陳 軍

（新疆師范大學(xué)商學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830017）

在多元線性回歸中，通常采用OLS（最小二乘法）作為估計(jì)回歸模型參數(shù)的方法，但需滿足若干基本假定，包括關(guān)于變量和模型的假定和關(guān)于隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)統(tǒng)計(jì)分布的假定。其中假設(shè)之一就是解釋變量間不存在多重共線性，但在實(shí)際研究中，模型中的解釋變量間往往存在不同程度的共線性問(wèn)題，對(duì)此情形需要進(jìn)行相應(yīng)的消除解決，再行應(yīng)用OLS。多重共線性的內(nèi)容在“統(tǒng)計(jì)學(xué)”“計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)”課程中都有涉及，也是教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)。在教學(xué)實(shí)踐中，一般采用定義數(shù)學(xué)方程、矩陣等講授，但涉及數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)多，理論講解相對(duì)費(fèi)時(shí)，如果學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不扎實(shí)，那么對(duì)這部分的內(nèi)容理解起來(lái)就相對(duì)吃力。通過(guò)引入文氏圖，可有助于這部分內(nèi)容講解和學(xué)生的理解。

文氏圖屬于集合論數(shù)學(xué)分支，用于展示不同集合（群組）之間的數(shù)學(xué)或邏輯關(guān)系，常被用于集合（類(lèi)）運(yùn)算。一般用矩形框表示論域，矩形框的內(nèi)部區(qū)域即論域范圍，可視為全集，即所有可能事物的空間。單個(gè)集合用圓或橢圓表示，若兩個(gè)圓或橢圓相交，相交部分則是兩個(gè)集合所包含的公共元素；若兩個(gè)圓或橢圓不相交，則表明兩集合無(wú)公共元素。需要說(shuō)明的是，文氏圖與其它的圖示法一樣，它不能準(zhǔn)確表示一個(gè)集合（或類(lèi)）中到底有哪些元素。下圖為集合A, B的文氏圖。

圖1 集合A, B的文氏圖

一、文氏圖在“多重共線性”定義及分類(lèi)講解時(shí)的應(yīng)用

變量λ1x1+λ2x2+…+λkxk=0之間共線性的情形有三種，分別是完全共線性、不完全多重共線性和無(wú)多重共線性。

（一）基于數(shù)學(xué)理論的多重共線性定義及分類(lèi)

1.完全共線性

變量間存在完全共線性，即對(duì)于變量x1，x2，…，xk，如果存在不全為零的常數(shù)λ1，λ2，…，λk，使得下式成立：

則稱(chēng)解釋變量x1，x2，…，xk之間存在完全共線性。

2.不完全共線性

變量間存在不完全共線性，即對(duì)于變量x1，x2，…，xk，如果存在不全為零的常數(shù)λ1，λ2，…，λk，使得下式成立：

則稱(chēng)解釋變量x1，x2，…，xk之間存在不完全共線性，其中μ為隨機(jī)誤差項(xiàng)。與完全共線性不同的是，不完全共線性反映出變量間是近似線性關(guān)系，而非函數(shù)關(guān)系。因而，不完全共線性也稱(chēng)近似的多重共線性，實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題的大多數(shù)情況呈現(xiàn)這種情形。

3.無(wú)多重共線性

無(wú)多重共線性是指解釋變量x1，x2，…，xk之間，既不滿足式（1），也不滿足式（2）的情形。矩陣x為滿秩矩陣，即rank(X)=k+1。應(yīng)該注意到，解釋變量x1，x2，…，xk之間不存在線性相關(guān)，并不說(shuō)明不存在非線性相關(guān)。由于各解釋變量x1，x2，…，xk之間往往在時(shí)間上存在同向變動(dòng)趨勢(shì)，且存在不同程度關(guān)聯(lián)度，無(wú)多重共線性情形一般很少。

（二）基于文氏圖的多重共線性定義及分類(lèi)——以二元線性回歸模型為例

基于文氏圖的多重共線性可分三種情形：無(wú)多重共線性、不完全共線性及完全共線性，如圖2所示。

1.完全共線性

假設(shè)線性回歸模型有兩個(gè)解釋變量x1，x2，各自代表相應(yīng)變量信息。若存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2=0，即解釋變量x1，x2之間存在完全共線性。用文氏圖可表示為如圖2(c)，說(shuō)明變量x1反映的信息和x2反映的信息，雖然形式不同，但兩者信息是完全重復(fù)的。

2.不完全共線性

假設(shè)線性回歸模型有兩個(gè)解釋變量x1，x2，各自代表相應(yīng)變量信息。若存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2+μ=0，即解釋變量x1，x2之間存在不完全共線性。用文氏圖可表示為如圖2(b)情形，說(shuō)明變量x1反映的信息和x2反映的信息，雖然形式不同，但兩者信息部分是重復(fù)的。變量間相關(guān)程度越大，圖形中x1，x2重復(fù)的部分越多。

3.無(wú)多重共線性

假設(shè)線性回歸模型有兩個(gè)解釋變量x1，x2，各自代表相應(yīng)變量信息。若既不存在常數(shù)λ1，λ2，滿足λ1x1+λ2x2=0，也不滿足λ1x1+λ2x2+μ=0，這時(shí)解釋變量x1，x2之間不存在共線性。用文氏圖可表示為如圖2(a)情形，說(shuō)明變量x1反映的信息和x2反映的信息，無(wú)交集，即解釋變量x1，x2之間線性相關(guān)系數(shù)為零，各自提供的信息無(wú)重合部分。

圖2 共線性分類(lèi)的文氏圖表示

二、文氏圖在講解多重共線性檢驗(yàn)時(shí)的應(yīng)用

多元線性回歸模型中，如果解釋變量間存在多重共線性，但仍采用OLS方法估計(jì)模型參數(shù)，一般將產(chǎn)生較為嚴(yán)重的后果。以二元線性回歸模型為例，在完全共線性情形下，參數(shù)估計(jì)量將不存在，表現(xiàn)在參數(shù)估計(jì)量 和 為不定式，且方差為無(wú)窮大；而在不完全共線性的情形下，則呈現(xiàn)出參數(shù)估計(jì)量 和

的方差、置信區(qū)間伴隨x1，x2共線性程度增加而增加，同時(shí)t檢驗(yàn)失效、預(yù)測(cè)精度降低、回歸模型缺乏穩(wěn)定性等影響。因此，在進(jìn)行模型回歸前，一般要進(jìn)行多重共線性的檢驗(yàn)，主要檢驗(yàn)方法包括相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)、F-G檢驗(yàn)、特征值檢驗(yàn)、方差膨脹因子（VIF）檢驗(yàn)等。

在實(shí)際應(yīng)用中，往往考慮如下方法研判：R2或其修正值很高（F值也相應(yīng)高），但某些解釋變量系數(shù)的t值卻不顯著或偏低。這時(shí)，我們就可初步判斷解釋變量x1，x2，…，xk之間可能存在多重共線性。這種結(jié)果看似矛盾，其實(shí)不然。F檢驗(yàn)表明因變量與解釋變量之間的線性關(guān)系是顯著的，即因變量和解釋變量中的一個(gè)變量間的線性關(guān)系顯著，并不代表和每個(gè)解釋變量之間的線性關(guān)系都顯著。為了便于理解，可借助文氏圖3表示。

圖3 多重共線性檢驗(yàn)的文氏圖表示

上圖中，X1、X2、X3分別表示多元線性回歸模型中三個(gè)解釋變量對(duì)因變量的解釋貢獻(xiàn)度，F(xiàn)檢驗(yàn)值可理解為X1、X2、X3三個(gè)集合形成的面積。由于共線性的存在，導(dǎo)致無(wú)法區(qū)分X1、X2、X3對(duì)因變量的具體解釋貢獻(xiàn)度，盡管單獨(dú)對(duì)每個(gè)解釋變量回歸，系數(shù)呈現(xiàn)顯著性。某些解釋變量的貢獻(xiàn)度和另一些解釋變量的貢獻(xiàn)度相互重疊了。借助文氏圖，對(duì)于講授這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)生更容易理解。

三、文氏圖在線性回歸模型多重共線性分析的例題應(yīng)用

為完整體現(xiàn)文氏圖在線性回歸模型多重共線性分析方面的應(yīng)用，下面結(jié)合一個(gè)具體的案例來(lái)說(shuō)明。

例：根據(jù)理論和經(jīng)驗(yàn)分析，影響國(guó)內(nèi)旅游市場(chǎng)收入Y的主要因素，除了國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)和旅游支出之外，還可能與相關(guān)基礎(chǔ)設(shè)施有關(guān)。為此，考慮的影響因素主要有國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)X1，城鎮(zhèn)居民人均旅游支出X2，農(nóng)村居民人均旅游支出X3，并以公路里程X4和鐵路里程X5作為相關(guān)基礎(chǔ)設(shè)施的代表。統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表1所示。要求建立國(guó)內(nèi)旅游市場(chǎng)收入的多元線性回歸預(yù)測(cè)模型，并檢測(cè)共線性情況。

分析本例題模型中的變量，公路里程（X4）和鐵路里程(X5)兩個(gè)變量反映的信息應(yīng)有重疊，而國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)（X1）、城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2）、農(nóng)村居民人均旅游支出(X3）等三個(gè)變量反映的信息應(yīng)有重疊（通過(guò)相關(guān)系數(shù)矩陣也可得出），考慮模型中解釋變量間可能存在共線性問(wèn)題。模型中解釋變量及隨機(jī)誤差項(xiàng)反映信息用圖4文氏圖表示。

本例以SPSS作為數(shù)據(jù)處理軟件，采用逐步回歸法解決多重共線性問(wèn)題，實(shí)操步驟描述如下。

圖4 解釋變量及隨機(jī)誤差項(xiàng)反映信息的圖示

Step1：輸入數(shù)據(jù)；依次選擇“分析（A）”→“回歸（R）”→“線性（L）”進(jìn)入線性回歸對(duì)話框。在“線性回歸”對(duì)話框中，將左側(cè)框內(nèi)的“Y”“X1”“X2”“X3”“X4”“X5”分別移入右側(cè)“因變量（D）”和“自變量（I）”框內(nèi)，對(duì)話框界面同前例。并在“方法”下選擇“逐步”。

Step2：點(diǎn)擊“選項(xiàng)”，并在“步進(jìn)方法標(biāo)準(zhǔn)”下選擇“使用F的概率”，并輸入增加變量所要求的的顯著性水平（默認(rèn)值為0.05）；在“刪除”框中輸入剔除變量所要求的顯著性水平（默認(rèn)值為0.10）。點(diǎn)擊“繼續(xù)”回到主對(duì)話框。

Step3：點(diǎn)擊“確定”。得到部分結(jié)果如表2、3。

表2 輸入／移去的變量

表3 系數(shù)

上表給出了參數(shù)的估計(jì)值和用于檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量和p值。由此得到回歸模型：

從結(jié)果可以看出，首先被選入的變量是城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2），后依次選入的變量是公路里程（X4）和農(nóng)村居民人均旅游支出(X3），即在消除共線性的情形下，剔除了變量X1和X5。從經(jīng)濟(jì)意義解釋?zhuān)褪枪防锍蹋╔4）信息更多涵蓋鐵路里程(X5)，城鎮(zhèn)居民人均旅游支出（X2）和農(nóng)村居民人均旅游支出(X3）反映的信息更多涵蓋國(guó)內(nèi)旅游人數(shù)（X1），用文氏圖可表示為圖5。

圖5 回歸模型變量間文氏圖

四、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)上文分析，可以看到文氏圖在多重共線性內(nèi)容講授時(shí)的優(yōu)點(diǎn)，主要體現(xiàn)在多重共線性定義及分類(lèi)、共線性檢驗(yàn)及回歸結(jié)果分析上。通過(guò)借助文氏圖，可有效提高教師的教學(xué)效果和學(xué)生對(duì)此內(nèi)容的理解掌握。