劉家明

(廣東第二師范學(xué)院 物理與信息工程系，廣東 廣州 510303)

光速不變?cè)硎仟M義相對(duì)論的一個(gè)基本原理，它強(qiáng)烈地表現(xiàn)出與牛頓時(shí)空觀的不同，往往能給予學(xué)生深刻的印象.從光速不變?cè)沓霭l(fā)，可以簡(jiǎn)單地推導(dǎo)出鐘慢效應(yīng)、尺縮效應(yīng)這些相對(duì)論的典型特征[1].此外，它也可以用于推導(dǎo)洛倫茲變換[1,2]、速度變換公式[3]等等.因此，在狹義相對(duì)論的教學(xué)中，光速不變?cè)硎欠浅Ｖ档迷敿?xì)講解的.

而對(duì)于光行差公式，常見的教材會(huì)根據(jù)相位不變的性質(zhì)、利用波矢的洛倫茲變換來推導(dǎo)[4].也有文獻(xiàn)介紹平面波變換法、光子動(dòng)量法等推導(dǎo)方法[5].

而本文將介紹一個(gè)直接由光速不變?cè)硗茖?dǎo)光行差公式的方法，這個(gè)方法與用光速不變?cè)韺?dǎo)出鐘慢效應(yīng)、尺縮效應(yīng)聯(lián)系緊密，可以讓學(xué)生達(dá)到觸類旁通、舉一反三的效果，使光速不變?cè)淼慕虒W(xué)內(nèi)容更加地豐富.

1 正文

圖1 導(dǎo)出鐘慢效應(yīng)的情形

(1)

而要從光速不變?cè)硗茖?dǎo)光行差效應(yīng)時(shí)，可以對(duì)上面的例子做一點(diǎn)修改，引入一個(gè)傾斜的角度.在Σ′中，把鏡子沿x′方向平移一段距離L′，并調(diào)整光子發(fā)射器和鏡子的角度，使它們對(duì)準(zhǔn)，如圖2(a). 在Σ′中，光子發(fā)出經(jīng)反射再回到發(fā)射器所需時(shí)間為

(2)

而發(fā)射角度滿足

tanθ′=h/L′

(3)

由于在Σ′中，光子發(fā)出、返回仍然是同一地點(diǎn)的兩個(gè)事件，這一點(diǎn)與前文中豎直發(fā)射的例子是一致的；所以在Σ中，光子發(fā)出到返回到發(fā)射器的所需時(shí)間t仍滿足式(1).

但是在Σ中，鏡子的傾斜角度、鏡子與發(fā)射器的水平距離，都和Σ′中的情況有所不同.設(shè)發(fā)射時(shí)，發(fā)射器與鏡子的水平距離為L(zhǎng)，如圖2(b).并記光子從發(fā)射器到鏡子所需時(shí)間為t1，而從鏡子返回到發(fā)射器所需時(shí)間為t2，則發(fā)射到返回的總時(shí)間：

t=t1+t2

(4)

在圖2(b)中，P點(diǎn)、Q點(diǎn)分別為發(fā)射器、鏡子的初始位置，R點(diǎn)為光子到達(dá)鏡子時(shí)，鏡子的位置，S點(diǎn)為光子返回到發(fā)射器時(shí)，發(fā)射器的位置.則由幾何關(guān)系，有

圖2 導(dǎo)出光行差效應(yīng)的情形

(L+vt1)2+h2=(ct1)2

(5)

(L+vt1-vt)2+h2=(ct2)2

(6)

sinθ=h/(ct1)

(7)

cosθ=(L+vt1)/(ct1)

(8)

利用式(4)中t與t1、t2的關(guān)系，將式(5)、(6)相減可得

t1-t2=2Lv/(c2-v2)

(9)

再由式(9)與式(4)可解得

(10)

將式(10)代入式(5)可得

(11)

由式(1)、(2)得

(12)

由式(11)、(12)得

(13)

此即尺縮效應(yīng)關(guān)系.它指示了在靜止參考系Σ中，運(yùn)動(dòng)物體上兩點(diǎn)沿運(yùn)動(dòng)方向的距離，要比在運(yùn)動(dòng)參考系Σ′中相應(yīng)兩點(diǎn)在該方向上的距離要短.當(dāng)然，如果只是要推導(dǎo)尺縮效應(yīng)，可以將光子發(fā)射器和鏡子都設(shè)置在水平方向上[1]，這樣計(jì)算過程會(huì)更簡(jiǎn)單.而本文作此推導(dǎo)，主要是想說明：在推導(dǎo)角度關(guān)系時(shí)，并不需要以水平情況的例子為前提.

繼續(xù)光程差公式的推導(dǎo)，由式(3)及式(7)可得

(14)

而式(8)可改寫為

(15)

則聯(lián)合式(13)、(14)及(15)，可得

(16)

此即光行差公式. 它指示了在靜止參考系Σ中運(yùn)動(dòng)光源的發(fā)光角度，與運(yùn)動(dòng)參考系Σ′中相應(yīng)光線角度之間的關(guān)系.這個(gè)推導(dǎo)結(jié)果與使用洛倫茲變換推導(dǎo)的結(jié)果是一致的.

2 結(jié)語(yǔ)

本文通過修改教材中的常見案例，引入傾斜角度，直接從光速不變?cè)韺?dǎo)出了光行差公式.此例子思路明確，與常見案例聯(lián)系緊密，可作為光速不變?cè)斫虒W(xué)中的擴(kuò)展討論或課后練習(xí)使用.

值得一提的是，本文在推導(dǎo)時(shí)，為了展示此例子并不依賴于尺縮效應(yīng)的例子，計(jì)算過程會(huì)略顯繁復(fù).但是在正常教學(xué)過程中，通常是會(huì)介紹尺縮效應(yīng)的例子的.而在有尺縮效應(yīng)關(guān)系的基礎(chǔ)上，本例的推導(dǎo)過程可以得到一些簡(jiǎn)化.