黃愛梅

(福建船政交通職業(yè)學院，福建 福州 350000)

0 引言

在工程與物理領域中，偏微分方程是最為重要的數(shù)學模型，解決了彈性力學、時間相關問題、流體力學和積分方程等方面的科學問題[1]。多重網格法是求解偏微分方程數(shù)值解的有效方法之一，具有收斂速度快和計算工作量少等優(yōu)點[2]。然而，多重網格法并不適用于求解橢圓界面問題，無法準確求解界面差分格式的離散方程，需結合曲面信息和跳躍條件構建插值算子進行求解[3,4]。在求解偏微分方程時，通過插值算子處理，擬補了傳統(tǒng)有限差分法求解的矩陣大型、稀疏、病態(tài)等缺陷[5]。此外，許多數(shù)學家根據不同的插值和限制算子衍生出多種不同形式的瀑布型多重網格法(CMG)來解決橢圓方程的數(shù)值問題[6,7]。例如，賈學良等采用次插值作為插值延拓算子構建了新的瀑布型多重網格法，在容許誤差精度能準確求出橢圓界面數(shù)值[8]?？紤]到一個好的插值算子能為細層提供較好的初始值，進而可以減少磨光迭代步數(shù)[9]。本文采用牛頓二次插值代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線性插值，構造了一種新瀑布型多重網格法，并給出數(shù)值算例驗證算法的有效性。

1 橢圓模型問題的傳統(tǒng)解法與新型

1.1橢圓型問題的差分離散

考慮如下一維橢圓型問題

(1)

其中p(x)∈C1[a，b]；r(x)；p(x)≥pmin>0，q(x)≥0。α和β為給定的常數(shù)。

首先將求解區(qū)間[a，b]進行剖分，為簡單起見，將區(qū)間[a，b]分成N等份，分點為xi=a+ih(i=0，1，…，N)，h=(b-a)/N，xi稱為網點(或結點、節(jié)點)，h稱為步長。然后將微分方程(1)在網點xi處離散化。設xi(i=0，1，…，N-1)是任一內結點。在點xi處，對充分光滑的函數(shù)u，根據精度為o(h2)的中心拆分公式有[10]

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

將式(3)-(6)代入式(1)式中，即得二階精度的差分方程

(7)

邊值條件對應的差分方程為

u0=α，uN=β

(8)

將式(7)和式(8)寫成如下矩陣形式

Au=g

(9)

其中

(10)

其中g=(g1+α1α，g2，…gN-2，gN-1+cN-1β)T；u=(u1，u2，…，uN-1)T；

可以驗證，當h充分小時，關系式|bi|≥|ai|+|ci|，i=2，…，N-2，|b1|>|c1|，|bN-1|>|aN-1|成立，也即矩陣A具有嚴格對角占優(yōu)性。實際上后兩式顯然成立，對第一式，注意h充分小及p(x)≥pmin，必有

因此A是非奇異矩陣，差分方程(9)有唯一解。

1.2瀑布型多重網格法

多重網格法也稱為多格子方法，是目前應用于大型科學計算的一類有效的、新穎的計算方法，它在理論上是最優(yōu)階的方法，近年來由于大型計算機的迅速發(fā)展和功能的日趨完善，從而使得多格子方法作為最優(yōu)階的算法從理論變?yōu)楝F(xiàn)實，使得許多生產實踐中的實際問題，尤其是求解橢圓型方程邊值問題，其優(yōu)點在于不要求粗網格校正和限制算子。

Aiui=Fi，i=1，2，…，H

(11)

(12)

可以看到，網格層從ZH到Z1，只用了插值與迭代，沒有限制，校正及后磨光，程序比較簡單，并且總的工作量只有O(n)。

1.3新瀑布型兩層網格法

瀑布型多重網格法的思想是將粗層上的解逐層插值、磨光，直至最細網格層為止，為了減少中間網格上的計算量，本文采用步長為4h和h，離散問題(1)，形成粗細兩層網格，而不需要生成步長為2h的中間網格，然后再將粗網上的解插值到細層，提出了瀑布型兩層網格法。

采用一種有效的插值算子，給出細層上一個較好的初始值，進而減少磨光迭代步數(shù)，可以加快瀑布型多重網格法的收斂速度。由于通常線性插值效果一般，導致采用線性插值的瀑布型多重網格法的計算精度一般，為了提高計算精度，本文引入牛頓二次插值作為插值算子，構造了一種新的瀑布型兩層網格法。

1.3.1牛頓二次插值算子的構造方法

在討論牛頓插值公式之前，先介紹與之相關的差商的概念及其性質。

設已知x0，x1，x2及f(xi)=yi，i=0，1，2，f(x)在xi點的零階差商f[xi]記為

f[xi]=f(xi)

(13)

f(x)在x0，x1兩點的一階差商f[x0，x1]記為

f(x)在x0，x1，x2三點處的二階差商f[x0，x1，x2]記為

利用差商，來構造牛頓二次插值公式。

f(x)=f[x]=f(x0)+(x-x0)f[x，x0]

f[x，x0]=f[x0，x1]+(x-x1)f[x，x0，x1]

依次類推，有

f[x，x0，x1]=f[x0，x1，x2]+(x-x2)f[x，x0，x1，x2]

從而有

(14)

將(14)式中后一式代入前一式便有

f(x)=f[x0]+(x-x0)f[x0，x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0，x1，x2]

牛頓二次插值公式為

N2(x)=f[x0]+(x-x0)f[x0，x1]+(x-x0)(x-x1)f[x0，x1，x2]，

即

把x0，x1，x2及f(xi)=yi，j=0，1，2代入上式得

(15)

所以，式(15)即為牛頓二次插值公式。

1.3.2新瀑布型兩層網格法

2 數(shù)值實驗

為了驗證本文算法的有效性與準確性，分別采用如下兩個算例進行分析。對以下的兩個算例，均采用中心差分離散，光滑算子為CG迭代，迭代終止條件為‖uk-uk-1‖<10-6，其中k為迭代步，“迭代步”欄中為最細層的迭代步數(shù)，“能量誤差E”為采用不同的插值算子的瀑布型多重網格法得到的數(shù)值解與問題的真解的能量誤差。

算例1.-u″(x)+u(x)=f，x∈[0,1]，u(0)=u(1)=0。

其中f=(-4x-2)ex-x2+2，真解u=x2(ex-1)

如表1所示，算例1在進行迭代步數(shù)6和構建8192個粗層點數(shù)與32767個細層點數(shù)后迭代終止。牛頓二次插值的能量誤差均小于線性插值的能量誤差，且迭代步數(shù)也相對少，節(jié)省了運算的時間。

表1 采用不同的插值算子的瀑布型兩層網格法對算例1的數(shù)值結果

算例2.-u″(x)+u(x)=f，x∈[0,1]，u(0)=u(1)=0。

其中f=(-2+2x2)sinx-4xcosx-x2+2，真解u=x2(sinx-1)。

從表2可以看出，實驗結果與算例1類似，對于瀑布型二層網格法，采用牛頓二次插值作為插值算子比線性插值的效果要好一些，甚至能量誤差相差一個數(shù)量級且無限接近問題的真解，充分說明了牛頓二次插值的瀑布型二層算法具有計算精度高，迭代步數(shù)少的優(yōu)點，因此，本文設計的新瀑布型兩層網格法，進一步豐富了求解一維橢圓型問題數(shù)值算法。

表2 采用不同的插值算子的瀑布型兩層網格法對算例2的數(shù)值結果

3 結論

對于一維橢圓問題的離散方程組，通過比較牛頓二次插值和線性插值作為插值算子運算過程構建了瀑布型二層網格法。在相同的參數(shù)限制條件下，基于牛頓二次插值算子的瀑布型二層網格法具有更低的能量誤差，即算法的精度更高。