肖 祥, 陳 一

(武漢理工大學(xué) 交通學(xué)院，湖北 武漢 430067)

0 引 言

電渦流阻尼器是近年來在結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域中出現(xiàn)的一種新型阻尼器。它利用導(dǎo)電片與磁場之間相對運(yùn)動激起的電渦流力來抑制結(jié)構(gòu)振動,具有使用壽命長、維護(hù)成本低、無直接磨損、材料可循環(huán)利用、阻尼調(diào)節(jié)范圍大等顯著優(yōu)勢,使得其在振動控制領(lǐng)域發(fā)揮了巨大作用[1-5],并有效推動了振動控制技術(shù)的發(fā)展。近年來,在振動控制領(lǐng)域中出現(xiàn)了一種新思路,利用電渦流阻尼來構(gòu)造調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(簡稱ECTMD)。如Larose等[6]構(gòu)造了一種新的ECTMD裝置來抑制橋梁的風(fēng)致振動。目前有關(guān)ECTMD裝置的理論探索和實(shí)驗(yàn)研究仍在不斷的發(fā)展之中。然而,這些研究主要針對風(fēng)荷載和地震荷載作用下的橋梁線性振動控制問題。

近年來,索道橋已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于臨時(shí)交通工程、風(fēng)景工程和軍事工程等領(lǐng)域[1]。索道橋作為一種柔性結(jié)構(gòu)在使用過程中會表現(xiàn)出強(qiáng)非線性振動特性[1,7,8]。由于ECTMD具有阻尼調(diào)整范圍大、維護(hù)成本低等優(yōu)點(diǎn),使得其在大變形非線性振動控制中能夠發(fā)揮較好的作用。然而,ECTMD在振動控制應(yīng)用中通常需要進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)才能獲得最好的控制效果。振動控制裝置的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)也是近年來研究的熱點(diǎn)[8,9]。然而現(xiàn)有的優(yōu)化設(shè)計(jì)主要集中在橋梁線性振動控制上,對于非線性振動問題的控制效果較差。ECTMD的優(yōu)化目標(biāo)是最大限度地減少系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng),而車輛-索道橋非線性系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)分析通常涉及復(fù)雜的非線性計(jì)算,使得ECTMD的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)較為煩瑣和難以實(shí)現(xiàn)。

基于此,本文提出了一種基于ECTMD裝置的車輛-索道橋非線性系統(tǒng)振動控制技術(shù)。首先提出了一種評價(jià)ECTMD對車輛-索道橋系統(tǒng)控制性能的分析方法,進(jìn)而基于響應(yīng)面法提出了參數(shù)優(yōu)化方法。最后,結(jié)合一個(gè)實(shí)際索道橋論證了本文方法的有效性。

1 車輛-索道橋耦合系統(tǒng)非線性分析

圖1為一個(gè)典型移動雙軸車輛作用下的臨時(shí)索道橋系統(tǒng)動力模型。為控制車-橋系統(tǒng)的振動,在橋梁的跨中、1/4跨和3/4跨分別安裝ECTMD裝置。ECTMD裝置的等效質(zhì)量、等效剛度和等效阻尼分別用mdj、kdj、cdj(j=1～3)表示。假定車輛以恒定速度v移動,并且只考慮車-橋系統(tǒng)在豎向平面內(nèi)的振動行為。

圖1 車輛-索道橋系統(tǒng)非線性變形

橋上安裝的ECTMD裝置采用與其相連接的質(zhì)量-阻尼器-彈簧系統(tǒng)模擬,并采用三節(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元建立索道橋模型,雙軸車輛采用線性質(zhì)量-彈簧-阻尼模型進(jìn)行模擬。車體具有豎向位移yc以及轉(zhuǎn)角位移θc兩個(gè)自由度;前后輪軸各有一個(gè)自由度,分別為前軸豎向位移yf與后軸豎向位移yr。為描述非線性索道橋系統(tǒng)的動態(tài)變形,分別定義C、Ct和Ct+Δt三種橋梁變形參考狀態(tài)。C表示初始時(shí)刻(t=0)的橋梁靜平衡形態(tài);Ct表示t時(shí)刻的橋梁形態(tài);Ct+Δt表示t=t+Δt時(shí)刻的橋梁形態(tài),其中Δt表示增量時(shí)間步。系統(tǒng)在t時(shí)刻的響應(yīng)是已知的,需要分析的是t+Δt時(shí)刻的系統(tǒng)響應(yīng)。本文以C為參考構(gòu)形的位移表示整體位移,以Ct為參考構(gòu)形的位移表示增量位移。

1.1 增量運(yùn)動方程

假設(shè)車輛通過索道橋時(shí),每個(gè)輪胎總是與橋面相接觸。利用虛功原理可建立帶有ECTMD裝置的車輛-索道橋系統(tǒng)增量形式運(yùn)動方程:

(1)

式中：M、C和K分別表示車輛-索道橋系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣;q,F和Fr分別表示車輛-索道橋系統(tǒng)的自由度向量、載荷向量和抗力向量。

(2)

其中:

(3)

1.2 車橋系統(tǒng)響應(yīng)求解

假定車橋系統(tǒng)矩陣M、C和K在每個(gè)增量時(shí)間步長Δt內(nèi)為常數(shù)?；谂ｎD拉斐遜迭代法,定義殘差向量R:

(4)

增量形式運(yùn)動方程(1)可采用如下迭代法求解:

(5)

(6)

式中：‖q‖∞為向量q的無限范數(shù),η為收斂系數(shù),本文取1.0×10-4。

基于上述求解的非線性車橋系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng),評價(jià)ECTMD裝置控制性能的指標(biāo)可定義如下:

(7)

2 ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化

振動控制的目的是最小化結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動力響應(yīng)[9-11]。對于車輛-索道橋系統(tǒng)而言,振動控制涉及兩個(gè)方面,即橋梁振動和車輛振動。對于橋梁而言,橋梁自身的位移和加速度響應(yīng)是直接評估橋梁振動的兩個(gè)直接指標(biāo)。對于車輛而言,車輛加速度響應(yīng)所反映的車輛走行性能也是評估橋梁振動的重要指標(biāo)。一般而言,需要選擇橋梁關(guān)鍵位置處的位移和加速度響應(yīng)作為橋梁的控制目標(biāo);選擇具有代表性的車輛加速度作為車輛的控制目標(biāo)。

由于不同工況下的車橋系統(tǒng)位移和加速度響應(yīng)具有不同的量綱,且不同位置處響應(yīng)的數(shù)量級差別顯著。值得注意的是車橋系統(tǒng)由于振動控制后響應(yīng)峰值的降低比率(控制效率)是無量綱的。因此,振動控制效率可以直接作為ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。橋梁位移、橋梁加速度和車輛加速度的目標(biāo)函數(shù)可通過下式確定:

(8)

基于以上分析,ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化的總目標(biāo)函數(shù)為:

max(f(ξ))=max(β1fy+β2fa+β3fv)

(9)

ξ={md1md2md3cd1cd2cd3kd1kd2kd3}

(10)

式中：βj(j=1～3)表示權(quán)重因子,滿足β1+β2+β3=1;ξ表示待優(yōu)化的ECTMD裝置參數(shù)向量;fy,fa和fv分別表示橋梁位移、橋梁加速度、車輛加速度的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù):

(11)

式中：n1表示橋梁位移測點(diǎn)數(shù)量;n2表示橋梁加速度測點(diǎn)數(shù)量;n3表示車輛加速度測點(diǎn)數(shù)量。

為提高參數(shù)優(yōu)化效率,定義優(yōu)化過程中ECTMD裝置參數(shù)的選擇范圍如下:

0≤mdj≤δd,0≤cdj≤δc,0≤kdj≤δk

(12)

式中：下標(biāo)dj(j=1～3)代表ECTMD裝置參數(shù);δd,δc和δk分別為ECTMD裝置參數(shù)mdj,cdj和kdj的上限值。

目標(biāo)函數(shù)方程(9)和約束方程(11)(12)共同構(gòu)成了ECTMD裝置參數(shù)的優(yōu)化問題。這一問題需要通過迭代算法進(jìn)行求解,而每一次迭代中都涉及整個(gè)車橋系統(tǒng)的非線性求解。系統(tǒng)的非線性問題極大增加了求解的復(fù)雜程度,令優(yōu)化目標(biāo)難以實(shí)現(xiàn)。基于此,本文采用響應(yīng)面法簡化非線性系統(tǒng)的分析難度。首先構(gòu)建一系列ECTMD裝置參數(shù)樣本集,并由其計(jì)算出車-橋系統(tǒng)的響應(yīng)樣本,然后建立參數(shù)的響應(yīng)面替代模型。由于多項(xiàng)式響應(yīng)面模型構(gòu)造簡單且具有封閉形式的特點(diǎn),本文采用了如下二次多項(xiàng)式形式的響應(yīng)面模型:

(13)

式中：Υj(j=1-q)表示第j項(xiàng)目標(biāo)函數(shù);q為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)數(shù)量,χi(i=1-np)表示第i項(xiàng)優(yōu)化參數(shù);np為優(yōu)化參數(shù)數(shù)量,a0,a1,i,a2,i和a3,ij為回歸系數(shù)。

3 數(shù)值算例

如圖1所示為一座實(shí)際的索道橋模型,前后軸距離為5m的雙軸車輛以速度v=40 km/h從橋梁左端行駛到右端。車輛參數(shù)列于表1;橋梁跨徑和垂度分別為L=145 m和f=4.25 m;橋梁等效密度和軸向剛度分別為m=18×103kg/m 和EA=1.00×108kN;橋梁初始水平張力為T=50.×103kN。

表1 兩軸車輛參數(shù)

選取橋梁跨中、1/4跨與3/4跨處峰值位移和加速度作為橋梁的控制響應(yīng),將車體的峰值加速度作為車輛的控制響應(yīng)。在ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化過程中共使用了6個(gè)橋響應(yīng)和2個(gè)車輛響應(yīng),目標(biāo)函數(shù)的數(shù)量為q=8。利用本文所提出的非線性分析算法,基于多組ECTMD裝置參數(shù)樣本計(jì)算了相應(yīng)車橋系統(tǒng)響應(yīng)。通過最小二乘法確定響應(yīng)面模型回歸系數(shù)a0,a1,i,a2,i和a3,ij,定義目標(biāo)權(quán)重因子為β1=β2=β3=1/3。優(yōu)化問題的最優(yōu)解通過遺傳算法(GA)函數(shù)計(jì)算得到,該函數(shù)具有強(qiáng)大的全局搜索能力,常用于求解約束非線性多變量函數(shù)的最優(yōu)解。表2列出了用本方法得到的ECTMD裝置最優(yōu)參數(shù)。由于橋梁沿跨中對稱,在橋梁1/4跨處和3/4跨處設(shè)置ECTMD裝置參數(shù)完全相同,即md1=md3,cd1=cd3和kd1=kd3。

表2 ECTMD裝置參數(shù)

忽略索道橋的非線性,ECTMD裝置參數(shù)可通過線性方法計(jì)算得到[9,10]?；诰€性方法設(shè)計(jì)ECTMD裝置參數(shù)時(shí),裝置質(zhì)量(mdj)可以直接取某一固定值。從表2可以看出,通過線性方法得到的裝置參數(shù)與通過優(yōu)化設(shè)計(jì)得到的裝置參數(shù)有較為明顯的區(qū)別。此外,本文所提出基于響應(yīng)面模型的參數(shù)優(yōu)化方法在ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化過程中耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間僅為30.1 s。相較而言,直接基于車橋系統(tǒng)非線性分析的優(yōu)化計(jì)算時(shí)間達(dá)在2 h以上,說明本文所提出的非線性系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化方法具有較高的計(jì)算效率。

為進(jìn)一步說明本文參數(shù)優(yōu)化方法的有效性,對如下工況的車橋系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)響應(yīng)分析:

工況一:橋梁未安裝振動控制裝置。

工況二:橋梁安裝有ECTMD裝置,裝置參數(shù)通過線性方法計(jì)算得到。

工況三:橋梁安裝有ECTMD裝置,裝置參數(shù)通過參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到。

基于上述三種工況,計(jì)算了車輛和橋梁動態(tài)響應(yīng)的功率譜密度(PSD)，如圖2、圖3所示。橋梁振動加速度功率譜密度從能量角度描述了橋梁振動與頻率的關(guān)系,是評價(jià)橋梁振動控制效果的重要指標(biāo)。

圖2 橋梁加速度PSD

圖3 車體豎向加速度PSD

從圖2可以看出,橋梁振動能量主要分布在橋梁第2階和第7階頻率附近的1.62 Hz和4.10 Hz兩個(gè)頻率點(diǎn)。使用參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的ECTMD裝置對應(yīng)的PSD峰值明顯小于線性設(shè)計(jì)的ECTMD裝置對應(yīng)的PSD峰值,說明采用參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的ECTMD裝置可以有效地消除橋梁的振動能量,使橋梁的振動產(chǎn)生明顯衰減。因此,采用參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的ECTMD裝置對橋梁振動具有較高的控制效率。

如前所述,車輛加速度也是評價(jià)橋梁動力性能的重要指標(biāo)。從圖3可以看出,車輛加速度功率譜密度同樣證明了使用參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的ECTMD裝置的控制效率高于線型設(shè)計(jì)方法得到的ECTMD裝置。

上述結(jié)果表明,具有最佳結(jié)構(gòu)參數(shù)的ECTMD裝置能夠有效地對非線性車橋系統(tǒng)振動控制。因此,本文所提出的ECTMD裝置和對應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化方法能夠有效實(shí)現(xiàn)對車橋系統(tǒng)的振動控制。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于ECTMD裝置的車橋系統(tǒng)非線性振動控制方法。首先介紹了一種非接觸式ECTMD裝置,對其工作原理進(jìn)行了分析。然后給出了一種車輛-索道橋耦合系統(tǒng)非線性分析方法用于評價(jià)ECTMD裝置在工程中的控制性能。為獲得最優(yōu)控制效果,提出了一種基于響應(yīng)面法的ECTMD裝置參數(shù)優(yōu)化方法。最后,以一個(gè)實(shí)際索道橋?yàn)槔?yàn)證了本文方法的有效性。

數(shù)值算例表明,線性設(shè)計(jì)下的ECTMD裝置對車輛-索道橋系統(tǒng)的振動控制效果較差,通過參數(shù)優(yōu)化得到的ECTMD裝置能有效地抑制非線性車橋系統(tǒng)振動。這些結(jié)果表明線性優(yōu)化方法不適用于非線性車橋系統(tǒng),本文所提出的ECTMD裝置和基于響應(yīng)面法的參數(shù)優(yōu)化方法能夠有效實(shí)現(xiàn)對車輛-索道橋系統(tǒng)的振動控制。