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        若干delta勢的薛定諤方程的傅里葉變換求解

        2021-10-14 01:12:24熊路淋
        大學物理 2021年10期
        關鍵詞:宇稱奇偶勢阱

        熊路淋,譚 鑫,羅 光

        (重慶師范大學 物理與電子工程學院,重慶 401331)

        delta函數(shù)是一類重要函數(shù),該函數(shù)描述的勢在量子力學中也是一個非常重要的勢.delta函數(shù)對應薛定諤方程的求解方法的討論和研究也一直是學界的熱門,而且求解一般僅涉及由于涉及單或者雙delta勢[1-3],討論多delta勢問題則相對較少.delta勢約束下的薛定諤方程由于涉及分段問題以及相應的銜接條件,求解過程并不簡單.特別是勢的個數(shù)多時,薛定諤方程的求解過程更加繁瑣[4-6].

        針對量子力學中的傅里葉變換的討論,一般在涉及坐標空間表象和動量空間表象中的關系時才給出.實際上傅里葉變換本身是一種比較有效的求解薛定諤方程的方法.但是由于傅里葉變換的條件較為苛刻,通過查閱傅里葉變換表[7-9]可知滿足傅里葉變換的函數(shù)不多,因此在量子力學中用傅里葉變換法求解的實例不多,甚至并未真正提出這樣一個求解方法[10-13].對于涉及雙delta勢阱、三delta勢阱甚至n個delta勢阱(即梳狀delta勢阱)的薛定諤方程,如果采用傅里葉變換法來求解,則求解過程將會變得相當簡便.

        本文研究基于傅里葉變換法求解若干delta勢阱作用下定態(tài)薛定諤方程.

        1 單delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

        勢V(x)約束下的定態(tài)薛定諤方程[3]為

        (1)

        當V(x)為delta勢時,有

        V(x)=-γδ(x)

        (2)

        這種情況下,薛定諤方程的常規(guī)求解一般需要從x≠0和x=0兩種情況出發(fā),得出對應的通解形式,然后利用|x|→∞時的邊界條件以及x=0處的銜接條件,以確定相關的常數(shù),最后得出特解和能級形式.但是如果采用傅里葉變換法求解,上述繁瑣過程就可以大大簡化.

        (3)

        (4)

        對式(4)作傅里葉逆變換,可以從以下3種情況進行分析

        1)E>0:對式(4)兩邊作傅里葉逆變換,有

        (5)

        由于奇偶函數(shù)的傅里葉變換將保持函數(shù)的奇偶性的特點[14],式(5)得出的把函數(shù)也應該滿足奇偶性,即φ(-x)=φ(x),故當x>0時

        (6)

        當x<0時

        (7)

        因此傅里葉逆變換結果為

        (8)

        進而得φ(0)=0,與前文矛盾,因此需舍去.

        2)E=0:式(4)傅里葉逆變換表達式為

        (9)

        兩邊對x求導得

        (10)

        (11)

        進而得

        (12)

        所以依然需要考慮保持被變換函數(shù)的偶函數(shù)性質φ(-x)=φ(x),因此

        (13)

        由于φ(x)有限要求φ(0)=0,與前文矛盾,因此需舍去.綜合1)和2),下文就不再討論E≥0,僅僅討論E<0的情況.

        3)E<0:式(4)傅里葉逆變換結果為[9]

        (14)

        圖1 單delta勢約束下的波函數(shù)示意圖

        2 雙delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

        當V(x)為雙delta勢時,有

        V(x)=-γ1δ(x+a1)-γ2δ(x-a2)

        (15)

        (16)

        (17)

        僅考慮E<0,對上式作傅里葉逆變換,結果為[9]

        (18)

        由于雙delta勢關于縱軸對稱,方程(1)的解一般是具有宇稱性.

        (19)

        (20)

        這樣波函數(shù)可以最終確定出來,示意圖如圖2(a)所示.

        圖2 雙delta勢約束下的波函數(shù)示意圖

        (21)

        這樣波函數(shù)可以最終確定出來,示意圖如圖2(b)所示.

        3 三delta勢阱約束下傅里葉變換法求解

        當V(x)為三delta勢時,有

        V(x)=-γδ(x+a)-γδ(x)-γδ(x-a)

        (22)

        對相應的薛定諤方程做傅里葉變換可得

        (23)

        僅考慮φ(-a)eiwa+φ(0)+φ(a)e-iwa≠0且E<0,有

        (24)

        對上式作傅里葉逆變換,結果為[9]

        (25)

        利用波函數(shù)在x=-a、0、a處的取值以及歸一化條件可以確定系數(shù)φ(-a)、φ(0)、φ(a)及E的取值.由式(25),也可以畫出具有奇偶宇稱性的波函數(shù)的示意圖如圖3所示.

        圖3 三delta勢約束下的波函數(shù)示意圖

        4 奇數(shù)(2n+1)個delta勢約束下方程的求解

        當V(x)為delta勢時

        (26)

        對三delta勢阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換,得

        (27)

        (28)

        依然考慮E<0的情況,作傅里葉逆變換,結果為[9]

        (29)

        利用x=ja處波函數(shù)特殊性及歸一化條件:

        (i=-n,-n+1,…,n)

        (30)

        (31)

        可以定出能量E和φ(ja),最終可以確定出波函數(shù).由(式29),也可以畫出具有奇偶宇稱性的波函數(shù)(這里選擇n=3時)的示意圖如圖4所示.

        圖4 7個delta勢約束下的波函數(shù)示意圖

        5 偶數(shù)(2n)個delta勢約束下方程求解

        當V(x)為delta勢時,有

        (32)

        對三delta勢阱約束下的薛定諤方程作傅里葉變換,得

        (33)

        (34)

        依然考慮E<0的情況,作傅里葉逆變換,結果為[9]

        (35)

        (36)

        (37)

        圖5 8個delta勢約束下的波函數(shù)示意圖

        5 結論

        雖然基于傅里葉變換法的薛定諤方程的求解在量子力學中不多見,但這的確是一種簡捷有效的方法.從本文討論的具有若干delta勢阱約束下的薛定諤方程的傅里葉變換法求解過程可以看出這一點.

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