陳 勝，盧俊邑，滕保華

(電子科技大學 物理學院，四川 成都 611731)

近年來，隨著對低維材料的不斷研究和制備，像納米島、納米管、納米線等材料表現(xiàn)出了一些非常奇妙的性質(zhì).由于納米低維材料在微電子器件、數(shù)據(jù)存儲器上有著巨大的應用前景，從而引起了理論和實驗的廣泛研究.理論研究可以采用考慮了橫場分量的橫場Ising模型(簡稱TIM)[1]，作為在統(tǒng)計物理、量子力學中描述或預測鐵電及鐵磁材料相變性質(zhì)的重要模型，一定程度上能夠較好地與實驗結(jié)果進行對照分析.

同時，由于三維TIM模型沒有精確解[2]，因此應用了許多近似方法來研究該模型的過渡性質(zhì).平均場近似(MFA)將所有粒子的相互作用場看成一弱周期場，雖然公式簡單卻忽略了漲落，具有一定的局限性.T.Kaneyoshi利用關聯(lián)有效場理論(EFT)中的Zernike退耦近似處理(ZA)[3,4]，Teng采用的費米型格林函數(shù)的高階退耦合近似[5,6]，其結(jié)果都優(yōu)于通常的MFA.

本文基于橫場Ising模型，利用量子統(tǒng)計物理中的格林函數(shù)理論[7]，分別利用通常退耦合近似(MFA)和高階退耦合近似研究正方晶格納米島的相變性質(zhì).首先介紹關于橫場Ising模型的格林函數(shù)求解過程，并采用通常的退耦合近似(MFA)和高階退耦合近似得到納米島贗自旋的極化強度以及橫向分量方程組.然后討論在特定情況下，MFA的一些非常規(guī)結(jié)果以及產(chǎn)生機理，并與高階退耦合近似的結(jié)果進行比較.

1 模型和公式

雙層正方晶格納米島由2個具有正方晶格的單層納米島構成，如圖1，每層平面的每個位置占據(jù)一個Ising自旋，僅有自旋向上和自旋向下，共計有9個自旋1/2的極性原子.對于鐵電材料，格點之間交換相互作用常數(shù)為Jij(>0).

圖1 正方晶格納米島2D圖與3D圖(雙層)

正方晶格鐵電納米島的哈密頓量表示為[3,4,8]

(1)

(2)

我們對上述方程組2采用通常解耦合近似處理:

(3)

于是贗自旋的x和z分量可以寫成

(4)

(5)

這就是通常平均場近似(MFA)的結(jié)果.為了得到優(yōu)于MFA的結(jié)果，對運動方程鏈2進一步推導

(6)

此處采用高階退耦合近似處理：

(7)

(8)

贗自旋的極化強度z分量和x分量可以寫成

(9)

根據(jù)正方晶格納米島的結(jié)構，可以計算得到：

(10)

(11)

(12)

該系統(tǒng)只有3種位于不同環(huán)境中自旋，于是總極化強度P可以用〈Si〉、〈Sa〉(或b、c、d)，〈Se〉(或f、g、h)表示

(13)

為了定性描述，我們以J為標準，進行無量綱約化，(約化后的溫度t=kBT/J).

2 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)以前的研究[3]，我們知道納米島的“相變重入”現(xiàn)象主要在由于層間交換相互作用和橫場.JR/J較大時和Ω/J較小時，方程組4可能存在著偽解.為了研究高階退耦合近似對解的影響，我們在同一圖中描繪了MFA和高階退耦合近似的結(jié)果.

2.1 P-Ω/J曲線

我們研究了在內(nèi)外橫場相等(即Ω=ΩS)時，JR/J=1.0，JS/J=0.0，t=0.02時的極化強度與橫場的依賴關系曲線(見圖2a).當初始自旋不同向時，例如取向為|0↑↓〉時，利用MFA我們將得到納米島鐵電性將在Ω/J=0.0～0.5區(qū)間內(nèi)逐漸增強.在Ω/J=0.5時鐵電性達到峰值，此時的極化強度P=0.286，然后又從鐵電相轉(zhuǎn)變至順電相，這和T.Kaneyoshi利用EFT獲得的曲線趨勢(先增后減)大致是一致的[3].此轉(zhuǎn)變過程可以看成是經(jīng)歷了兩次相變，即順電相到鐵電相，然后在回到順電相.

在高階退耦合近似下，為了避免奇異性,我們?nèi)S/J<<1.發(fā)現(xiàn)在高階退耦合近似與MFA的極化曲線在橫場較小時有非常大的不同，與MFA極化強度曲線直接從0緩緩到達峰值PΩ=0.5，再緩緩下降至0相比，高階退耦合近似首先在橫場0～ΩC的范圍內(nèi)，極化曲線首先由一正值迅速下降到一個負值，然后在ΩC處發(fā)生突變變?yōu)橐徽?，然后緩緩下降?. 根據(jù)極化強度為0為順電相，大于0為鐵電相，小于0為反鐵電相.也就是說該相變過程在橫場0～ΩC范圍內(nèi)為鐵電相到順電相再到反鐵電相的轉(zhuǎn)變，在ΩC點由反鐵電相突變?yōu)殍F電相，然后極化強度逐漸減至0，實現(xiàn)了鐵電相到順電相的轉(zhuǎn)變，此過程經(jīng)歷了3次相變，具有3個轉(zhuǎn)變橫場Ω/J使得其發(fā)生相變.

初始自旋取向為|0↑↓〉

若初始自旋取向為|↑↑↑〉，發(fā)現(xiàn)無論是MFA還是高階退耦合近似得到的P-Ω/J曲線趨勢是完全一致的，雖然高階退耦合近似的曲線被MFA得到的曲線完全包裹，但曲線為一階梯形狀. MFA曲線中的階梯點和圖2(a)中曲線的轉(zhuǎn)折點為PΩ/J=0.5=0.286，此時從極化曲線觀察不到重入現(xiàn)象的發(fā)生.在曲線的轉(zhuǎn)折點后，極化曲線完全重合.也就是說當Ω/J≥ΩC/J=0.5時，極化強度方程組僅有唯一解.在根據(jù)無橫場(Ω=ΩS=0.0)時，零溫下鐵電材料必處于基態(tài)，自旋完全同向，即極化強度P=0.5，可以知道圖2(b)中曲線才是能正確描述納米島相變性質(zhì)的曲線.

2.2 P-JR/J曲線

類似地：在Ω/J=ΩS/J=1.0，JS/J=0.0時，我們在圖3(a)和圖3(b)時中分別利用MFA和高階退耦合近似研究了T→0K時的極化強度與層間交換相互作用常數(shù)依賴關系，同樣分別取自旋取向|0↑↓〉和|↑↑↑〉，也可以得到兩組解.我們可以發(fā)現(xiàn)此時利用MFA得到的極化曲線與圖2中極化曲線形狀是一致的，只是方向相反.根據(jù)JR是增大鐵電材料自發(fā)強度，JR/J趨于無窮大時，極化強度P=0.5，判斷得出圖3(b)才是正解所表示的曲線.

初始自旋取向為|0↑↓〉

值得注意的是，和MFA選擇同樣的參量，利用高階退耦合近似只得到唯一解.與MFA得到的結(jié)果最大的區(qū)別在于極化曲線不是兩段階梯式上升，而是在前段JR/J較小時恒為0，然后到達臨界點JRC/J時開始慢慢遞增.通過計算得知在JR/J為無窮大時P=0.5，滿足物理意義.曲線的前段的直線P=0，可以這樣進行解釋，由于橫場較大，開始時JR/J較小時，鐵電性很弱，不足以誘發(fā)納米島產(chǎn)生自發(fā)極矩.而后隨著JR/J的增大，自發(fā)極矩逐漸增加，最終達到完全自旋同向.

2.3 P-t曲線

在圖4(a)和4(b)中我們分別利用MFA和高階退耦合近似研場究了弱橫場作用下(Ω/J=ΩS/J=0.1)正方晶格納米島的極化強度隨溫度的熱變化關系.在層間交換作用JR/J=2.0，隨著表面交換相互作用的減小，極化曲線逐漸左移，居里溫度不斷下降.并且在JS/J趨于0時出現(xiàn)彎曲，表現(xiàn)出階梯形狀，在前段陡然下降，而后趨于平緩下降，JS/J越小，極化曲線彎折得越明顯，這在蜂窩晶格納米島的研究中也有相似的現(xiàn)象[10].

但是我們可以注意到，高階退耦合近似對橫場更為依賴，在弱場下，零溫下的極化強度隨JS/J的變化具有很大的差別.在相同的JS/J條件下，采用高階退耦合近似得到的極化曲線相對于MFA更為平緩，居里點更低.這是由于高階退耦合近似增大了交換相互作用與橫場的聯(lián)系，降低了MFA對于納米島鐵電性的夸大.

MFA得到的極化圖

3 總結(jié)

本文在格林函數(shù)理論的框架下，分別利用MFA和高階退耦合近似求解運動方程，研究了正方晶格鐵電納米島的極化曲線.表明了在初始自旋取向選取的不同，利用MFA可能導致在Ω/J較小時和JR/J較大時產(chǎn)生多解，即可能產(chǎn)生為偽解，觀察到重入現(xiàn)象的發(fā)生.而利用高階退耦合近似不但可以解釋更為豐富的相變過程，同時在初始自旋隨機時，幾乎僅存在唯一解，能夠有效避免偽解的產(chǎn)生，能夠更好的與實驗結(jié)果相符.本文還表明JS/J是造成極化曲線出現(xiàn)階梯形狀的主要原因，也應證了高階退耦合近似充分考慮了橫場分量對于納米島相變的影響，可以降低MFA對于鐵電性的夸大，具有更廣的適用性.另外，Ising模型和格林函數(shù)理論基本上為大學階段內(nèi)容，通過正常的物理教學可以拓展學生視野，了解學科前沿，同時也豐富了課堂內(nèi)容，鍛煉了學生分析問題和解決問題的能力.