牛曉健 巴雄

摘要：可轉(zhuǎn)換債券作為一種兼具債券和股票特征的金融產(chǎn)品，已成為資本市場重要的融資工具和廣大投資者青睞的資產(chǎn)配置工具。由于國內(nèi)可轉(zhuǎn)債的附加條款及內(nèi)含期權(quán)復(fù)雜，常用的Black-Scholes公式嚴(yán)格的前提假設(shè)往往造成定價結(jié)果偏差較大。經(jīng)實(shí)證發(fā)現(xiàn)，以31個可轉(zhuǎn)債因子作為解釋變量，通過支持向量回歸能很好地擬合可轉(zhuǎn)債價格。

關(guān)鍵詞：可轉(zhuǎn)債定價;Black-Scholes模型;機(jī)器學(xué)習(xí);支持向量回歸

中圖分類號：F832 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1009 - 5381（2021）05 - 0058- 14

收稿日期：2021 - 08 - 02

基金項(xiàng)目：本文系國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目“流動性壓力、信息交互與價格聯(lián)動——基于中國股票和債券市場多層復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的風(fēng)險交叉

傳播機(jī)制與控制修復(fù)策略研究”（項(xiàng)目批準(zhǔn)號：71873039，71573051）階段性研究成果。

作者簡介：牛曉健，男，新疆阿克蘇人，復(fù)旦大學(xué)國際金融系教授。研究方向：量化投資。

巴雄，男，江西九江人，復(fù)旦大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院金融碩士研究生。研究方向：量化投資。

一、引言

可轉(zhuǎn)換公司債券（以下簡稱可轉(zhuǎn)債）是指持有者可在規(guī)定時間內(nèi)按照轉(zhuǎn)股價轉(zhuǎn)換為公司股票的債券，或者可以直接持有到期等待發(fā)行人還本付息?？赊D(zhuǎn)債最早出現(xiàn)在美國金融市場，由于兼具債券價值的保底和復(fù)雜期權(quán)的波動機(jī)會，可轉(zhuǎn)債在發(fā)達(dá)的金融市場發(fā)展迅速。中國的可轉(zhuǎn)債市場起步較晚，發(fā)展歷程大致可以分為幾個階段： 第一個階段是21世紀(jì)之前。1993年，國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場迎來了首個可轉(zhuǎn)債標(biāo)的——由中國寶安集團(tuán)發(fā)行的寶安轉(zhuǎn)債，發(fā)行規(guī)模為5個億。1997年，國務(wù)院證券委員會發(fā)布《可轉(zhuǎn)換公司債券管理暫行辦法》，這個階段是我國對可轉(zhuǎn)債的初步探索。第二個階段是2000-2004年。這期間相繼迎來了《上市公司發(fā)行可轉(zhuǎn)換債券的實(shí)施辦法》《關(guān)于做好上市公司可轉(zhuǎn)換債券發(fā)行工作的通知》兩大規(guī)范政策，市場上的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的數(shù)量達(dá)到兩位數(shù)，可轉(zhuǎn)債市場異軍突起。第三個階段是2005-2016年。這期間我國可轉(zhuǎn)債市場經(jīng)歷了2005年的股權(quán)分置改革的一級市場停滯，隨后又逐漸恢復(fù)繁榮。在2015年股災(zāi)期間，出現(xiàn)大幅贖回及發(fā)行停滯的現(xiàn)象，可轉(zhuǎn)債市場大起大落，規(guī)模尚小。第四個階段是2017年至今。2017年，國家進(jìn)一步嚴(yán)格股票定向增發(fā)的要求，可轉(zhuǎn)債市場諸多利好政策出現(xiàn)，可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量和發(fā)行規(guī)模大幅增加。近些年來，為解決中國再融資的結(jié)構(gòu)失衡，監(jiān)管層進(jìn)一步完善了可轉(zhuǎn)債、可交換債的發(fā)行方式，為可轉(zhuǎn)債等再融資產(chǎn)品創(chuàng)造了良好的發(fā)展條件。

從圖1可以清晰看出2000年至今可轉(zhuǎn)債市場的變化，即隨著我國可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量的增加，可轉(zhuǎn)債市場發(fā)行規(guī)模逐漸增加。其中，2019年發(fā)行規(guī)模2657億，2020年發(fā)行規(guī)模2736億，2020年發(fā)行數(shù)量210只。與此同時，可轉(zhuǎn)債存量達(dá)5434億。截至2021年3月19日，可轉(zhuǎn)債數(shù)量達(dá)374只。

圖1? 2000-2020年中國可轉(zhuǎn)債的發(fā)行情況

無論是從可轉(zhuǎn)債發(fā)行數(shù)量還是從發(fā)行規(guī)模來看，可轉(zhuǎn)債市場都已經(jīng)進(jìn)入快速發(fā)展階段，但由于可轉(zhuǎn)債條款設(shè)計的復(fù)雜性，加上投資者知識匱乏，導(dǎo)致可轉(zhuǎn)債暴漲暴跌及可轉(zhuǎn)債折價現(xiàn)象頻發(fā)，不利于我國可轉(zhuǎn)債市場的健康發(fā)展。因此，解決可轉(zhuǎn)債定價效率低的問題成為重中之重。一方面，合理的定價體系可以讓發(fā)行人有效地發(fā)行可轉(zhuǎn)債，制定內(nèi)含的各種條款，尋找最優(yōu)的融資方式;另一方面，正確的定價體系能幫助投資者準(zhǔn)確地對可轉(zhuǎn)債價格進(jìn)行估計，構(gòu)建最優(yōu)的投資組合?？赊D(zhuǎn)債定價方法的探索不僅要借鑒國外經(jīng)典的可轉(zhuǎn)債定價思想，更要從我國可轉(zhuǎn)債市場的特點(diǎn)出發(fā)，與時俱進(jìn)，嘗試從更多歷史數(shù)據(jù)中挖掘?qū)赊D(zhuǎn)債價格具有解釋力的信息。目前機(jī)器學(xué)習(xí)方法在國內(nèi)金融市場中已有較多應(yīng)用，且隨著可轉(zhuǎn)換債券投資性價比逐步提升，機(jī)器學(xué)習(xí)模型在可轉(zhuǎn)債定價領(lǐng)域更具可行性。

二、文獻(xiàn)綜述

（一）國外可轉(zhuǎn)債定價方法綜述

國外對可轉(zhuǎn)債定價的研究首次出現(xiàn)于1968年[1]，Weil以及后來的Baumol and Malkiel 等對可轉(zhuǎn)債的價格屬性展開討論，將可轉(zhuǎn)債的價格等價為未來選擇轉(zhuǎn)股后的股權(quán)價值，以及作為信用債持有到期的價值兩部分并進(jìn)行貼現(xiàn)，取較高者作為當(dāng)前轉(zhuǎn)債的合理定價。

其中BC為轉(zhuǎn)債價值，B為未來時點(diǎn)的信用債價值，S為未來時點(diǎn)的選擇轉(zhuǎn)股獲得的股權(quán)價值，r為折現(xiàn)率，t為未來時點(diǎn)距離當(dāng)前的時間。

1970年，Black-Scholes期權(quán)定價公式的誕生使可轉(zhuǎn)債的相關(guān)研究開啟了新的篇章，模型認(rèn)為可轉(zhuǎn)債價值包含了公司債券和若干份股票期權(quán)兩種金融工具的價值。B指的是可轉(zhuǎn)債的純債價值，OP是轉(zhuǎn)股期權(quán)的價值，B為每期現(xiàn)金流貼現(xiàn)之和，其中為每期現(xiàn)金流，為信用價差，為無風(fēng)險利率。OP由Black-Scholes公式算得，其中K為轉(zhuǎn)股價格，股價歷史波動率為δ，可轉(zhuǎn)債期限為T：

Brennan and Schwartz[2]認(rèn)為，可轉(zhuǎn)債價值只由服從幾何布朗運(yùn)動的公司市場價值決定，從而基于Black-Scholes公式和風(fēng)險中性定價思想，推導(dǎo)出偏微分方程，結(jié)合最優(yōu)贖回策略和最優(yōu)轉(zhuǎn)換策略確定微分方程的邊界條件求解。Ho and Pfeffer[3]在定價中引入了利率的波動。Goldman Sachs[4]首次將可轉(zhuǎn)債的信用風(fēng)險引入定價模型，綜合股價的波動與信用風(fēng)險的調(diào)整給出可轉(zhuǎn)債定價方法。Longstaff and Schwartz[5]提出了最小二乘蒙特卡羅模擬法（Least Squares Monte Carlo Simulation，簡稱LSM），該方法假設(shè)正股未來波動符合幾何布朗運(yùn)動，在模擬生成大量可能的正股價格序列后，便可以采取類似于二叉樹的逆向推導(dǎo)方法，借助最小二乘估計逐步推算前一期轉(zhuǎn)債的期望持有價值，最后對各條模擬路徑的轉(zhuǎn)債估值結(jié)果取平均值，從而得到轉(zhuǎn)債在當(dāng)前時點(diǎn)的理論定價。Dubrov and Bella[6]曾提出強(qiáng)化學(xué)習(xí)算法可以比蒙特卡洛模擬更好地找到最優(yōu)執(zhí)行策略，基于大量的實(shí)證研究和數(shù)值實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)若引入二叉樹的計算，機(jī)器學(xué)習(xí)模型將更有效。

（二）國內(nèi)可轉(zhuǎn)債定價方法綜述

自從我國第一只轉(zhuǎn)債（寶安轉(zhuǎn)債）上市后，國內(nèi)開始出現(xiàn)可轉(zhuǎn)債定價的實(shí)證分析。具有代表性的為鄭振龍教授在2004年提出的風(fēng)險中性定價法，通過贖回條款及轉(zhuǎn)換條款確定邊界條件，通過數(shù)值解法解得可轉(zhuǎn)債價格。鄭振龍、林海[7]率先指出，可轉(zhuǎn)債的定價復(fù)雜性主要表現(xiàn)在是否執(zhí)行期權(quán)以及何時執(zhí)行期權(quán)，由此產(chǎn)生的問題可以歸納為：

1.附加條款的期權(quán)為奇異期權(quán)，很難得到其解析解;

2.轉(zhuǎn)股期權(quán)為美式期權(quán)，很難以蒙特卡洛模擬;

3.內(nèi)含期權(quán)多為路徑依賴期權(quán)，難以使用二叉樹和有限差分法等數(shù)值方法。

如圖2所述，可轉(zhuǎn)換債券的價值由股票價格和債券價值決定，假設(shè)股票價格服從幾何布朗運(yùn)動：

可轉(zhuǎn)債視為股票的衍生品，可轉(zhuǎn)債的價格偏微分方程可表示為：

江良、林鴻熙、林建偉及宋麗平[8]基于隨機(jī)利率模型對可轉(zhuǎn)換債券定價分析，結(jié)果顯示利率的隨機(jī)波動對可轉(zhuǎn)債價值具有影響。王茵田、文志瑛[9]基于Tsiveriotisand Fernandes信用風(fēng)險的定價模型，發(fā)現(xiàn)考慮修正條款后，模型的精度明顯提高且可轉(zhuǎn)債溢價現(xiàn)象有所改善。馬林、黃中翔[10]采用偏最小二乘回歸方法，選取了對可轉(zhuǎn)債具有解釋能力的變量，并分類為轉(zhuǎn)債、正股及指數(shù)類因子，結(jié)合最優(yōu)停時定理給期權(quán)定價。程志富、胡昌生[11]構(gòu)建了基于套利限制的可轉(zhuǎn)債交換期權(quán)模型，基于遠(yuǎn)期風(fēng)險中性測度以及期權(quán)的超復(fù)制方法，并應(yīng)用2015年2月至10月的可轉(zhuǎn)債數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，提升了模型準(zhǔn)確度。沈傳河等[12]基于改進(jìn)的支持向量回歸算法，以鋼釩轉(zhuǎn)債為例，考慮了諸如正股價格、轉(zhuǎn)股溢價率等8個相關(guān)變量，進(jìn)行支持向量回歸SVR訓(xùn)練，并對203條數(shù)據(jù)進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)支持向量回歸模型的準(zhǔn)確度最好。

以往文獻(xiàn)采納的定價框架大都基于嚴(yán)格的Black-Scholes公式前提假設(shè)，然而這些假設(shè)是我國金融市場無法滿足的。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)模型的流行，機(jī)器學(xué)習(xí)模型的強(qiáng)大擬合能力以及函數(shù)優(yōu)化的特征被慢慢挖掘，加之不斷充實(shí)的數(shù)據(jù)為模型提供了較強(qiáng)的支撐，使得模型精度及穩(wěn)定性進(jìn)一步提升。下文將嘗試用機(jī)器學(xué)習(xí)擬合的方法給可轉(zhuǎn)債定價。

三、可轉(zhuǎn)債價格影響因子及有效性檢驗(yàn)

（一）可轉(zhuǎn)債價格影響因子

如圖3所示，當(dāng)正股股價較低或平價小于面值100的狀態(tài)，可轉(zhuǎn)債價格貼近于債底價值小幅波動;當(dāng)正股股價較高或平價大于面值100的狀態(tài)，可轉(zhuǎn)債價格貼近于平價或者轉(zhuǎn)股價值波動。其中，可轉(zhuǎn)債價格相對于債底或平價的溢價通常被解釋為轉(zhuǎn)債的估值變動。

價值分解也可以進(jìn)一步用Black-Scholes公式求導(dǎo)來說明，可轉(zhuǎn)債價值CB同時由債底B、正股S及估值Vol驅(qū)動。在我國，還由可轉(zhuǎn)債的自身特有屬性決定（如附加條款等）。

我國可轉(zhuǎn)債市場的波動更多由可轉(zhuǎn)換債券對應(yīng)正股的價值主導(dǎo)。對比2007年1月至2020年12月間中證轉(zhuǎn)債指數(shù)和滬深300指數(shù)凈值曲線，兩者波動方向基本一致，說明轉(zhuǎn)債漲幅主要依賴于對應(yīng)正股的驅(qū)動力，見圖4。

在我國轉(zhuǎn)債市場內(nèi)，由于幾乎無法低成本對沖，可轉(zhuǎn)債的價值根本在于正股，轉(zhuǎn)債大多以轉(zhuǎn)股的方式退出轉(zhuǎn)債市場。此外，雖然債底價值占據(jù)大部分的比例，但帶來的波動卻是股遠(yuǎn)大于債。因此，正股類驅(qū)動力實(shí)證部分重點(diǎn)關(guān)注轉(zhuǎn)債對應(yīng)正股的營收能力、盈利能力、現(xiàn)金流情況及資產(chǎn)負(fù)債結(jié)構(gòu)，同時也應(yīng)綜合考慮對應(yīng)正股的規(guī)模、估值及所處的行業(yè)等因素。

債底價值在可轉(zhuǎn)債價值中占比較大，但純債價值的波動對于可轉(zhuǎn)債價值的影響較小。一是國內(nèi)可轉(zhuǎn)債的面值接近純債價值;二是若債底價值因出現(xiàn)了利好而明顯上升，機(jī)會成本增加，投資者不會因此去投資可轉(zhuǎn)債。

本文從債底價值計算公式出發(fā)，考慮票面利率、債券面值、貼現(xiàn)率、補(bǔ)償利率及現(xiàn)金流貼現(xiàn)率，應(yīng)用可轉(zhuǎn)債評級對應(yīng)同時期中債企業(yè)債收益率作為分母的現(xiàn)金流貼現(xiàn)率。

轉(zhuǎn)債價格相對于其債底價值和轉(zhuǎn)股價值的溢價被投資者稱為可轉(zhuǎn)債的估值，實(shí)際投資中常用純債溢價率和轉(zhuǎn)股溢價率來衡量。估值指標(biāo)大小也決定了可轉(zhuǎn)債是偏股性還是偏債性。本文采取轉(zhuǎn)股溢價率及純債溢價率兩類指標(biāo)分別衡量轉(zhuǎn)債的股性和債性。

自身屬性和附加條款類因子，主要考慮可轉(zhuǎn)債是否進(jìn)入了贖回、回售期，這點(diǎn)可從公司發(fā)布的強(qiáng)制贖回或強(qiáng)制回售公告中獲取，是否進(jìn)入了下修期能從可轉(zhuǎn)債規(guī)定的轉(zhuǎn)股價格來反映。自身屬性主要從債性評級、中簽率、所處生命周期等因子來考慮。

本文從可轉(zhuǎn)債的正股影響因素、債底計算公式、估值因子及附加條款歸納總結(jié)了對轉(zhuǎn)債價格有解釋力的31個因子，如表1所示。經(jīng)過因子數(shù)據(jù)的去極值及標(biāo)準(zhǔn)化處理后，對因子進(jìn)行分層回測檢驗(yàn)。各部分因子在后續(xù)實(shí)證過程中都統(tǒng)一為日頻，未更新的日期采用最新的數(shù)據(jù)填充。數(shù)據(jù)均可從Wind獲得，缺失率不高，因子覆蓋度較好。

（二）因子分層回測及檢驗(yàn)

分層檢驗(yàn)常用于股票多因子策略中因子有效性的檢驗(yàn)部分，目的是通過在每一個橫截面將不同因子的截面數(shù)據(jù)進(jìn)行分層。如果不同層因子的表現(xiàn)有顯著區(qū)別，則證明該因子對轉(zhuǎn)債的收益率具有解釋力度。具體操作步驟如下：

1.選取2019年1月-2020年11月期間有交易數(shù)據(jù)的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共85只可轉(zhuǎn)債標(biāo)的和433個交易日數(shù)據(jù);

2.因子每一周按數(shù)值從小到大排列分成五層，在這一周內(nèi)分別持有排列在每一層的轉(zhuǎn)債，設(shè)置交易費(fèi)用萬分之三，下一周按此規(guī)則換倉;

3.在區(qū)間內(nèi)每周換手一次，最后得到每層的一個收益率序列，并畫出每層轉(zhuǎn)債的累積收益率曲線。

需要說明的是，因子的表現(xiàn)可能在某些時段分層效果較好，有些時段分層不顯著。該現(xiàn)象可能由可轉(zhuǎn)債市場風(fēng)格變動等原因?qū)е?，我們認(rèn)為這類因子對價格仍具有一定解釋力度。另外，由于截面數(shù)據(jù)量較少，容易出現(xiàn)單層數(shù)據(jù)少，可能給分層結(jié)果帶來偏差。

如圖5所示，轉(zhuǎn)股溢價率因子在測試區(qū)間段內(nèi)分層效果較明顯，反映出轉(zhuǎn)股溢價率是一個不錯的估值因子，回測區(qū)間內(nèi)呈現(xiàn)較好的單調(diào)性。低轉(zhuǎn)股溢價率的轉(zhuǎn)債累積收益率越高，一定程度上印證了可轉(zhuǎn)債的低價格低溢價率策略，即“雙低”策略在我國轉(zhuǎn)債市場投資中表現(xiàn)較好。

圖6中，隱含波動率因子分層效果較為理想，意味著通過隱含波動率來挑選可轉(zhuǎn)債，長期看來具有一定的穩(wěn)定性和正向收益。隱含波動率的單調(diào)性表現(xiàn)較好。

圖7中，可轉(zhuǎn)債的債項(xiàng)評級效果也較好，高評級債券累計收益率波動更小，收益也相對較低。相對來說，低評級債券展現(xiàn)出更大的波動，也有更高的收益。這是因?yàn)榈驮u級債券的正股雖然市值小，但彈性更大，且低評級的轉(zhuǎn)債規(guī)模也相對更小，更容易出現(xiàn)彈性更大的情況，所以在2019年和2020年大盤環(huán)境好的時候，容易出現(xiàn)價格迅速上升的現(xiàn)象。

圖8中，可轉(zhuǎn)債的對應(yīng)正股股價日波動率分層明顯且單調(diào)性較好，表明正股波動率越大，可轉(zhuǎn)債累積收益越高，這在2020年表現(xiàn)尤為明顯。這也印證了波動率越高、可轉(zhuǎn)債的內(nèi)含期權(quán)價值就越大、可轉(zhuǎn)債價值越高的這一規(guī)律

四、機(jī)器學(xué)習(xí)介紹及支持向量機(jī)理論

（一）機(jī)器學(xué)習(xí)模型定價優(yōu)勢

從可獲取的可轉(zhuǎn)債歷史數(shù)據(jù)的寬度及深度、定價模型的優(yōu)劣及模型的假設(shè)條件來看，應(yīng)用機(jī)器學(xué)習(xí)模型的優(yōu)勢在于：

1. 我國的可轉(zhuǎn)債市場在存量和增量上，目前均有足夠歷史數(shù)據(jù)支持機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練和驗(yàn)證。同時，隨著機(jī)器學(xué)習(xí)理論的不斷深化應(yīng)用，國內(nèi)外開始出現(xiàn)基于復(fù)雜的數(shù)學(xué)模型給轉(zhuǎn)債定價的實(shí)證分析。未來我國可轉(zhuǎn)債市場有效性有望增強(qiáng)，一些轉(zhuǎn)債交易亂象產(chǎn)生的數(shù)據(jù)噪聲也將逐漸變少。

2. 現(xiàn)有的可轉(zhuǎn)債定價理論大多基于Black-Scholes框架，考慮的因素多為Black-Scholes公式中的影響因素，比如股價、波動率、利率及執(zhí)行價格（轉(zhuǎn)股價格），未考慮估值因子（轉(zhuǎn)股溢價率等）和正股的基本面表現(xiàn)。

3. 我國金融市場不滿足Black-Scholes理論中股價符合幾何布朗運(yùn)動以及期權(quán)可對沖復(fù)制的兩點(diǎn)假設(shè)，且市場賣空機(jī)制還有待完善，造成Black-Scholes定價結(jié)果的偏差。相比之下，支持向量機(jī)回歸模型不需要局限于這些假設(shè)，更多的是通過對輸入的解釋變量和被解釋變量關(guān)系的訓(xùn)練，找出之間的函數(shù)關(guān)系。不可忽略的是，通過支持向量機(jī)回歸（SVR）模型難以計算出衡量可轉(zhuǎn)債內(nèi)含期權(quán)的敏感性的字母，而這正是Black-Scholes模型的理論優(yōu)勢所在。

（二）支持向量機(jī)理論

支持向量機(jī)SVM（Support Vector Machine）是一個數(shù)學(xué)理論嚴(yán)格完備的模型，可以用來解決分類問題（Support Vector Classify）和回歸問題（Support Vector Regression）。支持向量機(jī)有較高的擬合準(zhǔn)確率，在非線性、小樣本及高維模式方面都具有比較明顯的優(yōu)勢，常用來解決非線性分類問題及回歸問題，通過改變核函數(shù)及其參數(shù)可以調(diào)試不同的預(yù)測效果，是目前應(yīng)用最廣泛的機(jī)器學(xué)習(xí)方法之一。本文主要介紹實(shí)證過程中涉及的支持向量機(jī)回歸的思想及解法。

機(jī)器學(xué)習(xí)模型與普通最小二乘線性回歸方法最大的區(qū)別就是損失函數(shù)。只有在輸出結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)之間的差距超過一定值ε時，機(jī)器學(xué)習(xí)模型才會計算損失，并給予對應(yīng)的懲罰系數(shù)。

如圖9所示，如果訓(xùn)練樣本的輸出結(jié)果滿足時，是實(shí)際結(jié)果，則認(rèn)為輸出結(jié)果沒有損失;如果訓(xùn)練樣本的輸出結(jié)果滿時，則需要計算模型的損失并給予懲罰。進(jìn)而，支持向量機(jī)回歸問題可表示為如下優(yōu)化問題：

其中，損失函數(shù)前的系數(shù)C被稱為正則化常數(shù)，當(dāng)模型訓(xùn)練時結(jié)果與真實(shí)數(shù)據(jù)差距較大，則需要通過懲罰機(jī)制使模型訓(xùn)練結(jié)果趨于起初設(shè)定的目標(biāo)。C也為懲罰系數(shù)，是不敏感損失函數(shù)，表達(dá)式如下：

損失函數(shù)的理解亦可直觀表示為圖10。

在損失函數(shù)的基礎(chǔ)上，引入松弛變量和，且將落在左右兩側(cè)的松弛程度設(shè)置不一樣，支持向量回歸問題可表示為：

然后，引入拉格朗日乘子，得到上式的拉格朗日函數(shù)：

令對偏導(dǎo)數(shù)為零，并結(jié)合，可得：

此問題下KKT條件如下：

由上式得，當(dāng)且僅當(dāng)為0，可不為0。已知約束條件與不能同時為0，所以，至少有一個為0。

將偏導(dǎo)數(shù)為零的條件之一，代入可得SVR解形式如下：

使的樣本即為支持向量回歸的支持向量，該樣本必落在ε間隔帶外即，由KKT條件可求出，則由下式可求b，一般都會取多個滿足的樣本，得到b的平均值。

另外，可以將上述解寫成特征映射形式，即可將SVR的解析解如下式，為核函數(shù)。

五、可轉(zhuǎn)債定價實(shí)證

（一） 數(shù)據(jù)獲取處理

數(shù)據(jù)來源：本文實(shí)證所需的所有數(shù)據(jù)，轉(zhuǎn)債價格序列及轉(zhuǎn)債因子數(shù)據(jù)都來自Wind金融終端及Tushare Pro平臺。

數(shù)據(jù)時間段選取：本文選取2015年1月1日至2020年12月31日間所有交易數(shù)據(jù)不為空的轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共383只轉(zhuǎn)債，包括中途退市轉(zhuǎn)債。價格序列是該時間段的日頻交易數(shù)據(jù)，每個轉(zhuǎn)債從其上市日期起至2020年12月31日。因子數(shù)據(jù)從價格序列的時間點(diǎn)獲取，一共1531個截面數(shù)據(jù)，根據(jù)前文分析，總共提取四大類因子，31個基礎(chǔ)因子。

數(shù)據(jù)條拼接及數(shù)據(jù)集劃分：因子數(shù)據(jù)與當(dāng)日的價格序列對齊。非日頻的因子及非時間序列的因子遵循最近原則。日期未公布的數(shù)據(jù)采用日期最近的數(shù)據(jù)填充。在拼接的所有價格因子數(shù)據(jù)條中，每月隨機(jī)選取一個交易日的數(shù)據(jù)作為模型的測試集，并在剩下的數(shù)據(jù)中每周隨機(jī)選取一個交易日作為模型的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，訓(xùn)練集數(shù)據(jù)與測試集數(shù)據(jù)不存在相同的數(shù)據(jù)條。

數(shù)據(jù)預(yù)處理：國內(nèi)轉(zhuǎn)債市場頻繁出現(xiàn)暴漲暴跌的現(xiàn)象，以及因子缺失的數(shù)據(jù)條的處理對實(shí)證結(jié)果都有很大影響。主要步驟如下：

1.轉(zhuǎn)債價格數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：去除成交量為0的數(shù)據(jù)，成交量為0大多數(shù)是轉(zhuǎn)債遭遇停牌，本文認(rèn)為當(dāng)天價格并未反映最新的信息，予以剔除。

2.國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場存在少數(shù)規(guī)模較小的債券，T+0的交易規(guī)則下容易被少數(shù)持有者操縱交易，存在日內(nèi)漲跌幅巨大的標(biāo)的，嚴(yán)重偏離可轉(zhuǎn)債的理論價值。因此，剔除單日漲跌幅絕對值超過20%的數(shù)據(jù)條。

3.對轉(zhuǎn)債因子數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：因子數(shù)據(jù)數(shù)量級不一致時，直接輸入模型會造成模型結(jié)果失效。因此進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，即減去均值再除以標(biāo)準(zhǔn)差，方便后續(xù)同一量綱分析。

4.拼接數(shù)據(jù)，處理好價格數(shù)據(jù)及因子數(shù)據(jù)后，每月隨機(jī)選取一個交易日的數(shù)據(jù)作為模型的測試集，并在剩下的數(shù)據(jù)中每周隨機(jī)選取一個交易日作為模型的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，最終得到訓(xùn)練集數(shù)據(jù)21000條，測試集數(shù)據(jù)5800條。

（二）Black-Scholes模型實(shí)證結(jié)果

Black-Scholes模型廣泛用于可轉(zhuǎn)債定價領(lǐng)域，鄭振龍和林海[7]將可轉(zhuǎn)債的贖回條款作為微分方程的上邊界，下修條款作為下邊界，使用蒙特卡洛模擬和顯性有限差分方法進(jìn)行求解，結(jié)果顯示當(dāng)時我國的可轉(zhuǎn)債市場價格都存在低估，并將此歸因于當(dāng)前的市場無效。但Black-Scholes方法并非完全適用于國內(nèi)市場，蔣殿春、張新[13]很早之前指出Black-Scholes公式定價可轉(zhuǎn)債內(nèi)含期權(quán)是不準(zhǔn)確的，并另外提出二項(xiàng)分布模型對可轉(zhuǎn)債進(jìn)行定價，以正股股價為主要驅(qū)動因素，并兼顧各項(xiàng)附加條款對可轉(zhuǎn)債價值的影響，提高了模型定價的精度。

Black-Scholes模型中分別計算可轉(zhuǎn)債的純債價值和轉(zhuǎn)股期權(quán)價值。純債價值為可轉(zhuǎn)債的各期現(xiàn)金流貼現(xiàn)值，貼現(xiàn)率使用對應(yīng)期限對應(yīng)評級中債企業(yè)債到期收益率;轉(zhuǎn)股權(quán)價值等于內(nèi)含轉(zhuǎn)股期權(quán)的價值，等于轉(zhuǎn)換為股票的份數(shù)乘以單個期權(quán)的價值，單個期權(quán)是以正股為標(biāo)的資產(chǎn)，轉(zhuǎn)股價為執(zhí)行價格的看漲期權(quán)。具體計算步驟如下：

其中，為可轉(zhuǎn)債現(xiàn)金流，取當(dāng)日日期未來的現(xiàn)金流，即現(xiàn)金流發(fā)生日大于當(dāng)日日期;為純債貼現(xiàn)率，應(yīng)用對應(yīng)企業(yè)債收益率，這里選用中債指數(shù)收益率;為（現(xiàn)金流發(fā)生日-當(dāng)日日期）/365;

為正股股價，為轉(zhuǎn)股價格，為可轉(zhuǎn)債剩余期限，σ為波動率，即正股過去一年的歷史波動率，無風(fēng)險利率為，這里采用一年期國債收益率。

Black-Scholes公式是目前運(yùn)行穩(wěn)定性最高的方法，理論意義強(qiáng)，能清晰刻畫出轉(zhuǎn)債價值的框架，且可以用來計算轉(zhuǎn)債的瞬時敏感系數(shù)，但Black-Scholes公式存在將債券與期權(quán)相割裂的缺陷，也無法刻畫回售贖回等諸多復(fù)雜條款。

此部分基于Black-Scholes模型的步驟，應(yīng)用python進(jìn)行實(shí)現(xiàn)，定義計算期權(quán)價值函數(shù)C（S，X，R，T，σ ）和債底價值函數(shù)C（Ci，R，T），對經(jīng)過數(shù)據(jù)處理后的5800條測試集數(shù)據(jù)的價格進(jìn)行測算，并通過計算以下指標(biāo)觀察Black-Scholes定價的效果：

1.平均絕對誤差MAD，模型理論價格與市場價格的誤差的絕對值的平均數(shù);

2.平均絕對誤差偏離度，絕對誤差占市場價格的比例的平均值;

3.誤差的標(biāo)準(zhǔn)差，觀察兩序列之間的誤差是否穩(wěn)定，衡量模型是否穩(wěn)定;

4.誤差大于0的比例，衡量Black-Scholes方法是否存在一直高估或者一直低估的狀態(tài)。

Black-Scholes模型定價結(jié)果如表3所示，定價結(jié)果與市場價格誤差的絕對值平均值為10.26，平均百分比誤差為8.14%，精確度有所欠缺，但模型價格走勢方向與市場價格基本一致。進(jìn)一步來看，百分比誤差的標(biāo)準(zhǔn)差較小，模型誤差較穩(wěn)定，不存在一直明顯高估或者低估的情況。Black-Scholes模型可轉(zhuǎn)債定價的精度有待提高，穩(wěn)定性表現(xiàn)尚可。

（三）支持向量回歸可轉(zhuǎn)債定價

SVR可轉(zhuǎn)債定價部分：輸入變量為t日的31個因子數(shù)據(jù)，輸出變量為t日的可轉(zhuǎn)債理論價格，計算與t日的實(shí)際市場價格誤差及誤差的表現(xiàn)，并與前文Black-Scholes定價結(jié)果進(jìn)行對比，觀察定價的準(zhǔn)確度及穩(wěn)定性。

SVR價格預(yù)測部分：輸入變量為t日因子的前五日滾動均值，輸出變量為t日的預(yù)測價格，計算模型在測試集上的誤差。

在構(gòu)建實(shí)證模型前，對核函數(shù)的選擇及核函數(shù)參數(shù)的選擇及遍歷空間有以下說明：

第一，支持向量回歸核函數(shù)選擇。學(xué)者魏瑾瑞[14]指出，支持向量機(jī)中的核函數(shù)是為了簡化計算，不同的核函數(shù)具有比例很高的共同支持向量、存在相似性。因此在某種程度上，核函數(shù)參數(shù)的選擇比核函數(shù)的選擇更加重要，選定核參數(shù)最少的高斯核僅涉及gamma參數(shù)及模型自身的懲罰系數(shù)C。本文實(shí)證數(shù)據(jù)解釋變量、訓(xùn)練數(shù)據(jù)測試數(shù)據(jù)條都較多，選取適用性最廣的非線性核函數(shù)——高斯核函數(shù)，也稱rbf核。高斯核相比于線性核，可以選擇參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化，對于大樣本和小樣本均有比較好的性能，且對數(shù)據(jù)中存在的噪聲具有較好的抗干擾能力。另外，高斯核相比于多項(xiàng)式核的參數(shù)較少。

第二，核函數(shù)參數(shù)設(shè)置。得出最優(yōu)參數(shù)組的兩種常見方法為窮舉法和固定乘積法，其中為給定的常數(shù)。窮舉法需要消耗更多時間及計算機(jī)算力，后者則能確定一個最優(yōu)參數(shù)區(qū)，較為高效。本文結(jié)合及固定參數(shù)倍數(shù)的方法，確定不同的實(shí)證參數(shù)組合。參數(shù)γ意味著原始數(shù)據(jù)映射到高維數(shù)據(jù)后的分布，γ值的大小決定了分隔邊界的彎曲程度。γ值過小，模型擬合度可能較低;γ值過大，對極端值也形成擬合，存在過度擬合。懲罰系數(shù)C一般為模型的敏感參數(shù)，衡量的是模型對損失樣本的容忍度。

第三，輸入數(shù)據(jù)。選取2015年1月1日至2020年12月31日間有交易數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)債標(biāo)的，一共383只轉(zhuǎn)債，其中包括中途退市轉(zhuǎn)債。價格序列是該時間段的日頻交易數(shù)據(jù)。因子數(shù)據(jù)從價格序列的時間點(diǎn)獲取，一共1531個截面數(shù)據(jù)。根據(jù)前文分析，總共提取31個因子。數(shù)據(jù)處理后最終得到訓(xùn)練集數(shù)據(jù)21000條，測試集數(shù)據(jù)5800條。

第四，參數(shù)敏感性分析。選用高斯核（RBF核）作為支持向量回歸的核函數(shù)，有兩個敏感性參數(shù)：C和γ。C為懲罰系數(shù)，默認(rèn)設(shè)置為1，如果樣本噪音較多，可將懲罰系數(shù)的初始值設(shè)置較小。γ為核函數(shù)參數(shù)，決定了樣本映射后的分布。

第五，確定對參數(shù)的遍歷空間。懲罰系數(shù)取C∈{0.05，0.1，0.5，1，5，10}，核函數(shù)參數(shù)取γ∈{0.0005，0.001，0.005，0.01，0.05，0.1}，兩種參數(shù)組合一共有36種組合，在觀察不同參數(shù)組合的絕對誤差百分比、標(biāo)準(zhǔn)差及均值的表現(xiàn)情況，反映模型準(zhǔn)確率的同時，也可以反映模型對參數(shù)的敏感性情況。這里將分別記錄不同參數(shù)組合下，訓(xùn)練集及測試集上模型的表現(xiàn)，觀察模型的穩(wěn)定性。

依照上述步驟將訓(xùn)練集輸入模型進(jìn)行訓(xùn)練，得到模型后再輸入測試集的31個轉(zhuǎn)債因子，計算輸出價格與測試集真實(shí)市場價格的差距，計算各項(xiàng)評價指標(biāo)。支持向量回歸SVR可轉(zhuǎn)債定價結(jié)果如表4至表6所示：

從SVR模型的效果來看，綜合表4、表5、表6三個指標(biāo)的表現(xiàn)，表現(xiàn)最好的參數(shù)組合為C=10， γ=0.001。該參數(shù)組合下測試集的絕對誤差百分比為1.98%，標(biāo)準(zhǔn)差為2.01%，絕對誤差均值為2.49，意味著在經(jīng)過21000條訓(xùn)練集數(shù)據(jù)訓(xùn)練后，在5800條測試集上的測算精度達(dá)到98.2%。預(yù)測精度較高，誤差表現(xiàn)穩(wěn)定，說明模型在經(jīng)過充分訓(xùn)練后預(yù)測結(jié)果較為精確，可信度較大，定價結(jié)果較為精確。

另外，從參數(shù)敏感性來看，懲罰系數(shù)C相對核函數(shù)參數(shù)γ更加敏感，懲罰系數(shù)C默認(rèn)參數(shù)為1。當(dāng)懲罰系數(shù)C小于1時，懲罰系數(shù)越小，無論是在訓(xùn)練集還是測試集上，模型誤差變大且波動也大，模型的精度及穩(wěn)定性表現(xiàn)都不理想，這說明模型存在欠擬合;當(dāng)懲罰系數(shù)大于1時，模型的總精度表現(xiàn)總體較優(yōu)，但此時若γ值稍大，則模型在訓(xùn)練集上表現(xiàn)較好、測試集上表現(xiàn)不好，說明模型的核函數(shù)參數(shù)在0.01以上時，高斯核的特征邊界彎曲度較大，模型存在明顯的過擬合。核函數(shù)參數(shù)在0.01以下，γ敏感性明顯降低，此時不會隨著參數(shù)的改變模型的結(jié)果發(fā)生較大變化。

表7總結(jié)對比SVR和Black-Scholes定價實(shí)證分析，雖然支持向量回歸模型對數(shù)據(jù)的深度廣度要求更高、求解過程更耗時，但綜合考慮模型的精確度及穩(wěn)定性，支持向量回歸模型給可轉(zhuǎn)債定價的效果更加準(zhǔn)確，模型穩(wěn)定性更好。隨著未來國內(nèi)可轉(zhuǎn)債市場逐漸規(guī)范化，機(jī)器學(xué)習(xí)模型有望在可轉(zhuǎn)債定價理論實(shí)際投資領(lǐng)域得到進(jìn)一步發(fā)展。

從圖11、12中可看出，SVR方法得到的百分比誤差更小、表現(xiàn)更穩(wěn)定。綜合表格中評價指標(biāo)的表現(xiàn)及誤差的波動情況，SVR誤差99.10%都集中在10%以內(nèi)，模型更精確。支持向量回歸能大概率將定價誤差控制在10%以內(nèi)，相比Black-Scholes模型能提取出對價格具有解釋力度的因素。

六、結(jié)論與建議

本文嘗試應(yīng)用支持向量回歸定價國內(nèi)可轉(zhuǎn)債。從可轉(zhuǎn)債價值的四大驅(qū)動力出發(fā)總結(jié)了31個因子，并同時給予邏輯解釋和分層回測檢驗(yàn)，分析其影響作用。為了形成對照，本文先基于Black-Scholes公式對可轉(zhuǎn)債的轉(zhuǎn)換期權(quán)和債底價值定價得到可轉(zhuǎn)債價值，并進(jìn)一步運(yùn)用支持向量機(jī)回歸方法擬合可轉(zhuǎn)債價格，觀察與Black-Scholes定價效果之間的差異。

本文應(yīng)用支持向量回歸做了兩步實(shí)證：第一步是在所有的訓(xùn)練集和測試集上實(shí)證，確定懲罰系數(shù)為10，核函數(shù)參數(shù)0.001，輸入變量為31個因子，輸出結(jié)果為可轉(zhuǎn)債的理論價格。結(jié)果顯示SVR模型誤差的各項(xiàng)指標(biāo)均大幅優(yōu)于Black-Scholes定價方法。第二步是基于大量的訓(xùn)練集數(shù)據(jù)，選取的10只可轉(zhuǎn)債的歷史時間序列價格進(jìn)行預(yù)測，發(fā)現(xiàn)支持向量回歸SVR依然能很好預(yù)測單個轉(zhuǎn)債的下一日價格，模型預(yù)測價格能為可轉(zhuǎn)債的市場價格提供參考。

綜上，以上述31個因子作為輸入數(shù)據(jù)，通過支持向量回歸方法能很好地擬合出可轉(zhuǎn)債價格，得到一個較為滿意的可轉(zhuǎn)債二級市場定價模型。在實(shí)際投資過程中，可以先結(jié)合因子選出具有投資價值的可轉(zhuǎn)債標(biāo)的，并支持向量回歸的理論價格給出買入時點(diǎn)建議，形成自上而下先擇券再擇時的投資策略。

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Research and Empirical Analysis of Convertible Bond Pricing Based on Machine Learning

Niu Xiaojian，Ba Xiong

（Fudan University，Shanghai 200433，China）

Abstract：As a financial product featuring both bonds and stocks，convertible bonds have become an important financing tool in the capital market and an asset allocation tool favored by the majority of investors. However，due to the complexity of the additional terms and options of domestic convertible bonds，the strict assumptions of Black-Scholes formula often lead to a large deviation in the pricing results. The empirical results show that the 31 convertible bond factors summarized in this paper are taken as explanatory variables and the price of convertible bond can be well fitted through support vector regression.

Key words：convertible bond pricing;Black-Scholes model;machine learning;support vector regression