周 正，嚴(yán) 正，李 煒

(1.復(fù)旦大學(xué) 物理學(xué)系,上海 200433;2.香港大學(xué) 物理系,香港)

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)飛越地發(fā)展，使得計(jì)算模擬在現(xiàn)代物理學(xué)的研究中扮演著至關(guān)重要的角色.在當(dāng)前前沿的眾多計(jì)算物理模擬方法中，典型代表的有分子動力學(xué)模擬方法、基于密度泛函理論框架下的第一性原理計(jì)算模擬方法和蒙特卡羅模擬方法[1].其中利用隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生以及基于Metropolis算法的蒙特卡羅模擬方法在前沿凝聚態(tài)物理學(xué)的研究中展現(xiàn)出巨大的威力，特別是早先利用蒙特卡羅方法模擬兩維和三維Ising模型的鐵磁有序性[2]以及在當(dāng)前前沿有關(guān)鐵基超導(dǎo)母體的磁有序行為特性[3]、Skyrmions磁拓?fù)溆行蚪Y(jié)構(gòu)中的重要應(yīng)用[4].

在本文中，我們將利用基于蒙特卡羅模擬方法研究60個(gè)帶正電荷的點(diǎn)電荷在球面上所形成的穩(wěn)定態(tài)的結(jié)構(gòu).根據(jù)數(shù)學(xué)對稱性可知，60個(gè)點(diǎn)電荷在球面上所可能形成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有[5]：截角二十面體，即足球烯C60結(jié)構(gòu)[6]，小斜方截半二十面體結(jié)果和扭棱十二面體結(jié)構(gòu)，如圖1所示.然而，在我們的實(shí)際蒙特卡羅模擬計(jì)算模擬中發(fā)現(xiàn)這3種結(jié)構(gòu)的能量并不是最低的，而最低的一種能量的結(jié)構(gòu)卻是另外一種新的，全部都由三角形所形成的結(jié)構(gòu).

1 模型與方法

在半徑為R的球面上放置著60個(gè)帶正電荷的單位點(diǎn)電荷(+e)，考慮到這些點(diǎn)電荷之間存在著靜電庫侖相互作用能為[7]

(1)

根據(jù)數(shù)學(xué)對稱性可知[5]，由60個(gè)點(diǎn)電荷為頂點(diǎn)在球面上將構(gòu)成具有高對稱性的多面體空間結(jié)構(gòu)大約有3種，即

1)截角二十面體. 如圖1(a)所示，將正二十面體的所有12個(gè)頂點(diǎn)削去，就得到截角二十面體.它由12個(gè)正五邊形面、20個(gè)正六邊形面、60個(gè)頂點(diǎn)和90個(gè)棱構(gòu)成. 每個(gè)頂點(diǎn)的配位數(shù)為3. 對稱性與正十二面體相同，空間點(diǎn)群對稱群為Ih. 同時(shí)這里需要指出的是這種截角二十面體和足球烯結(jié)構(gòu)一樣，即60個(gè)碳原子所形成的球狀結(jié)構(gòu)[6].

2)小斜方截半二十面體. 如圖1(b)所示，將正二十面體30條棱和12個(gè)頂點(diǎn)都削去，就得到小斜方截半二十面體. 它由20個(gè)正三角形面、30個(gè)正方形面、12個(gè)正五邊形面、60個(gè)頂點(diǎn)和120條棱構(gòu)成. 每個(gè)頂點(diǎn)的配位數(shù)為4. 該結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)群對稱性對稱性與截角正十二面體的對稱群結(jié)構(gòu)相同,即點(diǎn)群對稱群為Ih.

圖1 由60個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的具有高對稱性的多面體結(jié)構(gòu)

3)扭棱十二面體. 如圖1(c)所示，將正十二面體的正五邊形面邊往外拉邊旋轉(zhuǎn)，在空缺的位置填入正三角形，就得到扭棱十二面體. 它由80個(gè)正三角形面、12個(gè)正五邊形面、60個(gè)頂點(diǎn)和150條棱構(gòu)成. 每個(gè)頂點(diǎn)的配位數(shù)為5. 相較于正十二面體而言，該扭棱十二面體結(jié)構(gòu)中的中心對稱性已經(jīng)破缺，使得該結(jié)構(gòu)的空間點(diǎn)群對稱性降低為點(diǎn)群對稱群I.

從數(shù)值計(jì)算模擬角度上講，我們將這60個(gè)點(diǎn)電荷置于半徑為R的球面上，同時(shí)連接這些點(diǎn)電荷為頂點(diǎn)所形成的上述3種多面體結(jié)構(gòu)，如圖1所示，其中我們假設(shè)以1計(jì)算構(gòu)型的能量單位[7]，E0=e2/4πε0R2，并將這3種結(jié)構(gòu)對應(yīng)的能量的數(shù)值計(jì)算結(jié)果列于表1. 從這些計(jì)算數(shù)據(jù)中我們可以發(fā)現(xiàn)具有高對稱性的構(gòu)型結(jié)構(gòu)中，小斜方截半二十面體的能量是最低的，而不是我們所期望看到的截角二十面體(足球烯結(jié)構(gòu))的能量最低，亦不是空間點(diǎn)群最低的扭棱十二面體結(jié)構(gòu)的能量最低.

表1 由60 個(gè)點(diǎn)電荷為頂點(diǎn)所構(gòu)成的具有高對稱性的多面體的性質(zhì)及相應(yīng)的能量

為了從數(shù)值上驗(yàn)證小斜方截半二十面體是否是在球面上的60個(gè)點(diǎn)電荷所形成的能量最低的構(gòu)型，于是我們采用基于熱退火的方法[8]對系統(tǒng)進(jìn)行蒙特卡羅方法模擬[9]. 在實(shí)際的計(jì)算模擬過程中我們采用線性地降低系統(tǒng)所處的溫度，即

(2)

(3)

表示接受更新. 在每一次的MCS中的i均遍歷球面上的每一個(gè)點(diǎn)電荷. 在我們的實(shí)際計(jì)算模擬過程中我們設(shè)置總步數(shù)為τ0=106MCS，設(shè)置初始溫度為T0=10E0/kB.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

通過蒙特卡羅的退火計(jì)算模擬結(jié)果，如圖2所示，我們發(fā)現(xiàn)體系的能量很快地降低于目前根據(jù)對稱性所知的3種可能存在的結(jié)構(gòu)[5]所對應(yīng)的體系總能量. 隨著時(shí)間繼續(xù)演化，體系的能量逐漸地趨于收斂. 其收斂時(shí)的體系能量為Emin=1543.83E0，相比于截角二十面體(足球烯結(jié)構(gòu))所對應(yīng)的能量低8.07，相比于3種已知結(jié)構(gòu)的最穩(wěn)定態(tài)結(jié)構(gòu)，比小斜方截半二十面體，的能量低2.98，說明我們通過蒙特卡羅計(jì)算模式所獲得的結(jié)構(gòu)對應(yīng)的能量確實(shí)是最穩(wěn)定的.同時(shí)，我們也將獲得最終收斂時(shí)的體系結(jié)構(gòu)，如圖3所示，該構(gòu)型對應(yīng)的多面體是由116個(gè)三角形面組成，60個(gè)頂點(diǎn)中有48個(gè)六配位和12個(gè)五配位. 從對稱性角度看，我們還發(fā)現(xiàn)它也不具有高對稱性. 我們發(fā)現(xiàn)了不存在著中心反演對稱性，也不具有旋轉(zhuǎn)對稱性的一種全新結(jié)構(gòu).

圖2 蒙特卡羅模擬中能量隨時(shí)間的演化關(guān)系(ΔE=E-Emin，Emin為退火到達(dá)的最低能量，3條水平線分別為3個(gè)高對稱性構(gòu)型對應(yīng)的能量)

圖3 蒙特卡羅退火模擬得到的能量最低的構(gòu)型

3 總結(jié)

在本文中我們通過基于蒙特卡羅模擬方法，揭示出60個(gè)點(diǎn)電荷在球面上所形成的穩(wěn)定態(tài)的結(jié)構(gòu)并不是我們所預(yù)期的足球烯C60結(jié)構(gòu)(截角二十面體)，亦不是早先從數(shù)學(xué)對稱性角度分析給出的小斜方截半二十面體結(jié)果和扭棱十二面體結(jié)構(gòu)，而是一種新的，由116個(gè)三角形面組成，60個(gè)頂點(diǎn)中有48個(gè)六配位和12個(gè)五配位組成的新的球面空間結(jié)構(gòu).它在能量上比其它3種結(jié)構(gòu)的能量均要低.因此，這些方面的研究及其結(jié)構(gòu)不僅能為今后本科生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)物理的提供重要的思路與參考資料，而且也為后續(xù)利用基于蒙特卡羅模擬方法探索研究不同的分子結(jié)構(gòu)的模擬提供一種新的技能以尋找可能存在的新的結(jié)構(gòu).