張銘浩，余 聰

(中山大學(xué) 物理與天文學(xué)院，廣東 珠海 519082)

磁陀星是宇宙中磁場(chǎng)最強(qiáng)的一類中子星，也是目前人類發(fā)現(xiàn)的宇宙中磁場(chǎng)最強(qiáng)的一類天體.磁陀星外部磁層的行為由磁壓所主導(dǎo)，等離子體壓強(qiáng)可忽略不計(jì)，因此適用無(wú)力條件.本文從無(wú)力條件出發(fā)，通過(guò)自相似假設(shè)將Grad-Shafranov方程化為變量分離形式，從而簡(jiǎn)化計(jì)算，得到了Grad-Shafranov方程的數(shù)值解，并依此給出了不同電流參數(shù)下的磁場(chǎng)線投影圖、三維磁場(chǎng)線圖，并通過(guò)數(shù)值積分得到了磁場(chǎng)線偏轉(zhuǎn)角以及磁能隨電流參數(shù)的變化關(guān)系.

1 無(wú)力磁場(chǎng)模型

1.1 無(wú)力場(chǎng)的靜力學(xué)條件

無(wú)力場(chǎng)是磁流體力學(xué)中的一個(gè)概念.當(dāng)磁場(chǎng)的磁壓強(qiáng)遠(yuǎn)大于等離子體壓強(qiáng)的情況下，等離子體壓強(qiáng)可以被忽略而只用考慮磁壓強(qiáng).從靜力學(xué)平衡角度分析，在磁場(chǎng)足夠強(qiáng)的區(qū)域中，帶電粒子受到洛倫茲力的量級(jí)遠(yuǎn)大于壓力梯度、重力以及慣性力的量級(jí)，從而靜力學(xué)平衡關(guān)系簡(jiǎn)化為洛倫茲力為零，故該條件被稱為“無(wú)力條件”.在該條件下，電流密度只有平行于磁場(chǎng)方向的分量.

在求解黑洞磁層、太陽(yáng)日冕磁場(chǎng)等以磁壓強(qiáng)為主導(dǎo)的很多高能天體物理問(wèn)題時(shí)，無(wú)力磁場(chǎng)模型均能給出合理的結(jié)果.本文研究的磁陀星是中子星中具有最強(qiáng)磁場(chǎng)的一類，也是目前宇宙中已知的具有最強(qiáng)磁場(chǎng)的一類天體，因此是適用無(wú)力磁場(chǎng)模型的典型代表.

1.2 電流為零時(shí)磁場(chǎng)為有勢(shì)場(chǎng)

由于我們研究處于穩(wěn)態(tài)的磁層，高斯單位制下麥克斯韋方程組的全電流定律

退化為靜磁場(chǎng)的安培環(huán)路定理

(1)

式(1)給出了靜磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度與電流的關(guān)系.若電流密度J為0，可知該磁場(chǎng)無(wú)旋，故可寫為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)(磁標(biāo)勢(shì))的梯度

B=-φ

1.3 電流不為零時(shí)的磁場(chǎng)與Grad-Shafranov方程

1.2節(jié)中的磁標(biāo)勢(shì)是描述磁場(chǎng)的常用方法，其負(fù)梯度方向?yàn)榇艌?chǎng)方向. 除了用磁標(biāo)勢(shì)φ，軸對(duì)稱磁場(chǎng)還可以用流函數(shù)ψ(r,θ)來(lái)普遍表達(dá)：

(2)

磁標(biāo)勢(shì)φ的等值線為等勢(shì)面，與場(chǎng)線處處垂直；而流函數(shù)ψ的等值線即為場(chǎng)線. 若電流密度J不為0，將無(wú)力條件：

代入安培環(huán)路定理(1)可以得到磁場(chǎng)的流函數(shù)滿足如下方程[2]：

×B=α(ψ)B

(3)

由于穩(wěn)態(tài)和軸對(duì)稱性的要求，無(wú)力系數(shù)α是ψ的函數(shù).

在球坐標(biāo)系中，滿足式(3)的微分方程用磁場(chǎng)流函數(shù)的形式可寫為

(4)

其中I(ψ)為流經(jīng)磁場(chǎng)線ψ的總電流強(qiáng)度.

由式(4)給出的磁場(chǎng)的繞極軸旋轉(zhuǎn)的分量為

(5)

對(duì)式(4)做變量替換μ=cosθ，則式(4)化為Grad-Shafranov方程的形式：

(6)

(7)

式(7)是線性方程，可以變量分離. 不難驗(yàn)證單極子、偶極子、四極子等軸對(duì)稱極向磁場(chǎng)都滿足式(7).

由于磁陀星磁場(chǎng)足夠強(qiáng)，可以對(duì)殼層施加足夠的應(yīng)力導(dǎo)致殼層剪切，從而使磁場(chǎng)扭曲. 要研究其扭曲磁場(chǎng)的位形，我們只能對(duì)式(6)進(jìn)行求解.

2 對(duì)扭曲磁場(chǎng)的數(shù)值求解

2.1 自相似假設(shè)下扭曲磁場(chǎng)本征值問(wèn)題的求解

與可變量分離的式(7)不同，式(6)是非線性方程，求解二維非線性偏微分方程非常困難. 人們采用自相似的假設(shè)，并在太陽(yáng)物理、強(qiáng)磁星的研究中取得了和觀測(cè)吻合的結(jié)果. 我們同樣采用自相似假設(shè)，認(rèn)為滿足式(6)待求磁場(chǎng)的流函數(shù)可以變量分離[2]，即ψ可以寫成只含有r的部分與只含有μ的部分之乘積：

ψ=R(r)F(μ)

并假設(shè)流函數(shù)關(guān)于r的部分為冪函數(shù)形式[2]：

R(r)=r-p

討論電流強(qiáng)度滿足流函數(shù)ψ的冪函數(shù)的形式：

(8)

其中C，p為待定參數(shù). 則式(6)可化為變量分離的形式：

R(r)=r-p，

(9)

接下來(lái)的工作只需找到滿足式(9)的解F(μ)，即可對(duì)上述假設(shè)下磁場(chǎng)的性質(zhì)進(jìn)行討論. 我們注意到式(9)是二階常微分方程. 一般情況下，二階常微分方程只需要兩個(gè)初始條件即可確定. 而式(9)的求解是一個(gè)本征值問(wèn)題. 因此我們需要找到合適的C、p值，使得式(9)的解剛好滿足給定的3個(gè)邊界條件.

我們用流函數(shù)重新表述球坐標(biāo)系下磁場(chǎng)的3個(gè)分量，并給出在實(shí)際情況下偏微分方程(6)所滿足的邊界條件

注意到

做變量替換μ=cosθ后可以得到磁場(chǎng)3個(gè)分量與r、μ的關(guān)系

(10)

(11)

(12)

方程第一個(gè)邊界條件要求在極軸上Bφ=0，即

F(1)=0

第二個(gè)邊界條件要求在極軸與星體表面交點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度恒為B*，即

F′(1)=-2

F′(0)=0

我們采用“打靶法”解決上述本征值問(wèn)題. 利用 第一、第二個(gè)邊界條件，從μ=1處開始積分，找到滿足第三個(gè)邊界條件的解對(duì)應(yīng)的C，p值. 圖1給出了滿足上述三個(gè)邊界條件的參數(shù)C與p的關(guān)系. 可以看出在p=0.63附近，C達(dá)到最大值0.8732.

圖1 滿足式(8)邊界條件的C與p的關(guān)系

圖2給出了數(shù)值求解微分方程(8)得到的解F(μ)在不同C,p值下的函數(shù)圖像.可以發(fā)現(xiàn)在p→0時(shí),除了在μ=0附近，F(xiàn)(μ)→2(1-μ).

圖2 不同p值下的式(8)的解F(μ)

2.2 磁場(chǎng)線的繪制與對(duì)上述解的討論

圖3 磁場(chǎng)等值線圖

圖4 磁場(chǎng)線在r-θ平面的投影以及扭曲情況

3 求解磁感線的偏轉(zhuǎn)角

在電流參數(shù)C≠0時(shí)，根據(jù)矢量與其積分曲線的關(guān)系，我們有

從磁感線在星體表面的起始位置到終止位置對(duì)dφ積分，可得到偏轉(zhuǎn)角Δφ.根據(jù)積分上下限選取的不同，我們會(huì)得到不同的偏轉(zhuǎn)角

(13)

作變量替換μ=cosθ，從而積分化為

選取不同θ值作為磁感線在星體表面的起(止)位置，對(duì)上式數(shù)值積分，分別作Δφ與C，p的關(guān)系，得到圖5的結(jié)果. 可以看出隨p減小，在C達(dá)到最大值前，各位置起止的偏轉(zhuǎn)角Δφ均隨C的增大而增大；在C達(dá)到最大值后，N-S極附近起止的磁感線偏轉(zhuǎn)角Δφ隨C的減小而增大，赤道附近起止的磁感線偏轉(zhuǎn)角Δφ隨C的減小而先增后減.

圖5 偏轉(zhuǎn)角Δφ在不同θ值下與參數(shù)的關(guān)系

其中圖5(a)、圖5(b)中黑色加粗線為起止點(diǎn)在N-S極(θ=0)處磁場(chǎng)線的扭曲情況Δφ(θ=0)，即為磁場(chǎng)線的最大偏轉(zhuǎn)角. 由圖5(a)可以看出：在電流參數(shù)C取最大值0.8732時(shí)，磁場(chǎng)線的最大偏轉(zhuǎn)角在1.8 rad附近.由圖5(b)可以看出：隨p值增大，N-S極磁場(chǎng)線的偏轉(zhuǎn)角趨于π,該結(jié)果與文獻(xiàn)[2]給出的結(jié)果一致.

作Δφ-θ圖，得到在不同電流參數(shù)下，偏轉(zhuǎn)角與磁感線在星體表面起止點(diǎn)位置θ的關(guān)系，如圖6所示.可以看出在同一電流參數(shù)下，越靠近兩級(jí)的磁場(chǎng)線偏轉(zhuǎn)角度越大，這說(shuō)明磁場(chǎng)線在兩極處的扭曲比赤道附近更明顯，該結(jié)論與圖4給出的結(jié)果是一致的.

圖6 偏轉(zhuǎn)角Δφ與磁感線起點(diǎn)位置的θ值的關(guān)系

圖7 三維磁場(chǎng)線

4 計(jì)算磁陀星磁能隨磁場(chǎng)扭曲的變化關(guān)系

在高斯單位制下，對(duì)磁場(chǎng)能量密度在除星體外的全空間進(jìn)行積分，可得到磁陀星磁場(chǎng)能量E：

(14)

寫為分量形式：

由于我們討論的解可以變量分離，上述積分可以化為以下形式：

取不同的C、p值，對(duì)以上3式進(jìn)行數(shù)值積分并求和，可得到磁陀星磁場(chǎng)能量隨參數(shù)C以及起止點(diǎn)N-S極的磁感線偏轉(zhuǎn)角度ΔφN-S的關(guān)系. 取偶極子情況的磁場(chǎng)能量Edipole為1，根據(jù)積分結(jié)果繪圖，磁場(chǎng)能量與偏轉(zhuǎn)角ΔφN-S的關(guān)系如圖8(a)所示；磁場(chǎng)能量與電流參數(shù)C的關(guān)系如圖8(b)所示. 由圖可知磁陀星磁能隨磁場(chǎng)N-S極偏轉(zhuǎn)角增大而增大.

圖8 磁陀星磁能的變化關(guān)系

5 總結(jié)

Grad-Shafranov方程的變量分離解能夠給出在一定近似條件下的磁陀星附近磁場(chǎng)的性質(zhì).本文首先從無(wú)力條件出發(fā)，在自相似假設(shè)下數(shù)值求解了變量分離的Grad-Shafranov方程，得到了磁場(chǎng)的流函數(shù)解，并由該解繪制了磁感線、磁感線偏轉(zhuǎn)程度隨電流參數(shù)的關(guān)系.隨后通過(guò)數(shù)值計(jì)算得到了偏轉(zhuǎn)角，并探討了偏轉(zhuǎn)角與磁感線起止位置、電流參數(shù)的關(guān)系，得到兩極附近起止的磁感線偏轉(zhuǎn)角度大于赤道的結(jié)論，給出了磁感線的三維模擬圖.以上結(jié)果與其他文獻(xiàn)中基本一致.最后通過(guò)對(duì)磁場(chǎng)能量密度積分計(jì)算磁能，通過(guò)數(shù)值計(jì)算給出了在本文假設(shè)下的星體磁能隨偏轉(zhuǎn)角以及電流參數(shù)的變化關(guān)系，得到磁能隨N-S極偏轉(zhuǎn)角增大而增大的結(jié)論.

本文雖以自相似假設(shè)出發(fā)，但得到的結(jié)果依然 能夠反映出磁陀星磁場(chǎng)的一些關(guān)鍵性質(zhì).基于本文的計(jì)算可以對(duì)磁陀星的磁場(chǎng)演化做進(jìn)一步的研究.