吳琪

（中國鐵路設(shè)計集團有限公司 工程師，天津 300308）

0 引言

隨著人民生活水平提高，鐵路旅客出行需求的急劇上升，目前我國鐵路建設(shè)仍處于處于快速發(fā)展的時期，區(qū)域鐵路通道趨于完善：上海至南京、廣州至深圳、北京至天津等通道已經(jīng)實現(xiàn)三線并行，成都至重慶等通道正在建設(shè)推進中，高速鐵路與城際鐵路分擔(dān)了既有線上的一部分客流，既有線的運輸能力和運輸壓力進而得到釋放。鐵路通道客運產(chǎn)品在一定程度上反映了區(qū)域鐵路的運輸效益與服務(wù)水平，因此精準(zhǔn)把握不同設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)的線路功能定位，即優(yōu)化客運產(chǎn)品的設(shè)計不但能夠緩解出行需求增長帶來的壓力，而且可以最大化鐵路客運企業(yè)的效益。張擁軍[1-3]等人采用多目標(biāo)、多層級的整數(shù)規(guī)劃模型，來解決鐵路客運產(chǎn)品中高速列車的停站方案，通過組合數(shù)值的方法進行了模型求解。滕志民等人[4-9]基于實現(xiàn)鐵路運輸企業(yè)獲取最大效益的角度，深入探討各個利益相關(guān)方的關(guān)系，最后通過通道內(nèi)外的劃分方式對運輸產(chǎn)品效益分別進行了研究。

綜上所述，雖然國內(nèi)外學(xué)者對鐵路通道客運產(chǎn)品中例如列車開行種類、對數(shù)、頻率、區(qū)段、停站方案等研究較為豐富，但是對于同一區(qū)域鐵路通道并行的鐵路線，沒有較好地研究并行線間的客流分配問題。因此本文將區(qū)域鐵路通道線間客流分配作為研究重點，區(qū)分區(qū)域鐵路通道內(nèi)因設(shè)計運行速度、列車開行頻率、列車票價、旅客舒適度等方面的差異性所導(dǎo)致的功能定位，運用線間博弈模型，進一步探究鐵路運輸企業(yè)的最大化收益策略。

1 基于博弈論的區(qū)域鐵路通道線間客流分配模型

本文假定（1）區(qū)域鐵路通道既有線：區(qū)域鐵路通道既有線僅運行貨運列車，且不作為重點研究；（2）區(qū)域鐵路通道城際線：區(qū)域鐵路通道城際線僅運行旅客列車，不運行貨物列車；（3）區(qū)域鐵路通道高速線：高速旅客列車作為區(qū)域鐵路通道高速線上唯一運行的列車類。既有線、城際線以及高速線均分布在相同區(qū)域內(nèi)，線位假定基本平行。

1.1 區(qū)域鐵路通道旅客出行效用理論

1.1.1 旅客出行效用函數(shù)

旅客在產(chǎn)生出行需求時，不同旅客會對同一種運輸方式持有不同的考慮或態(tài)度，每個人也會根據(jù)各自偏好對票價和自身購買承受能力進行權(quán)衡比較，因此將對不同的運輸方式的認同度或滿意度有所不同，即為旅客出行效用[10-11]。在實際出行中，旅客通常選擇的出行方案是效用值最大的方案，對選擇行為進行量化，公式如式（1）[12]。

式中：Ums為旅客S使用運輸方式m的出行總效用；Vms為旅客S使用運輸方式m的效用固定項；εms為旅客S使用運輸方式m的效用概率項；θk為影響因素特征的參數(shù)；Xmnk為旅客S使用運輸方式m的影響因素向量；M為高速線和城際線兩種運輸方式的集合。

高速線與城際線的選擇概率模型公式如式（2）。

1.1.2 影響因素向量選擇

1.1.2.1 經(jīng)濟性Em

在同一區(qū)域鐵路通道內(nèi)，不同標(biāo)準(zhǔn)或等級的客運產(chǎn)品從經(jīng)濟性方面主要表現(xiàn)為客票價格的差異性，本文設(shè)定其經(jīng)濟性即為運行里程與運價率的乘積。其計算公式如式（3）。

式中：Em為選擇運輸方式m需要支付的效用；Rm為運輸方式m的運價率，通常即為每公里的效用；Lm為選擇運輸方式m的出行總距離。

1.1.2.2 速度性Fm

不同線路標(biāo)準(zhǔn)的設(shè)計行車速度不同，因此列車實際開行中的旅行速度和旅行時間均存在不同差異[13]。本文設(shè)定其速度性即為旅客出行中選乘運輸方式m所產(chǎn)生的時間價值效用，計算公式如式（4）。

式中：Fm為選擇運輸方式m產(chǎn)生的時間價值效用；Lm為選擇運輸方式m的運行里程；Tm為選擇運輸方式m產(chǎn)生的旅行時間；vm為運輸方式m的運行速度；VOT為通道內(nèi)的旅客出行時間價值。

結(jié)合文獻資料[11]并參照生產(chǎn)法，鐵路通道內(nèi)旅客出行的時間價值計算公式如式（5）。

式中：VOT（i，j）為車站i至車站j的時間價值；Ni、Nj為地方i、地方j(luò)的人均國民產(chǎn)生總值；H為法定節(jié)假日天數(shù)；t為每人一天平均工作時間。

1.1.2.3 舒適度Cm

旅客舒適度即為旅客在出行途中所體驗的舒適程度，對于技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)不同的線路來講，舒適度的差異主要表現(xiàn)在旅客乘車途中感受疲勞程度的不同[14]。一般情況下，乘坐同一交通工具的旅行時間越長，旅客感受到的疲勞值越大，舒適度相應(yīng)越低，反之亦然。因此，計算旅客舒適度公式如式（6）和（7）。

式中：Cm為選擇運輸方式m的舒適度；TCm為旅客疲勞恢復(fù)時間；αm、βm、c為舒適度的參數(shù)；I為最長恢復(fù)時間；Tm為選擇運輸方式m產(chǎn)生的旅行時間。

1.1.2.4 服務(wù)頻率fm

通道內(nèi)線路的服務(wù)頻率即為開行旅客列車的平均發(fā)車間隔的倒數(shù)，公式如式（8）。

式中：fm為運輸方式m的服務(wù)頻率；△Tm為運輸方式m的平均發(fā)車間隔。

綜合上述各因素，對旅客出行的效用函數(shù)進行優(yōu)化細化，公式如式（9）。

式中：Ums為旅客S選擇運輸方式m的出行總費用；θ0s為旅客S對運輸方式m的偏好參數(shù)；θns(n=0,1,2,3,4)為運輸方式m的特征參數(shù)，可通過軟件SPSS中的多項Logistic估算特征參數(shù)；Ems為運輸方式m的經(jīng)濟性指標(biāo)；Fms為運輸方式m的速度性指標(biāo)；Cms為運輸方式m的舒適性指標(biāo)；εms為旅客使用運輸方式m的效用概率項。

此時，通道內(nèi)高速線與城際線的客運分擔(dān)率為公式（10）。

式中：MPms為旅客S選擇運輸方式m出行的概率；Ums為旅客S選擇運輸方式m出行所產(chǎn)生的費用。

1.2 基于博弈論的區(qū)域鐵路通道線間客流分配模型

1.2.1 博弈模型的假設(shè)

為簡化計算流程，在對研究結(jié)果不產(chǎn)生干擾和影響的前提下，突出主要問題與模型關(guān)鍵影響因素間的關(guān)系，故作假設(shè)如下：

1）區(qū)域鐵路通道已經(jīng)實現(xiàn)三線并行，且既有線僅運行貨運列車。

2）博弈中，單一旅客的出行偏好始終保持不變，對旅客年齡、性別及職業(yè)等因素不做過多考慮。

3）僅將經(jīng)濟性、舒適性、速度性、運輸服務(wù)頻率作為影響運量的主要因素。

4）各線不存在票價浮動或臨時打折活動，且定價不考慮受國家政策調(diào)控影響。

5）通道內(nèi)高速線與城際線的運輸能力能夠充分滿足旅客運量需求。

6）通道內(nèi)高速線與城際線運行列車座位的數(shù)量、席別、比例相同，商務(wù)座暫不考慮。

1.2.2 合作博弈模型的建立

高速線和城際線間的博弈，實際目標(biāo)是為了實現(xiàn)鐵路運輸企業(yè)收益的最大化。結(jié)合上述內(nèi)容，通過對客票價格實施調(diào)整，研究其與客量的多種策略組合，實現(xiàn)雙方的最大效益[9-10]。運用區(qū)域通道的整體運輸合作收益、運輸成本以及運量等函數(shù)，搭建通道內(nèi)線間客流分配模型，為后期鐵路客運產(chǎn)品設(shè)計及其他區(qū)域通道內(nèi)的鐵路建設(shè)提供參考借鑒。

1.2.2.1 區(qū)域通道客運合作收益函數(shù)

區(qū)域通道客運合作收益函數(shù)包括運輸價格、成本以及客運收入等主要部分，公式如式（11）和（12）。

式中：u總為高速線與城際線的收益總和；um為選擇單一運輸方式m的收益；為n次博弈后，車站i至車站j間的總運量；Tijm為選擇運輸方式m由車站i至車站j的旅行時間；fijm為運輸方式m在車站i至車站j的服務(wù)頻率；Pijms為運輸方式m由車站i至車站j所產(chǎn)生的旅行費用；Cm為運輸方式m所產(chǎn)生的運輸成本。

1.2.2.2 客流量函數(shù)

結(jié)合上述研究可知，以調(diào)整票價的方式獲取通道整體最大收益時，高速線和城際線能夠吸引并轉(zhuǎn)移一部分計劃選乘其他交通工具出行的客流，主要來自公轉(zhuǎn)鐵或搭乘民航的客流，因此鐵路客運的需求攀升，整個通道的鐵路運量發(fā)生增長。誘增客流的發(fā)生在受交通工具自身條件優(yōu)劣影響的同時，也會受旅客的對于出行成本、支付能力、偏好心理等因素的影響。綜上，通過引力模型計算運量吸引率，公式如式（13）。

式中：Qij為車站i至車站j的運量；MiMj為車站i至車站j的客流吸引因素；β為模型參數(shù)，取

對通道內(nèi)高速線與城際線來講，在同一時間里是非變量，票價調(diào)整后吸引率η符合公式（14）。

由此得出誘發(fā)量δ公式（15）。

因此，客流量函數(shù)公式如式（16）。

式中：Uij為車站i至車站j的出行費用；DS(i,j）為地方i與地方j(luò)的經(jīng)濟社會發(fā)展情況（如人口規(guī)模、消費水平等）；為運輸條件變化前后的出行效用；c、α、β為模型參數(shù)，在0-1區(qū)間取值。

將高速線與城際線預(yù)測運量作為原始數(shù)據(jù)，運用分擔(dān)模型得到各自的運量，公式如式（17）。

式中：為n-1次博弈后，區(qū)間總運量；為n次博弈后，旅客選擇運輸方式m的出行費用；β為模型參數(shù)。

n次博弈后，各運輸方式運量公式如式（18）。

式中：為運輸方式m在n次博弈后的運量；為客運分擔(dān)率。

1.2.2.3 成本函數(shù)

鑒于高速線、城際線同屬鐵路運輸，因此設(shè)定固定成本與基礎(chǔ)成本之和均為兩線運輸方式的運輸成本，固定成本主要由列車運行的設(shè)施設(shè)備等方面費用組成，基礎(chǔ)成本主要是由單位能耗費用組成，公式如式（19）。

式中：FCm為選擇運輸方式m的固定成本；ACijm為選擇運輸方式m的區(qū)間單位平均成本；dih為車站i至車站h的距離；dhj為車站h至車站j的距離。

1.2.2.4 合作博弈模型

同競爭博弈模型相似，票價作為主要影響因素，在每一次博弈后，均產(chǎn)生一個收益及雙方收益總和，關(guān)系公式如式（20）。

最后，通過啟發(fā)式算法得到總收益usum的最大值，此時滿足式（21）。

1.2.3 競爭博弈模型的建立

目前，我國鐵路運營由國鐵集團負責(zé)統(tǒng)一管理，隨著地方政府對區(qū)域鐵路運營的積極性和主動性愈加強烈，成立新的運輸企業(yè)或運營公司，將在區(qū)域鐵路通道內(nèi)出現(xiàn)不同標(biāo)準(zhǔn)等級和功能定位的線路間開展競爭博弈的局面。本文建模中假設(shè)前提不考慮因票價浮動產(chǎn)生的公轉(zhuǎn)鐵、航轉(zhuǎn)鐵現(xiàn)象，即在競爭中形成零和博弈。因此，在建立模型中引入高速線與城際線的收入函數(shù)、客運量函數(shù)和成本函數(shù)，形成兩線競爭博弈模型。

1.2.3.1 客運競爭收益函數(shù)

區(qū)域鐵路通道內(nèi)的客運競爭收益函數(shù)由運輸價格、運輸成本及收入構(gòu)成，公式如式（22）。

式中：um為運輸方式m的收益；為n次博弈后，從車站i至車站j的總運量；Tijm為運輸方式m的區(qū)間旅行時間；fijm為運輸方式的區(qū)間服務(wù)頻率；Pijms為運輸方式m的旅行費用；Cm為運輸方式m所產(chǎn)生的運輸成本。

1.2.3.2客流量函數(shù)

因總運量在零和博弈中保持不變，即上述預(yù)測總運量，得到高速線和城際線運量公式如式（23）。

式中：為n-1次博弈后，車站i至車站j的運量；η為客流吸引率；為n次博弈后，車站i至車站j的旅客出行效用；β為模型參數(shù)。

在通過n次博弈之后，高速線與城際線的運量計算公式如式（24）。

式中：為運輸方式m在n次博弈后的運量；為運輸方式m在n次博弈后的客運分擔(dān)率。

1.2.3.3 競爭博弈模型

前文已假定票價為線間客流的唯一影響因素，且運量Qm與出行效用Pm的互為函數(shù)關(guān)系，競爭收益函數(shù)um與出行效用Pm的同為函數(shù)關(guān)系，因此，在高速線和城際線的競爭中，出行效用Pm的改變將產(chǎn)生新的運量Qm，進而產(chǎn)生新的競爭收益um，關(guān)系公式如式（25）。

假設(shè)與作為最優(yōu)方案下的納什均衡票價，如下。

令上式對Pd和Ph求偏導(dǎo)數(shù)為0，如式（28）和（29）。

2 基于啟發(fā)式算法的線間客流分配模型求解

2.1 合作博弈模型求解

高速線與城際線在通道內(nèi)通過合作而獲得的最大收益就是合作博弈下的最優(yōu)解，模型求解條件公式如式（30）。

式中：umax為高速線和城際線的最大收入；u為單方最大收入與該策略下的另一方收入和；為運輸方式m在t次博弈后的最優(yōu)票價；為高速線的區(qū)間票價取值；為城際線的區(qū)間票價取值。

將高速線和城際線的合作博弈分成三步。

步驟一：根據(jù)實際情況，對兩線客運量、票價、基礎(chǔ)參數(shù)等進行初始化賦值。

步驟二：結(jié)合高速線與城際線的客流量與票價范圍取值，依次進行迭代，不斷調(diào)整雙方票價，并按照當(dāng)前票價下的區(qū)域鐵路通道兩線總體收益判定是否進一步迭代。若票價改變后兩線的總收益不低于上一次收益的數(shù)據(jù)，便對初始值賦予改變后的運量、票價、收益等數(shù)據(jù)，同時不斷進行迭代至最大迭代次數(shù)，或不再出現(xiàn)更高的收益數(shù)值時即可終止。

步驟三：迭代終止后輸出最優(yōu)解，即兩線最大收益值。對比競爭博弈模型下的最優(yōu)解，分析區(qū)域鐵路通道高速線與城際線在合作與競爭博弈中，鐵路運輸企業(yè)或客運部門如何決策才能實現(xiàn)效益的最大化目標(biāo)。

2.2 競爭博弈模型的求解

建立兩線的競爭博弈模型，進行納什均衡計算求解，直到博弈雙方的策略均為最優(yōu)。求解競爭博弈模型條件公式如式（31）。

式中：為最優(yōu)均衡收入；為t次博弈后的均衡收入；為運輸方式m的均衡票價；為t次博弈后，運輸方式m的均衡票價；為高速線的區(qū)間票價取值；為城際線的區(qū)間票價取值。

納什定理指出，凡是有限次的博弈就至少存在一個納什均衡，因此該競爭博弈模型必然存在納什均衡解，將高速線與城際線的競爭博弈分成三步。

步驟一：根據(jù)實際情況，對兩線客運量、票價、基礎(chǔ)參數(shù)等進行初始化賦值。

步驟二：結(jié)合高速線與城際線的客流量與票價范圍取值，依次進行迭代，不斷調(diào)整雙方票價，并按照當(dāng)前票價下的各線收益判定是否進一步迭代。若票價改變后單一線路的收益不低于上一次收益的數(shù)據(jù)，便對初始值賦予改變后的運量、票價、收益等數(shù)據(jù)，同時不斷進行迭代至達成納什均衡時終止。

步驟三：迭代終止后輸出納什均衡解，即輸出兩線最優(yōu)的運量、票價、收益、分擔(dān)率等數(shù)值。

3 實例分析

3.1 膠濟通道各線路概況分析

膠濟鐵路通道是貫穿齊魯?shù)倪\輸“大動脈”，銜接山東省內(nèi)兩座主要城市濟南和青島，是山東半島與省內(nèi)乃至全國各地實現(xiàn)客貨運輸快速交流的干線通道，同時也是濟南局集團公司最為重要的“黃金通道”。如今，膠濟通道上的膠濟鐵路、膠濟客運專線、濟青高鐵已實現(xiàn) “三線并行”，2019年（2020年受疫情影響，數(shù)據(jù)不具代表性）通道內(nèi)旅客發(fā)送量約為7 404萬人、貨運量約為1.15億t，分別占到濟南局集團公司總量的46.1%和23.9%。

3.2 基于博弈論的膠濟通道線間客流分配

3.2.1 旅客出行效用及參數(shù)計算

旅客出行效用參數(shù)θns(n=0,1,2,3,4)即代表旅客在對出行行為做出選擇時，各相關(guān)因素指標(biāo)對其影響程度大小。本次研究參照膠濟通道現(xiàn)有數(shù)據(jù)資料同時結(jié)合其運營情況，采取專家打分法對參數(shù)θns開展評估。通過計算梳理本線與跨線旅客，得到參數(shù)θns的取值見表1所示。

表1 膠濟通道旅客出行效用參數(shù)

各指標(biāo)及參數(shù)明確后，整理濟青高鐵與膠濟客專的各有關(guān)數(shù)據(jù)，導(dǎo)入出行效用公式，即可得出膠濟通道內(nèi)本線旅客與跨線旅客的效用值，見表2所示。

表2 膠濟通道旅客出行效用

3.2.2 博弈計算結(jié)果與分析

在輸入本線與跨線旅客初始預(yù)測運量后，觸發(fā)“計算線間博弈”開始對票價區(qū)間范圍內(nèi)的所有指標(biāo)進行計算。競爭博弈同合作博弈的軟件操作界面基本一致，因此僅對合作博弈界面展示如圖1所示。

圖1 計算界面（數(shù)據(jù)為計算中的隨機數(shù)據(jù)）

觸發(fā)“保存到Excel”，可將博弈計算過程及結(jié)果自動存儲至Excel表格中，自動標(biāo)注最大收益項。

根據(jù)區(qū)域鐵路通道線間博弈系統(tǒng)計算得到合作與競爭博弈后結(jié)果數(shù)據(jù)，如表3所示。

表3 博弈前后的各項指標(biāo)計算結(jié)果

由表3可得，通過競爭博弈，濟青高鐵與膠濟客專的列車最優(yōu)票價分別為125.6元和206.7元，濟青高鐵和膠濟客專的總收益為426 491萬元，提高3.09%。其中，濟青高鐵的收益273 789萬元，上漲2.15%；膠濟客專的收益152 702萬元，上漲4.78%。

通過合作博弈，濟青高鐵與膠濟客專的列車最優(yōu)票價分別為148.8元和225.6元，濟青高鐵和膠濟客專的總收益為445 139萬元，提高7.15%。其中，濟青高鐵的收益304 613萬元，上漲12.05%；膠濟客專的收益140 526萬元，下浮3.35%。

通過上述分析得到如下結(jié)論：

1）經(jīng)過合作博弈和競爭博弈的驗證可知，整個通道的收益均能實現(xiàn)增長，并且合作博弈獲得到的效益高于競爭博弈所得，漲幅較博弈前是顯著的。因此，在某一區(qū)域的鐵路通道內(nèi)若存在多線并行運營的情況下，高速線與城際線間推薦以合作博弈的方式有序運營、共享收益，有助于更好地提升運輸企業(yè)的服務(wù)質(zhì)量和經(jīng)濟效益。

2）目前山東省鐵路網(wǎng)在濟南和青島間形成濟青高鐵、膠濟客專和既有膠濟鐵路并存的“客貨分離六線”運輸格局，分工合理，各施其能。既有膠濟鐵路承擔(dān)著通道內(nèi)的貨運功能，膠濟客專以滿足濟南至青島間的城際客流需求為主，濟青高鐵則以速度和時間優(yōu)勢承擔(dān)區(qū)域?qū)ν饪土鹘粨Q功能，滿足中長途旅客出行需求，實現(xiàn)了膠濟通道內(nèi)運力運能的優(yōu)化配置，助力區(qū)域經(jīng)濟社會的高質(zhì)量發(fā)展。

4 結(jié)語

利用博弈論解決區(qū)域鐵路通道線間客流分配方法，旨在通過競爭或者協(xié)同發(fā)展的模式最大化鐵路客運企業(yè)的經(jīng)濟效益。首先在充分分析國內(nèi)外研究現(xiàn)狀基礎(chǔ)上，定義了本文研究的鐵路客運產(chǎn)品設(shè)計為區(qū)域鐵路通道線間客流分配，其次闡述了區(qū)域鐵路通道旅客出行效用理論，并建立了基于博弈論的區(qū)域鐵路通道線間客流分配模型，再次利用啟發(fā)式算法對區(qū)域鐵路通道線間客流分配模型進行求解，最后以膠濟通道為例，借助C#2010程序語言設(shè)計研發(fā)了區(qū)域鐵路通道線間博弈系統(tǒng)，自動計算并導(dǎo)出區(qū)域鐵路通道競爭及協(xié)同發(fā)展模式下的各項客運收益指標(biāo)，進而定量地確定了區(qū)域鐵路通道不同線間的功能定位，為其他區(qū)域鐵路通道建設(shè)提供較好的參考價值。