周群益,莫云飛,周麗麗,侯兆陽
(1.廣州理工學院通識教育學院,廣東 廣州 510540;2.長沙學院電子信息與電氣工程學院,湖南 長沙 410022;3.贛南醫(yī)學院醫(yī)學信息工程學院,江西 贛州 341000;4.長安大學理學院,陜西 西安 710064)
亥姆霍茲線圈是由兩個半徑相同、電流大小和方向相同的共軸圓環(huán)組成,不少文獻研究了亥姆霍茲線圈均勻磁場區(qū)域的問題。環(huán)電流磁場的計算涉及兩類完全橢圓積分,早期的學者通過橢圓積分表手工計算兩類橢圓積分,效率低、精度差[1-4]。后來有學者利用電子計算機計算,效率和精度有所提高,還能畫出曲線圖[5-6]。近年來,有學者利用Mathematica計算兩類完全橢圓積分,并繪制曲線和曲面,效率和精度大大提高[7-11]。也有一些學者利用MATLAB計算兩類完全橢圓積分,并繪制曲線和曲面,效果也不錯[12-14]。有的學者設(shè)計了Mathematica和MATLAB的程序,繪制了均勻區(qū)域圖[15-18]。不過,這些學者沒有將公式無量綱化,畫出的圖形不夠規(guī)范。莫云飛等用MATLAB精確地繪制了亥姆霍茲線圈的均勻區(qū)域,但是還不夠系統(tǒng)和全面[19]。文章畫出了亥姆霍茲線圈在臨界條件下磁感應(yīng)強度分量和合磁場以及方向曲面,增加磁感應(yīng)線說明了兩環(huán)之間的距離對均勻區(qū)域大小和形狀的影響。文后附有兩個主程序和函數(shù)文件,其中主程序用參數(shù)調(diào)用函數(shù)文件,第一個函數(shù)文件說明了磁感應(yīng)強度分量與合磁場以及方向曲面的畫法,第二個函數(shù)文件說明了磁感應(yīng)線和均勻區(qū)域的畫法。這兩個函數(shù)文件使用了一定的編程技巧,有一定的參考價值。
如圖1所示,取x軸為縱軸,z軸為橫軸,兩環(huán)共z軸。設(shè)兩個圓環(huán)的半徑為a,通有同方向的電流I,兩環(huán)之間的距離為2L。
圖1 亥姆霍茲線圈
如果將左環(huán)或右環(huán)移到原點,環(huán)電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度的兩個分量分別為[20-22]:
其中k稱為模數(shù),其平方為:
K(k)、E(k)分別為第一類完全橢圓積分和第二類完全橢圓積分:
當x= 0時,必 有k= 0。而K(0)= E(0)= π/2。對式(1a)的第一個等式求x→0時的極限,可得:
對式(1b)的第一個等式求x→0時極限,可得:
這是軸線上的磁感應(yīng)強度,與電磁學教材中的公式相同。當z= 0時,可得:
這是環(huán)心處的磁感應(yīng)強度,用B0表示。
將式(1a)(1b)中的z換為z-L,即可得右環(huán)O1產(chǎn)生的磁場的兩個分量B1x(x,z)和B1z(x,z);將式(1a)(1b)中的z換為z+L,即可得左環(huán)O2產(chǎn)生的磁場的兩個分量B2x(x,z)和B2z(x,z)。兩個線圈產(chǎn)生的合磁場的兩個分量在左右兩環(huán)產(chǎn)生的分量之和分別為Bx(x,z)和Bz(x,z),由此可以計算合磁場的大小和方向。
當z= 0時,可得原點的磁感應(yīng)強度:
這是一個鞍點,其磁感應(yīng)強度用BS表示。
在z= 0處,令,可得a2= 4L2,所以2L=a,這是臨界距離。z= 0處的臨界磁場為:
取半徑a為長度單位,則無量綱的坐標和長度為:
取B0=μ0I/2a為磁感應(yīng)強度單位,即可將磁感應(yīng)強度的公式無量綱化。注意,L*是可調(diào)節(jié)的參數(shù),當L*= 1/2時,它就是臨界無量綱距離。
根據(jù)磁感應(yīng)強度的無量綱公式,利用ellipke函數(shù)可以計算橢圓積分,利用surf指令可以繪制曲面(見附錄1)[23]49-52。
(1)亥姆霍茲線圈的臨界磁感應(yīng)強度的z分量Bz的曲面如圖2所示,點(±a,±L)是奇點,表示環(huán)所在的位置,奇點處出現(xiàn)4個“背靠背的峰”和4個“面對面的谷”。
圖2 臨界磁感應(yīng)強度z分量的分布面
(2)磁感應(yīng)強度的x分量Bx的曲面如圖3所示,奇點處出現(xiàn)4個“面朝背的峰”和4個“面朝背的谷”。
圖3 臨界磁感應(yīng)強度x分量的分布面
(3)合磁場B的曲面如圖4所示,中心處比較平坦,說明此處接近于勻強磁場,圓環(huán)處是4個很高的峰,外面磁場比較弱。
圖4 臨界合磁場的分布面
(4)合磁場B的方向角α的曲面如圖5所示,在x= 0的z軸上,α= 0;在兩環(huán)之間,α隨著極角θ的增加變化較小,說明磁場比較均勻;在兩環(huán)之外,α隨著θ的增加而增加;當θ取某些值的時候,α發(fā)生從π到-π的躍變。
圖5 臨界合磁場方向的分布面
利用三維等高線指令contour3可畫等值線,利用流線指令streamline可以繪制磁感應(yīng)線(見附錄2)[23]。
取|B–BS| ≤ 0.01BS為線圈的均勻范圍,即0.99BS≤B≤ 1.01BS。
(1)當L=LC= 0.5a時,亥姆霍茲線圈臨界截面和磁場的均勻區(qū)域以及磁感應(yīng)線如圖6所示。兩個電流從下面流入,從上面流出。磁感應(yīng)線在原點附近是平行的,因而是勻強磁場。磁場BS=BC= 1.431 1B0的等值線恰好經(jīng)過原點并包圍4個電流;B= 1.01BC的4條等值線分別包圍了4個電流,4條曲線并不連接;B= 0.99BC的等值線是一條曲線,同時包圍了4個電流,曲線如同“X”形狀。B= 1.01BC的等值線與B= 0.99BC的等值線之間的區(qū)域就是線圈臨界磁場的均勻范圍。均勻區(qū)域呈現(xiàn)“八爪”形狀,一對“爪”包圍一個電流。
圖6 臨界磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線(L=0.5a)
(2)當L=0.45a時,兩環(huán)距離比較近,線圈磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線如圖7所示。鞍點磁場增加為BS=1.516 7B0,磁場的均勻范圍左右收縮而上下拉長。B=BS的左右曲線經(jīng)過原點,B=1.01BS的等值線與B=0.99BS的等值線分別向上下移動而不經(jīng)過原點,均勻區(qū)域仍然呈現(xiàn)“八爪”形狀,范圍稍微縮小。
圖7 磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線(L=0.45a)
(3)當L=0.4a時,兩環(huán)距離更加小,磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線如圖8所示。鞍點磁場增加為BS=1.600 8B0,B=1.01BS的曲線合并成上下兩條曲線,分別包圍上面兩個電流和下面兩個電流,上下各有一個小小的均勻區(qū)域,中間均勻區(qū)域呈“四爪”形狀,上下一對“爪”分別包圍上下兩個電流。雖然鞍點的磁場增強了,但是均勻區(qū)域變得更小了。如果距離繼續(xù)變小,磁場均勻區(qū)域會變得更小而形狀不變(圖略)。
圖8 磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線(L=0.4a)
(4)當L=0.55a時,兩環(huán)距離比較大,線圈磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線如圖9所示。鞍點磁場減小為BS=1.3454B0,磁場的均勻范圍上下收縮而左右拉長。B=BS的上下曲線經(jīng)過原點,但是左右部分曲線分別向左右移動而不經(jīng)過原點,均勻區(qū)域仍然呈現(xiàn)“八爪”形狀,范圍稍微縮小。
圖9 磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線(L=0.55a)
(5)當L=0.6a時,兩環(huán)距離更大,磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線如圖10所示。鞍點磁場減小為BS=1.261B0,B=1.01BS的曲線合并成右邊兩條曲線,分別包圍左邊兩個電流和右邊兩個電流,左右各有一個小小的均勻區(qū)域,中間均勻區(qū)域呈“四爪”形狀,左右一對“爪”分別包圍左右兩個電流。鞍點的磁場減弱了,均勻區(qū)域也變得更小了。如果距離繼續(xù)變大,磁場均勻區(qū)域會變得更小而形狀不變(圖略)。
圖10 磁場的均勻范圍和磁感應(yīng)線(L= 0.6a)
文章說明了亥姆霍茲線圈在直角坐標系中磁感應(yīng)強度的解析式,將公式無量綱化,繪制出了亥姆霍茲線圈磁場的分量和合磁場的分布曲面。文章精確地繪制了亥姆霍茲線圈均勻磁場的分布范圍和磁感應(yīng)強度分布線,說明了兩環(huán)之間的距離對均勻范圍的影響。為了提高讀者應(yīng)用MATLAB解決問題的能力,文章附錄提供兩個完整的主程序和函數(shù)文件供讀者參考。
附錄1
ring2B1main.m
%亥姆霍茲線圈磁場的主程序
clear,l=0.5;%清除變量,距離
ring2B1fun(l)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B1fun(0.25)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B1fun(1)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B1fun.m
%亥姆霍茲線圈的磁場的函數(shù)文件
function fun(l)
rm=2;r=linspace(-rm,rm,40);%最大坐標,坐標向量(繞過奇點)
[X,Z]=meshgrid(r);R1=sqrt((Z-l).^2+(abs(X)+1).^2);%坐標矩陣,最大距離
KK1=4*abs(X)./R1.^2;[K1,E1]=ellipke(KK1);%模數(shù),兩個完全橢圓積分
Bx1=((1+X.^2+(Z-l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z-l).^2).*E1-K1).*(Z-l)./X/pi./R1;%B的x分量
Bz1=((1-X.^2-(Z-l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z-l).^2).*E1+K1)/pi./R1;%B的z分量
R2=sqrt((Z+l).^2+(abs(X)+1).^2);%最大距離
KK2=4*abs(X)./R2.^2;[K2,E2]=ellipke(KK2);%模數(shù),兩個完全橢圓積分
Bx2=((1+X.^2+(Z+l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z+l).^2).*E2-K2).*(Z+l)./X/pi./R2;%B的x分量
Bz2=((1-X.^2-(Z+l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z+l).^2).*E2+K2)/pi./R2;%B的z分量
Bx=Bx1+Bx2;Bz=Bz1+Bz2;%合磁場的x分量,z分量
B=sqrt(Bz.^2+Bx.^2);A=atan2(Bx,Bz);%合磁場,磁場角度
BC={Bz,Bx,B,A};%數(shù)據(jù)元胞
zc={’itB_z/B m_0’,’itB_x/B m_0’,...
’itB/B m_0’,’italpha m’};%豎坐標元胞
tc={’itz m分量’,’itx m分量’,’總量itB m’,’方向’};%標題的一部分
txt=’itB m_0=itmu m_0itI m/2ita’;%磁感應(yīng)強度單位文本
t=’亥姆霍茲線圈’;%標題
if l==0.5,t=[t,’臨界’];end,fs=16;%如果距離為0.5,修改標題,結(jié)束循環(huán),字體大小
for i=1:4,figure%循環(huán),創(chuàng)建圖形窗口
surf(Z,X,BC{i}),box on%畫曲面,加框
title([t,’磁感應(yīng)強度的’,tc{i},’的分布面(itL m=’,...
num2str(l),’ita m)’],’FontSize’,fs)%顯示標題
xlabel(’itz/a’,’FontSize’,fs)%顯示x坐標
ylabel(’itx/a’,’FontSize’,fs)%顯示y坐標
zlabel(zc{i},’FontSize’,fs)%顯示z坐標
end,view(-45,60)%結(jié)束循環(huán),設(shè)置角度曲面的視角
附錄2
ring2B2main.m
%亥姆霍茲線圈均勻區(qū)域的主程序
clear,l=0.5;%ring2B2fun(l)%清除變量,距離,調(diào)用函數(shù)文件
ring2B2fun(0.45)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B2fun(0.4)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B2fun(0.55)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B2fun(0.6)%調(diào)用函數(shù)文件
ring2B2fun.m
%亥姆霍茲線圈的磁場均勻區(qū)域的范圍的函數(shù)文件
function fun(l)
rm=2;r=linspace(-rm,rm,200);%最大坐標,坐標向量(繞過奇點)
[Z,X]=meshgrid(r);R1=sqrt((Z-l).^2+(abs(X)+1).^2);%坐標矩陣,最大距離
KK1=4*abs(X)./R1.^2;[K1,E1]=ellipke(KK1);%模數(shù),兩個完全橢圓積分
Bx1=((1+X.^2+(Z-l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z-l).^2).*E1-K1).*(Z-l)./X/pi./R1;%B的x分量
Bz1=((1-X.^2-(Z-l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z-l).^2).*E1+K1)/pi./R1;%B的z分量
R2=sqrt((Z+l).^2+(abs(X)+1).^2);%最大距離
KK2=4*abs(X)./R2.^2;[K2,E2]=ellipke(KK2);%模數(shù),兩個完全橢圓積分
Bx2=((1+X.^2+(Z+l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z+l).^2).*E2-K2).*(Z+l)./X/pi./R2;%B的x分量
Bz2=((1-X.^2-(Z+l).^2)./((abs(X)-1).^2+(Z+l).^2).*E2+K2)/pi./R2;%B的z分量
Bx=Bx1+Bx2;Bz=Bz1+Bz2;B=sqrt(Bz.^2+Bx.^2);%合磁場的x分量,z分量,合磁場
m=3;B(B>m)=m;fs=16;%截斷磁場,大于截斷磁場者取截斷磁場,字體大小
t=’亥姆霍茲線圈’;%標題
if l==0.5,t=[t,’臨界’];end %如果距離為0.5,修改標題,結(jié)束循環(huán)
figure,surf(Z,X,B)%開創(chuàng)圖形窗口,畫B解析解的網(wǎng)格曲線
shading interp,alpha(0.8)%染色,半透明
bs=2/(1+l^2)^(3/2);hold on%原點磁場,保持屬性
contour3(Z,X,B,[1,1]*bs,’b’)%畫中等值線
C1=contour3(Z,X,B,[0.99,0.99]*bs,’r’);%畫下等值線取坐標
C2=contour3(Z,X,B,[1.01,1.01]*bs,’k’);%畫上等值線取坐標
title([t,’的合磁場(itL m=’,num2str(l),’ita m)’],’FontSize’,fs)%顯示標題
xlabel(’itz/a’,’FontSize’,fs)%顯示x坐標
ylabel(’itx/a’,’FontSize’,fs)%顯示y坐標
zlabel(’itB/B m_0’,’FontSize’,fs)%顯示z坐標
view(-45,45),box on%設(shè)置視角,加框
plot3(0,0,bs,’r.’,’MarkerSize’,10)%畫原點磁場
txt=[’itL m=’,num2str(l),’ita m’];%距離字符串
text(0,0,m,txt,’FontSize’,fs)%顯示距離
x1=C1(1,2:end);y1=C1(2,2:end);%取下線橫,縱坐標
n=C2(2,1);x2=C2(1,2:1+n);y2=C2(2,2:1+n);%上線坐標對數(shù),取上線坐標
figure,fill(x1,y1,’r’)%開創(chuàng)圖形窗口,畫下線填色圖
alpha(0.5),hold on%平面半透明,保持屬性
fill(x2,y2,’w’),fill(x2,-y2,’w’)%畫左下方上線,左上方上線白色圖
fill(-x2,-y2,’w’),fill(-x2,y2,’w’)%畫右上方上線,右下方上線白色圖
contour(Z,X,B,[1,1]*bs,’b’)%畫等值線
plot([0;0],[-rm;rm]),plot([-rm;rm],[0;0])%畫豎直軸線,畫水平軸線
ms=10;%符號大小
plot(l,1,’ro’,l,1,’r.’,’MarkerSize’,ms)%畫右邊流出屏幕的電流
plot(l,-1,’ro’,l,-1,’rx’,’MarkerSize’,ms)%畫右邊流進屏幕的電流
plot(-l,1,’ro’,-l,1,’r.’,’MarkerSize’,ms)%畫左邊流出屏幕的電流
plot(-l,-1,’ro’,-l,-1,’rx’,’MarkerSize’,ms)%畫左邊流進屏幕的電流
plot([l,l],[-1+0.05;1-0.05],’r’,’LineWidth’,4)%畫右環(huán)的剖面
plot([-l,-l],[-1+0.05;1-0.05],’r’,’LineWidth’,4)%畫左環(huán)的剖面
sx=0.1:0.1:1.2;sz=0*sx+0.01;%磁感應(yīng)線的起點縱,橫坐標
Bx(Z<=-0.1)=NaN;%左邊Bx值改為非數(shù)
streamline(Z,X,Bz,Bx,sz,sx)%畫第一象限磁感應(yīng)線
streamline(-Z,X,-Bz,Bx,-sz,sx)%畫第二象限磁感應(yīng)線
streamline(Z,-X,Bz,-Bx,sz,-sx)%畫第三象限磁感應(yīng)線
streamline(-Z,-X,-Bz,-Bx,-sz,-sx)%畫第四象限磁感應(yīng)線
plot(0,0,’r.’,’MarkerSize’,10)%畫原點
title([t,’合磁場的均勻范圍’],’FontSize’,fs)%顯示標題
xlabel(’itz/a’,’FontSize’,fs)%顯示x坐標
ylabel(’itx/a’,’FontSize’,fs)%顯示y坐標
grid on,axis equal%加網(wǎng)格,使坐標刻度相等
text(0,1.5,txt,’FontSize’,fs)%顯示距離
if l==0.5%如果距離為0.5
text(0,0,[’itB m_C=’,num2str(bs),’itB m_0’],’FontSize’,fs)%顯示鞍點磁場值
else%否則
text(0,0,[’itB m_S=’,num2str(bs),’itB m_0’],’FontSize’,fs)%顯示鞍點磁場值
end%結(jié)束循環(huán)