何自豪，韓佳成，王琳淼，趙天賜，張素恒

(河北大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，河北 保定 071002)

近年來(lái)，單像素成像技術(shù)作為一種新型成像技術(shù)引起廣泛關(guān)注.單像素成像與傳統(tǒng)的陣列探測(cè)器成像相比，其圖像信息的獲取方式與采集效率不同，在硬件復(fù)雜度和工業(yè)成本方面占有一定優(yōu)勢(shì)，對(duì)于推動(dòng)未來(lái)成像系統(tǒng)的簡(jiǎn)化和集成，具有潛在應(yīng)用前景.現(xiàn)階段，陣列傳感器件在紅外、太赫茲波段的應(yīng)用并不成熟，并且三維成像、光譜成像對(duì)器件的分辨率和靈敏度要求苛刻，其應(yīng)用受到限制，因此單像素成像技術(shù)的出現(xiàn)，為解決這些問(wèn)題帶來(lái)了新的途徑.

單像素成像發(fā)展至今，先后經(jīng)歷了計(jì)算鬼成像、基于壓縮感知的單像素成像和基掃描單像素成像3個(gè)階段[1].基掃描單像素成像是使用確定性的正交變換基底圖案進(jìn)行空間光調(diào)制的成像方法.通過(guò)采用完備的基底圖案進(jìn)行空間光調(diào)制，可以無(wú)失真地重構(gòu)物體的像，這是該成像方法的顯著優(yōu)勢(shì).2015年，李明飛等人提出了基于沃爾什-哈達(dá)瑪變換的單像素成像方案[2]，之后他們又研究了矩陣優(yōu)化排序的壓縮采樣快速成像方案[3].2016年，張子邦等人引入了傅里葉單像素成像技術(shù)[4-6].此外，他還對(duì)比了傅里葉單像素成像與哈達(dá)瑪單像素成像在欠采樣情況下的成像質(zhì)量[7].2016年，Liu Bao-Lei等人提出基于離散余弦變換的單像素成像方案[8].2017年，Rousset L等人又提出基于小波預(yù)測(cè)的自適應(yīng)基掃描單像素成像方案[9].這些基掃描成像方案極大的推動(dòng)了單像素成像技術(shù)實(shí)用化進(jìn)程.

雖然國(guó)內(nèi)外在單像素成像領(lǐng)域已經(jīng)開展了大量的研究工作，提出多種成像系統(tǒng).但這些單像素成像系統(tǒng)集成度較高，可操作性差，價(jià)格昂貴，不利于在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中推廣.本文提出了一種基于樹莓派的單像素成像系統(tǒng).該系統(tǒng)以基掃描單像素成像技術(shù)為基礎(chǔ)，以樹莓派為核心，并采用Python語(yǔ)言進(jìn)行軟件開發(fā)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，成本低廉，可操作性強(qiáng)，非常適合實(shí)驗(yàn)教學(xué).本文首先介紹基掃描單像素成像的原理，然后分別從硬件和軟件兩個(gè)方面詳細(xì)介紹系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，最后展示哈達(dá)瑪和傅里葉兩種基掃描單像素成像實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

1 基掃描單像素成像原理

基掃描單像素成像依次向物體投影一套完備的正交變換基底圖案，并逐一測(cè)量每一基底圖案照明時(shí)物體的漫反射光強(qiáng)，從而獲取物體的各個(gè)頻譜分量，再通過(guò)逆變換重建物體的像.

1.1 哈達(dá)瑪單像素成像

二維的哈達(dá)瑪變換與其逆變換定義為

(1)

(2)

(3)

{Puv|u,v=0,1,…,N-1}

(4)

其中基底矩陣Puv的矩陣元為

Puv(x,y)=H(u,x)H(y,v)

(5)

其中x,y=0,1,…,N-1.若將哈達(dá)瑪矩陣H的第u行和v行的行向量分別為記為Hu與Hv，則由式(5)可知，基底矩陣Puv還可表示為

(6)

考慮到哈達(dá)瑪矩陣HT=H.這時(shí)式(3)可表示為

(7)

其中〈·,·〉F代表Frobenius內(nèi)積.由式(7)可知，只要逐一計(jì)算物體采樣矩陣與基底矩陣序列中每一基底矩陣的內(nèi)積，即可得到物體的哈達(dá)瑪頻譜.

在單像成像中，首先根據(jù)基底矩陣序列生成基底圖案序列，然后再將所有基底圖案逐一投影到物體上形成結(jié)構(gòu)光照明，最后利用單像素測(cè)探器記錄物體的漫反射光強(qiáng)，即可獲取物體完備的頻譜.由于結(jié)構(gòu)光照明是對(duì)光強(qiáng)調(diào)制，無(wú)法直接表達(dá)哈達(dá)瑪基底矩陣中的負(fù)值.通常采用差分法來(lái)解決該問(wèn)題.于是將每個(gè)基底矩陣Puv轉(zhuǎn)化為兩幅基底圖案

(8)

然后把這兩幅基底圖案依次投影到物體上，單像素探測(cè)器測(cè)得的漫反射物光強(qiáng)分別為

(9)

其中I0為投影光源的強(qiáng)度，Ib為不受調(diào)制的背景光強(qiáng)度分布矩陣，k是探測(cè)器的光電響應(yīng)系數(shù).通過(guò)差分即可得到相應(yīng)的哈達(dá)瑪頻譜分量，

(10)

其中α=1/kI0.此外，差分還能去除背景光影響.

在成像過(guò)程中，依次向物體投影整套基底圖案

(11)

測(cè)得漫反射物光強(qiáng)序列為

{D(+)(u,v),D(-)(u,v)|u,v=0,1,…,N-1}

(12)

從而得到物體的哈達(dá)瑪頻譜矩陣，

(13)

最后再利用式(2)對(duì)頻譜矩陣進(jìn)行逆變換即可獲取物體的重構(gòu)像.

圖1 差分哈達(dá)瑪單像素成像基底圖案(4×4像素)

哈達(dá)瑪單像素成像的空間采樣間隔由投影到物體上的基底圖案的最小結(jié)構(gòu)單元的尺寸來(lái)決定.通過(guò)最近鄰域法放大基底圖案和調(diào)整投影距離均可改變空間采樣間隔，以獲得最佳的成像效果.

1.2 傅里葉單像素成像

二維離散傅里葉變換定義為

(14)

其中u=0,1,…,M-1;v=0,1,…,N-1，M與N分別為物體采樣矩陣F的行列數(shù).二維離散傅里葉逆變換定義為

(15)

其中x=0,1,…,M-1;y=0,1,…N-1.考慮到離散傅里葉變換的周期性，引入離散傅里葉變換基底矩陣序列

(16)

其中基底矩陣Tuv的矩陣陣元為

(17)

其中

(18)

其中?·」與「·?分別代表向下取整運(yùn)算與向上取整運(yùn)算.二維離散傅里葉變換式(14)可表示為

(19)

由式(19)可知，物體的離散傅里葉頻譜可通過(guò)計(jì)算物體采樣矩陣與基底矩陣序列所有基底矩陣的內(nèi)積獲得.

由式(17)可知，離散傅里葉變換基底矩陣為復(fù)矩陣.為了通過(guò)光強(qiáng)調(diào)制表達(dá)該基底矩陣，通常借助于四步相移法.首先將基底矩陣序列中的每個(gè)基底矩陣Tuv經(jīng)相移后轉(zhuǎn)化為四幅余弦基底圖案

(20)

其中Re{·}代表取實(shí)部.然后把這四幅基底圖案依次投影到物體上，單像素探測(cè)器測(cè)出的漫反射物光強(qiáng)分別為

(21)

由歐拉公式可計(jì)算出相應(yīng)的頻譜分量

i[D(π/2)(u,v)-D(3π/2)(u,v)]}

(22)

可以看出，四步相移法的本質(zhì)仍為差分運(yùn)算，同樣可以消除背景光的影響.

在基于傅里葉變換的單像素成像過(guò)程中，依次向物體投影整套余弦基底圖案

(23)

測(cè)得漫反射物光強(qiáng)度序列為

(24)

從而得到物體的離散傅里葉頻譜矩陣

(25)

然后再對(duì)頻譜矩陣進(jìn)行逆變換，則有

(26)

式中ifft代表二維離散傅里葉逆變換.但這時(shí)得到的重構(gòu)像Fc中心位于矩陣左上角，不便觀察.考慮到離散傅里葉變換的周期性，通過(guò)fftshift操作對(duì)重構(gòu)像進(jìn)行調(diào)整，即

F=fftshift(Fc)

(27)

最終獲得物體的重構(gòu)像.

圖2 四步相移傅里葉單像素成像基底圖案(4×4像素)

考慮到物體的分布函數(shù)(物體光強(qiáng)反射率)為實(shí)值函數(shù)，物體采樣矩陣的傅里葉頻譜滿足共軛對(duì)稱性，即

(28)

因此，可以僅測(cè)量頻譜中的零頻及負(fù)頻分量，再用式(28)補(bǔ)全正頻分量，從而獲得完整的頻譜[6].這時(shí)測(cè)量次數(shù)可減少一半.當(dāng)物體的細(xì)節(jié)不太豐富時(shí)，還可以進(jìn)行欠采樣成像，進(jìn)一步減少測(cè)量次數(shù)，加快成像速度，詳見(jiàn)參考文獻(xiàn)[7].

當(dāng)u與v均取最大值時(shí)，即

|um|=?M/2」,|vm|=?N/2」

(29)

余弦基底圖案空間頻率最高.投影到物體上的該余弦條紋沿x方向與y方向空間周期的一半即為傅里葉單像素成像的空間采樣間隔.對(duì)式(18)中離散坐標(biāo)序列進(jìn)行線性取值，可以放大基底圖案，進(jìn)而改變成像的空間采樣間隔.此外，還可以通過(guò)調(diào)整投影距離改變成像的空間采樣間隔.

2 基于樹莓派的單像素成像系統(tǒng)設(shè)計(jì)

樹莓派是為普及計(jì)算機(jī)編程教育而設(shè)計(jì)的基于ARM架構(gòu)的微型電腦，其體積小、價(jià)格低、接口豐富、性能強(qiáng)大.樹莓派的操作系統(tǒng)Raspberry Pi OS基于Linux完全開源，功能完備，并且預(yù)置了Python的開發(fā)環(huán)鏡.因此，它非常適合編程學(xué)習(xí)和創(chuàng)客開發(fā).本文提出在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中利用樹莓派代替?zhèn)鹘y(tǒng)計(jì)算機(jī)搭建單像素成像系統(tǒng)，非常有利于鍛煉學(xué)生的動(dòng)手能力，培養(yǎng)其創(chuàng)新思維.

2.1 硬件設(shè)計(jì)

硬件系統(tǒng)如圖3所示，主要由3部分組成：控制單元、圖像投影單元和數(shù)據(jù)采集單元.系統(tǒng)的核心是控制單元，由樹莓派(4B)構(gòu)成.控制單元主要負(fù)責(zé)生成基底圖案，控制投影和數(shù)據(jù)采集，進(jìn)行數(shù)據(jù)處理與計(jì)算重構(gòu)圖像.圖像投影單元由米家激光投影儀(L185JCN)構(gòu)成，通過(guò)HDMI接口與樹莓派連接.投影單元將樹莓派發(fā)送來(lái)的基底圖案投影到物體上.數(shù)據(jù)采集單元由光強(qiáng)傳感器(OPT101)，濾波模塊與數(shù)據(jù)采集卡(MCC-118)3個(gè)部分構(gòu)成.光強(qiáng)傳感器將基底圖案照明下的漫反射物光強(qiáng)度轉(zhuǎn)換為電壓信號(hào)輸送給濾波模塊.濾波模塊是由RC濾波電路構(gòu)成的低通濾波器，它可將光電轉(zhuǎn)換過(guò)程中產(chǎn)生的大量噪聲去除.經(jīng)濾波后的電壓信號(hào)送給數(shù)據(jù)采集卡，由采集卡進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換.數(shù)據(jù)采集卡通過(guò)GPIO接口與樹莓派連接，它在樹莓派的控制下進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，并將采集到的光強(qiáng)數(shù)據(jù)回傳給樹莓派.

圖3 硬件系統(tǒng)框圖

整個(gè)系統(tǒng)成本較低，其中樹莓派(4B)380元，數(shù)采卡(MCC-118)990元，光強(qiáng)傳感器(OPT101)4元，米家激光投影儀(L185JCN)5000元，合計(jì)6374元.在演示實(shí)驗(yàn)中，可采用多媒體教室的投影儀[11]總成本可降至1500元以內(nèi).

2.2 程序設(shè)計(jì)

單像素成像系統(tǒng)程序采用Python語(yǔ)言開發(fā)，它簡(jiǎn)潔、易讀，并且具有強(qiáng)大的擴(kuò)展能力.程序主要完成基底圖案生成與顯示，數(shù)據(jù)采集，圖像重構(gòu)等操作，程序流程如圖4所示.

圖4 程序流程框圖

程序開始運(yùn)行后，首先執(zhí)行初始化操作，包括導(dǎo)入科學(xué)計(jì)算庫(kù)、數(shù)據(jù)采集庫(kù)與圖像顯示庫(kù)，實(shí)例化采集卡并設(shè)定采集參數(shù)，初始化顯示模塊并設(shè)定顯示參數(shù).然后構(gòu)建一個(gè)生成器(generator)用于迭代生成全部基底圖案，以避免大量的內(nèi)存消耗.接下來(lái)迭代顯示每一張基底圖案，在循環(huán)過(guò)程中，每顯示一張基底圖案，先延時(shí)100 ms，待圖像顯示穩(wěn)定后，再進(jìn)行數(shù)據(jù)采集.對(duì)于每幅基底圖案，將以10-4s的采樣速率，采集400個(gè)樣本，再對(duì)這400個(gè)樣本求平均，作為該幅基底圖案照明時(shí)的漫反射物光強(qiáng)度.當(dāng)循環(huán)顯示全部基底圖案后，計(jì)算重構(gòu)圖像，并將重構(gòu)圖像保存并顯示在屏幕上.

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

按照上述的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，開發(fā)了如圖5所示的實(shí)驗(yàn)裝置，來(lái)驗(yàn)證設(shè)計(jì)方案的可行性.實(shí)驗(yàn)中，將河北大學(xué)校名與?；罩谱鞒杉艏堉糜诤谏徊忌献鳛槲矬w，如圖6所示.兩物體大小相同，長(zhǎng)寬均為0.6 m.實(shí)驗(yàn)采用哈達(dá)瑪與傅里葉兩種基掃描單像素成像方式分別對(duì)這兩個(gè)物體成像.

圖5 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖6 待成像物體，物體的長(zhǎng)與寬均為0.6 m

在對(duì)河北大學(xué)校名進(jìn)行成像時(shí)，取像的分辨率為128×128像素.采用哈達(dá)瑪單像素成像時(shí)，直接生成的哈達(dá)瑪基底圖案大小僅為128×128像素.為了便于投影，首先按最近鄰域法將圖像放大到1024×1024像素，再加載到投影儀上顯示.然后調(diào)整投影儀與物體的距離，使幕布上的基底圖案剛好完整覆蓋物體.投影儀逐一投影全部128×128×2張基底圖案，利用式(13)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行差分處理即可得到物體的哈達(dá)瑪頻譜，如圖7(a)所示.

對(duì)測(cè)得的哈達(dá)瑪頻譜矩陣再按式(2)進(jìn)行逆變換，即重構(gòu)出物體的像，如圖8(a)所示.在傅里葉單像素成像時(shí)，取式(18)中的M=N=128，先對(duì)離散坐標(biāo)序列x和y進(jìn)行插值，使坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)增加至1024，再按照式(17)計(jì)算出傅里葉基底矩陣，再生成全部128×128×4張基底圖案進(jìn)行投影顯示.利用式(22)對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理即可得到物體的傅里葉頻譜，如圖7(b)所示.為清楚顯示譜頻分布，該圖為原頻譜進(jìn)行對(duì)數(shù)變換后的結(jié)果.物體的傅里葉頻譜矩陣再經(jīng)過(guò)式(26)與式(27)變換后最終得到物體的重構(gòu)圖像，如圖8(b)所示.從圖8可以看出，在該分辨率下，在兩種成像方式均可獲取高質(zhì)量的像，字樣的細(xì)節(jié)清晰，對(duì)比度也比較高.

圖8 河北大學(xué)校名的成像結(jié)果，分辨率為128×128像素

當(dāng)對(duì)河北大學(xué)校徽成像時(shí)，取分辨率為256×256像素，成像結(jié)果如圖9所示.這時(shí)兩種成像方式均可完整呈現(xiàn)物體豐富的細(xì)節(jié)，但成像的對(duì)比度有不同程度的下降.對(duì)比圖8與圖9兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，哈達(dá)瑪變換成像質(zhì)量明顯優(yōu)于傅里葉變換的成像質(zhì)量.這是因?yàn)楦道锶~基底矩陣連續(xù)取值，在生成數(shù)字化的基底圖案過(guò)程中會(huì)引入量化誤差，在投影儀投影該灰度圖像時(shí)又會(huì)引入非線性誤差.而哈達(dá)瑪基底矩陣是二值矩陣，不會(huì)受上述噪聲的影響，因而哈達(dá)瑪單像素成像具有較高的成像質(zhì)量.

圖9 河北大學(xué)?；粘上窠Y(jié)果，分辨率為256×256像素

最后需要指出的是，上述所有成像結(jié)果，均未進(jìn)行任何后期處理.若根據(jù)系統(tǒng)噪聲特性與物體特征對(duì)像進(jìn)行降噪增強(qiáng)處理，則成像質(zhì)量將會(huì)進(jìn)一步提升.

這兩組實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的基于樹莓派的單像素成像方案合理可行，能夠?qū)ξ矬w高質(zhì)量成像.

4 結(jié)論

以基掃描單像素成像為基礎(chǔ)，本文設(shè)計(jì)并開發(fā)了一套基于樹莓派的單像素成像系統(tǒng).利用該系統(tǒng)成功實(shí)現(xiàn)哈達(dá)瑪單像素成像與傅里葉單像素成像，驗(yàn)證了設(shè)計(jì)方案的可行性.系統(tǒng)硬件結(jié)構(gòu)緊湊，成本低廉，易于推廣；系統(tǒng)程序由Python語(yǔ)言開發(fā)，清晰簡(jiǎn)潔，易于拓展.因此，該系統(tǒng)非常適用于單像素成像的原理演示與實(shí)驗(yàn)教學(xué).另外，本工作還能推動(dòng)單像素成像技術(shù)走出科研實(shí)驗(yàn)室，向小型化、實(shí)用化發(fā)展.