周 楊 (江蘇省南京市金陵中學(xué)龍湖分校 211500)

尺規(guī)作圖不僅是一種畫圖操作，更是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)探究的一種過程以及知法明理的追溯．對于尺規(guī)作圖題，有意滲透逆推的方法，用目標圖展開探索，引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀先預(yù)測，通過邏輯分析，再進行畫圖操作．通過作圖幫助學(xué)生打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

從各地中考的現(xiàn)實情況來看，尺規(guī)作圖的要求已經(jīng)悄然發(fā)生變化，不再是對作圖技法操作單一的考查，而是把作圖與計算、證明、分析、判斷等數(shù)學(xué)思維活動鏈接，實現(xiàn)思維實驗與動手實驗的合拍，邏輯推理與合情推理的牽手，可謂新意迭出、深意彰顯．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準(2011年版)》(下稱《課標》)要求：“對于尺規(guī)作圖，學(xué)生不僅要知道作圖的步驟，而且要能知道實施這些步驟的理由．”[1]尺規(guī)作圖考查了學(xué)生在有限條件下，通過幾何推導(dǎo)解決問題的能力．雖然《課標》已經(jīng)弱化尺規(guī)作圖，但是尺規(guī)作圖貫穿了知識的邏輯結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)了幾何的邏輯思維．且這與探究活動的目標是一致的，因此較適合作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中探究活動的內(nèi)容．

1 內(nèi)容解析

尺規(guī)作圖包含以下5種基本作圖，即作一條線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作一個角的平分線，作一條線段的垂直平分線，過一點作已知直線的垂線．由于尺規(guī)作圖只能利用直線和圓弧，不能利用刻度，因此本質(zhì)上是在限定條件下，依據(jù)已有的幾何性質(zhì)，通過對已知條件的推導(dǎo)，作出特定圖形或完成特定目標．尺規(guī)作圖作為解決幾何問題的輔助或證明手段，需要學(xué)生在已有的認知與操作經(jīng)驗的基礎(chǔ)上加以熟悉與掌握．

2 目標及目標解析

2.1 目標

本節(jié)課選自蘇科版八年級上冊期中復(fù)習(xí)課．教學(xué)目標是：(1)能夠掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)；(2)會將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖，發(fā)展合情推理與演繹推理能力；(3)通過尺規(guī)作圖梳理知識結(jié)構(gòu)，打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

2.2 目標解析

達成目標(1)的標志是：在經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過程中，掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)．

達成目標(2)的標志是：能夠根據(jù)已知條件畫出草圖，根據(jù)草圖分析，轉(zhuǎn)化為基本作圖，利用尺規(guī)規(guī)范作圖，而后再證明，經(jīng)歷由合情推理到演繹推理的思維過程，也是由幾何直觀到幾何推理的過程．

達成目標(3)的標志是：通過尺規(guī)作圖自然聯(lián)想條件與結(jié)論中所涉及的知識，根據(jù)相關(guān)的知識產(chǎn)生更多的尺規(guī)作圖的方法，進而回顧這些方法的共性，以打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，達到知識融會貫通的目的．

3 教學(xué)問題診斷

在尺規(guī)作圖的過程中，直尺的功能是作連接兩點之間的線段，或過兩點畫直線和射線；圓規(guī)的功能是用于畫圓或弧，或者截取一條線段等于已知線段．這種只限于用尺規(guī)作出符合一定條件的幾何圖形的要求，需要學(xué)生具有較強的數(shù)學(xué)思維能力和操作能力．《課標》對尺規(guī)作圖的教學(xué)提出如下要求：了解作圖的道理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法．就像證明要做到言必有據(jù)一樣，作圖也要做到有根有據(jù)，這種要求有助于發(fā)展學(xué)生的理性精神．尺規(guī)作圖是基于演繹推理的一種作圖方法，每種基本作圖都可以用幾何推理驗證其正確性，所以尺規(guī)作圖教學(xué)實為訓(xùn)練學(xué)生的邏輯思維．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點是能夠掌握基本作圖的步驟和作圖依據(jù)，會將復(fù)雜的作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖，發(fā)展合情推理與演繹推理能力；教學(xué)難點是通過尺規(guī)作圖梳理知識結(jié)構(gòu)，打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

4 教學(xué)過程設(shè)計

4.1 問題探究

如圖1，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的角平分線．

圖1 圖2 圖3

問題1描述你的作法，標注字母，并寫出這樣作圖的理由．

追問1 在作圖的過程中可以得到什么條件，你能根據(jù)得到的條件證明嗎？

追問2 由角平分線這個結(jié)論我們能想到什么？

追問3 你還能想到其他不同的作法嗎？

圖4 圖5 圖6

圖7 圖8

師生活動教師提出問題并引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生嘗試作圖后，發(fā)現(xiàn)作圖過程可以產(chǎn)生一些條件，而這些條件可以作為證明的已知條件，進而可以證明．教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生反過來想，由角平分線這個結(jié)論我們能想到什么，學(xué)生從角平分線的定義想到兩個角相等，基于已有的知識繼而想到全等三角形，構(gòu)造全等三角形；由角平分線的性質(zhì)想到角平分線上的點到角的兩邊距離相等，繼而想到構(gòu)造垂線；由角平分線的軸對稱性想到只要構(gòu)造軸對稱圖形．此時教師追問你還能想到哪些不同的作法，學(xué)生依照剛剛的想法，探究更多不同的作法(圖2～圖8)．最后教師引導(dǎo)學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生打通各個知識板塊的關(guān)聯(lián)．在引導(dǎo)學(xué)生思考期間，教師多次適時介入，讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展，讓學(xué)生的思維都能動起來．

設(shè)計意圖通過復(fù)習(xí)作一個角的角平分線這個基本作圖，掌握作角平分線的步驟與依據(jù)，理解作法的合理性，繼而引導(dǎo)學(xué)生用此方式思考其他基本作圖的步驟與依據(jù)．從角平分線定義、性質(zhì)、軸對稱性出發(fā)，自然聯(lián)想到構(gòu)造三角形結(jié)構(gòu)的想法，產(chǎn)生更多的作圖方法，達到知識的融匯貫通．

4.2 解決問題

如圖9，在△ABC中，∠C=90°，在AC邊上作一點D，使得點D到AB的距離等于點D到點C的距離(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)．

圖9

問題1你是怎么想到的？

追問1 由距離相等這個結(jié)論我們能想到什么？

追問2 你還能想到其他不同的作法嗎？

追問3 尺規(guī)作圖的一般步驟是什么？[2]

師生活動教師引導(dǎo)學(xué)生思考，根據(jù)結(jié)論距離相等能夠想到什么，學(xué)生很容易想到角平分線上的點到角的兩邊距離相等、垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等，而題目要求是點D到AB的距離等于點D到點C的距離，一個是點到線的距離，一個是點到點的距離.教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)化，學(xué)生根據(jù)∠C=90°想到點D到點C的距離就是點D到BC的距離(圖10)，從而解決問題．教師繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生思考，能不能把點到線的距離轉(zhuǎn)化為點到點的距離呢？學(xué)生想到要作一條線段的垂直平分線，繼而思考如何確定這條線段，根據(jù)已知條件想到點E在AB上，且BE=BC，如 圖11，從而解決問題．

圖10 圖11

設(shè)計意圖通過例題掌握解決較為復(fù)雜的尺規(guī)作圖問題，通過回顧作圖的過程歸納尺規(guī)作圖的一般步驟，以突破尺規(guī)作圖的難點，為后續(xù)將復(fù)雜的尺規(guī)作圖轉(zhuǎn)化為基本作圖積累活動經(jīng)驗．怎么想永遠比想得到重要得多，通過活動滲透解題教學(xué)的一般步驟：弄清問題，擬定計劃，執(zhí)行計劃，回顧．

4.3 回顧反思

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對尺規(guī)作圖有什么新的認識？

設(shè)計意圖通過小結(jié)回顧本節(jié)課的重難點，進一步掌握作圖的依據(jù)，理解尺規(guī)作圖步驟的合理性．通過尺規(guī)作圖梳理知識結(jié)構(gòu)，打通各個知識板塊之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)展邏輯思維能力．

5 教學(xué)反思

幾何是研究變中不變的科學(xué)．就是在變中尋找不變的東西，也就是定量把握定性刻畫，一個是在宏觀上把握方向性的問題，一個是在微觀上研究刻畫它的數(shù)量關(guān)系．尺規(guī)作圖有五種基本作圖，是基于五個基本事實，這五個基本事實就相當于幾何教學(xué)中的八個公理與定理，作圖時可以直接拿來用的．

5.1 預(yù)測推理，化解難點

作圖題是一個推理題，工具比較少，就相當于幾何證明的公理與定理一樣，可用的比較少．一個完整的尺規(guī)作圖的思維過程是已知—求證—分析—作法—證明—討論，而一個完整的幾何推理只有已知—求證—分析—證明．所以作圖題難度很大，對學(xué)生的思維要求非常高．那作圖題怎么教呢？如本節(jié)課作一個角的平分線，假設(shè)已經(jīng)作出來，在這樣的圖形中可以構(gòu)成什么樣的結(jié)構(gòu)？目前是角平分線，由此想到角平分線的定義、性質(zhì)、軸對稱性.那么如何確定這條線呢？根據(jù)公理“兩點確定一條直線”，還需要一個點，還可以想到什么？構(gòu)造全等三角形，也就是構(gòu)造形結(jié)構(gòu)，圍繞這個思路去想．道生一、一生二、二生三、三生萬物，這是最基本的數(shù)學(xué)理念．所以，在尺規(guī)作圖的作法探究中，教師可以讓學(xué)生根據(jù)已知畫出草圖，根據(jù)草圖分析畫法，利用尺規(guī)規(guī)范作圖，而后再證明，這就經(jīng)歷了由合情推理到演繹推理的思維過程，也是由幾何直觀到幾何推理的過程．

5.2 運用作圖，追根溯源

尺規(guī)作圖作為一種嚴謹?shù)淖鲌D方式，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的操作和思維能力，同時也是幾何證明不可或缺的步驟．一方面，作圖為幾何命題提供了直觀的圖形條件；另一方面，作圖有時也為證明提供了思路．尺規(guī)作圖有著嚴謹?shù)倪壿嬓裕虒W(xué)中要讓學(xué)生利用幾何原理解釋作圖步驟，在培養(yǎng)學(xué)生操作能力的同時，達到訓(xùn)練理性思維的目的．學(xué)生思考、作圖和證明的過程，正是《課標》所提倡的“經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程”，這一操作和推理活動，既有利于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，也有利于培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，促進學(xué)生形成獨立思考、主動探索、反思質(zhì)疑的良好思維品質(zhì)．在指向教師如何教的教學(xué)示范或建議中，均是以學(xué)生的先行獨立嘗試開路，洞察學(xué)情，以學(xué)定教．因此，本設(shè)計在設(shè)計教知識技能的同時更關(guān)注啟迪學(xué)生思維，運用作圖，追根溯源．

5.3 通透原理，彰顯深意

尺規(guī)作圖的教學(xué)不能僅停留在“作圖”這個層面，而要引導(dǎo)學(xué)生會作圖，還要弄清楚為什么這樣作、對應(yīng)了哪些知識、理由又是什么．筆者認為對于角平分線，學(xué)生可以從位置和數(shù)量兩個方面來理解，數(shù)量可以刻畫位置，位置因為數(shù)量更加的精確．學(xué)生先聯(lián)想，再理解，最后運用已有的經(jīng)驗和方法來解決問題．教師應(yīng)該嘗試著創(chuàng)建一個給學(xué)生自由理解的課堂，聯(lián)想所有的知識點和模型，再運用自已的知識和方法來解決問題這樣的套路．這節(jié)課啟發(fā)我們教師的“教”和學(xué)生的“學(xué)”都應(yīng)從一個點通過聯(lián)想打通數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的各個板塊之間的關(guān)聯(lián)，那么一道題就不僅僅是一道題，而是一節(jié)課，甚至是很多節(jié)課，這才是尺規(guī)作圖的教學(xué)價值所在．