(jìn)一步分析不完全多重共線性概念的內(nèi)涵與外延，給出合理定義.

下面分析廣泛使用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材和應(yīng)用回歸分析教材中給出的三種定義存在的問題.

2.1 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中存在的問題1

其中vi為隨機(jī)變量（X0表示所有樣本都取1的解釋變量）.

使（4）式成立.

使（4）式成立.

所以，如上定義不完全多重共線性顯然是有問題的.

2.2 計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材中存在的問題2

文[3]中給出：對模型（1），如果存在

注：這里對原文定義增加了λ0Xi0，否則只適用于討論中心化數(shù)據(jù).

目前廣泛應(yīng)用的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)教材[4-9]中都是這樣定義的，這樣定義也有問題.

首先，按文[3]P31中給出的隨機(jī)干擾項(xiàng)定義

所以上述定義也不能表達(dá)近似共線性的涵義.

2.3 應(yīng)用回歸分析教材中存在的問題

這一定義中約等于0是不確定的，無法驗(yàn)證的.

2.4 隨機(jī)解釋變量之間存在多重共線性還是樣本之間存在多重共線性

文[2-3]中給出了檢驗(yàn)一個(gè)解釋變量與其他解釋變量之間是否存在多重共線性的F檢驗(yàn)方法，實(shí)際上，檢驗(yàn)的是具有特定分布的一個(gè)解釋變量與其他具有特定分布的隨機(jī)解釋變量之間是否存在顯著復(fù)相關(guān)性；而文[3]P115又特別指出，“多重共線性是一種樣本現(xiàn)象.同一個(gè)模型在一個(gè)樣本下可能表現(xiàn)出多重共線性，而在另一個(gè)樣本下可能就不存在多重共線性”.文[9]P104也特別指出，“從本質(zhì)上講，多重共線性是樣本現(xiàn)象，所以相同模型，不同樣本條件下，可能出現(xiàn)共線性嚴(yán)重程度完全不同的情況.”究竟是變量間存在多重共線性，還是樣本存在多重共線性？

還有一個(gè)問題是：已經(jīng)有了隨機(jī)變量之間的復(fù)相關(guān)概念，還有必要討論變量之間是否存在多重共線性嗎？

3 不完全多重共線性的定義

我們認(rèn)為，合理的定義應(yīng)該滿足以下基本原則.

第一，定義的基礎(chǔ)必須明確.定義的基礎(chǔ)是解釋變量還是樣本必須明確，是滿足某性質(zhì)的解釋變量還是滿足某性質(zhì)的解釋變量的觀測值，是首先要明確的.

第二，定義的內(nèi)涵必須明確.（7）式中的約等于0是不明確的，我們不清楚多小才是約等于0.

第三，定義的外延必須明確，是一個(gè)康托集.如果定義的外延是模糊集，就不是普通概念而是模糊概念了.（4）式（5）式要求至少有一個(gè)解釋變量是隨機(jī)變量，而（7）式解釋變量是確定性變量，兩者外延不同.

第四，定義要概括人們具體對象的認(rèn)識.

第五，符合定義的對象，應(yīng)該有公認(rèn)的性質(zhì)——與沒有共線性的情況相比，參數(shù)估計(jì)量具有較大方差.

第六，好的定義要給后繼內(nèi)容的簡潔闡述打好基礎(chǔ).

下面進(jìn)行具體分析.

第一，考慮光照時(shí)間X1，澆水量X2，施肥量X3對小麥畝產(chǎn)Y的影響，我們可以設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)，使向量

正交，也可以使這三個(gè)向量線性相關(guān)，這與解釋變量之間是相關(guān)還是獨(dú)立沒有關(guān)系.

因此，不完全多重共線性應(yīng)該以樣本為基礎(chǔ)定義.在多元線性回歸問題中，解釋變量可以是確定性變量，見文[11-13]；也可以是隨機(jī)變量，見[2-8].以樣本為基礎(chǔ)進(jìn)行定義，就可以既適用于隨機(jī)解釋變量，又適用于確定性解釋變量.

第二，滿足什么性質(zhì)的樣本具有不完全多重共線性必須明確.不能說相關(guān)性強(qiáng)就有多重共線性，因?yàn)椤皬?qiáng)”不是明確的性質(zhì)；“約等于0”也不是明確的性質(zhì).一個(gè)樣本，“有沒有”、“存在不存在”多重共線性必須明確，二者必居其一，不能模棱兩可.在定義了存在不存在多重共線性之后，再定義多重共線性的強(qiáng)弱.

基于以上兩點(diǎn)我們給出如下的定義.

定義1 當(dāng)存在一個(gè)解釋變量（不妨設(shè)為X1）與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)大于0小于1時(shí)，就稱設(shè)計(jì)矩陣X的第2列與其他各列之間存在（不完全）多重共線性.

如果存在設(shè)計(jì)矩陣X的某一列與其他各列之間存在（不完全）多重共線性，就稱設(shè)計(jì)矩陣存在（不完全）多重共線性.

定義2 如果解釋變量X1與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)為R1·，X2與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)為則稱設(shè)計(jì)矩陣X的第3列與其他各列之間（比X的第2列與其他各列之間）存在較強(qiáng)多重共線性.對解釋變量的兩個(gè)樣本X,X*，X1與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)依次為則稱X*的第2列與其他各列之間（比X的第2列與其他各列之間）存在較強(qiáng)多重共線性.

第三，如上定義不完全多重共線性顯然符合第三個(gè)基本原則，設(shè)計(jì)矩陣X有沒有多重共線性，設(shè)計(jì)矩陣X的哪一列與其他各列之間有較強(qiáng)的多重共線性，不同設(shè)計(jì)矩陣X之間哪個(gè)有較強(qiáng)的多重共線性都是明確的.

第四，以樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)大小作為多重共線性強(qiáng)弱的定義，體現(xiàn)了X的各列之間相關(guān)性強(qiáng)共線性就強(qiáng)的認(rèn)識.

第五，文[10]給出了βi的OLS估計(jì)量的方差

由（8）式可見，在Xi的離差平方和不變的條件下，Xi與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)Ri·等于0時(shí)，的方差最小；Xi的觀察值列向量與設(shè)計(jì)矩陣X的其他各列之間的多重共線性越強(qiáng)，的方差越大.

由此可見，如上定義多重共線性的強(qiáng)弱，有利于解釋多重共線性對參數(shù)估計(jì)量方差的影響.

綜合上述討論可見，應(yīng)用復(fù)相關(guān)系數(shù)定義多重共線性是較好的方法.

文[10]指出，經(jīng)驗(yàn)表明當(dāng)VIFi≥10時(shí)，Xi的觀察值列向量與設(shè)計(jì)矩陣X的其他各列之間有嚴(yán)重的多重共線性.這時(shí)的OLS估計(jì)的方差是不存在多重共線性條件下的OLS估計(jì)的方差的VIFi倍，偏離真值較遠(yuǎn)的概率顯著增大.由于Xi與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)大于或等于Xi與任一解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值，所以當(dāng)Xi與任一解釋變量的樣本相關(guān)系數(shù)的平方小于0.1時(shí)，就有VIFi≥10，有嚴(yán)重的多重共線性.

現(xiàn)在通用的國內(nèi)外教材講解多重共線性，無非是為了發(fā)現(xiàn)多重共線性，進(jìn)而改進(jìn)參數(shù)估計(jì).而這只與設(shè)計(jì)矩陣X有關(guān)，無需涉及解釋變量，因此完全沒有必要再引進(jìn)解釋變量共線性的概念.為解釋樣本呈現(xiàn)共線性的原因，可以說變量間存在復(fù)相關(guān)是樣本呈現(xiàn)共線性的原因之一.

4 教材中講解欠準(zhǔn)確的兩個(gè)知識點(diǎn)

第一個(gè)講解欠準(zhǔn)確的知識點(diǎn)是：“增加樣本容量就有可能消除多重共線性”（見文[3]P115）.

事實(shí)上，如果Xi與其他解釋變量的復(fù)相關(guān)系數(shù)為增加樣本容量只是使樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)取值于附近的概率更大了，并不能使樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)減小，當(dāng)然也就不可能消除多重共線性.我們贊同文[10]指出的，“當(dāng)時(shí)，Xi的觀察值列向量與設(shè)計(jì)矩陣X的其他各列之間就有嚴(yán)重的多重共線性”，而無論樣本容量有多大.當(dāng)然由（8）式可見，在VIFi不變的情況下，增加樣本容量可使解釋變量的離差平方和增大，的方差減小，提高參數(shù)估計(jì)精度，因此準(zhǔn)確地講解應(yīng)該是“增加樣本容量可以減小多重共線性對參數(shù)估計(jì)帶來的不利影響”.

實(shí)際上，當(dāng)Xj與其他解釋變量的樣本復(fù)相關(guān)系數(shù)等于0.1，其他解釋變量有2個(gè)，只要樣本容量為1 003，就有大于應(yīng)在顯著性水平0.05下拒絕原假設(shè).這時(shí)，其他解釋變量的線性組合只能解釋Xj的變差的1%，還把檢驗(yàn)結(jié)果理解為是其他解釋變量的線性組合，顯然是一種誤解.理論上，這個(gè)F檢驗(yàn)是檢驗(yàn)Xj與其他解釋變量是否有顯著復(fù)相關(guān)，而不是檢驗(yàn)解釋變量的觀察值是否存在不完全多重共線性，不完全多重共線性是否嚴(yán)重.Xj與其他解釋變量顯著復(fù)相關(guān)，不一定就高度復(fù)相關(guān)，其樣本也就不一定存在嚴(yán)重不完全多重共線性.只有當(dāng)Xj與其他解釋變量高度復(fù)相關(guān)時(shí)，才可以把Xj近似看成是其他解釋變量的線性組合.