陳 勝，盧俊邑，滕保華

(電子科技大學(xué) 物理學(xué)院，四川 成都 611731)

近年來，隨著對低維材料的不斷研究和制備，像納米島、納米管、納米線等材料表現(xiàn)出了一些非常奇妙的性質(zhì).由于納米低維材料在微電子器件、數(shù)據(jù)存儲器上有著巨大的應(yīng)用前景，從而引起了理論和實(shí)驗(yàn)的廣泛研究.理論研究可以采用考慮了橫場分量的橫場Ising模型(簡稱TIM)[1]，作為在統(tǒng)計(jì)物理、量子力學(xué)中描述或預(yù)測鐵電及鐵磁材料相變性質(zhì)的重要模型，一定程度上能夠較好地與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對照分析.

同時(shí)，由于三維TIM模型沒有精確解[2]，因此應(yīng)用了許多近似方法來研究該模型的過渡性質(zhì).平均場近似(MFA)將所有粒子的相互作用場看成一弱周期場，雖然公式簡單卻忽略了漲落，具有一定的局限性.T.Kaneyoshi利用關(guān)聯(lián)有效場理論(EFT)中的Zernike退耦近似處理(ZA)[3,4]，Teng采用的費(fèi)米型格林函數(shù)的高階退耦合近似[5,6]，其結(jié)果都優(yōu)于通常的MFA.

本文基于橫場Ising模型，利用量子統(tǒng)計(jì)物理中的格林函數(shù)理論[7]，分別利用通常退耦合近似(MFA)和高階退耦合近似研究正方晶格納米島的相變性質(zhì).首先介紹關(guān)于橫場Ising模型的格林函數(shù)求解過程，并采用通常的退耦合近似(MFA)和高階退耦合近似得到納米島贗自旋的極化強(qiáng)度以及橫向分量方程組.然后討論在特定情況下，MFA的一些非常規(guī)結(jié)果以及產(chǎn)生機(jī)理，并與高階退耦合近似的結(jié)果進(jìn)行比較.

1 模型和公式

雙層正方晶格納米島由2個(gè)具有正方晶格的單層納米島構(gòu)成，如圖1，每層平面的每個(gè)位置占據(jù)一個(gè)Ising自旋，僅有自旋向上和自旋向下，共計(jì)有9個(gè)自旋1/2的極性原子.對于鐵電材料，格點(diǎn)之間交換相互作用常數(shù)為Jij(>0).

圖1 正方晶格納米島2D圖與3D圖(雙層)

正方晶格鐵電納米島的哈密頓量表示為[3,4,8]

(1)

(2)

我們對上述方程組2采用通常解耦合近似處理:

(3)

于是贗自旋的x和z分量可以寫成

(4)

(5)

這就是通常平均場近似(MFA)的結(jié)果.為了得到優(yōu)于MFA的結(jié)果，對運(yùn)動方程鏈2進(jìn)一步推導(dǎo)

(6)

此處采用高階退耦合近似處理：

(7)

(8)

贗自旋的極化強(qiáng)度z分量和x分量可以寫成

(9)

根據(jù)正方晶格納米島的結(jié)構(gòu)，可以計(jì)算得到：

(10)

(11)

(12)

該系統(tǒng)只有3種位于不同環(huán)境中自旋，于是總極化強(qiáng)度P可以用〈Si〉、〈Sa〉(或b、c、d)，〈Se〉(或f、g、h)表示

(13)

為了定性描述，我們以J為標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行無量綱約化，(約化后的溫度t=kBT/J).

2 數(shù)值結(jié)果與討論

根據(jù)以前的研究[3]，我們知道納米島的“相變重入”現(xiàn)象主要在由于層間交換相互作用和橫場.JR/J較大時(shí)和Ω/J較小時(shí)，方程組4可能存在著偽解.為了研究高階退耦合近似對解的影響，我們在同一圖中描繪了MFA和高階退耦合近似的結(jié)果.

2.1 P-Ω/J曲線

我們研究了在內(nèi)外橫場相等(即Ω=ΩS)時(shí)，JR/J=1.0，JS/J=0.0，t=0.02時(shí)的極化強(qiáng)度與橫場的依賴關(guān)系曲線(見圖2a).當(dāng)初始自旋不同向時(shí)，例如取向?yàn)閨0↑↓〉時(shí)，利用MFA我們將得到納米島鐵電性將在Ω/J=0.0～0.5區(qū)間內(nèi)逐漸增強(qiáng).在Ω/J=0.5時(shí)鐵電性達(dá)到峰值，此時(shí)的極化強(qiáng)度P=0.286，然后又從鐵電相轉(zhuǎn)變至順電相，這和T.Kaneyoshi利用EFT獲得的曲線趨勢(先增后減)大致是一致的[3].此轉(zhuǎn)變過程可以看成是經(jīng)歷了兩次相變，即順電相到鐵電相，然后在回到順電相.

在高階退耦合近似下，為了避免奇異性,我們?nèi)S/J<<1.發(fā)現(xiàn)在高階退耦合近似與MFA的極化曲線在橫場較小時(shí)有非常大的不同，與MFA極化強(qiáng)度曲線直接從0緩緩到達(dá)峰值PΩ=0.5，再緩緩下降至0相比，高階退耦合近似首先在橫場0～ΩC的范圍內(nèi)，極化曲線首先由一正值迅速下降到一個(gè)負(fù)值，然后在ΩC處發(fā)生突變變?yōu)橐徽?，然后緩緩下降?. 根據(jù)極化強(qiáng)度為0為順電相，大于0為鐵電相，小于0為反鐵電相.也就是說該相變過程在橫場0～ΩC范圍內(nèi)為鐵電相到順電相再到反鐵電相的轉(zhuǎn)變，在ΩC點(diǎn)由反鐵電相突變?yōu)殍F電相，然后極化強(qiáng)度逐漸減至0，實(shí)現(xiàn)了鐵電相到順電相的轉(zhuǎn)變，此過程經(jīng)歷了3次相變，具有3個(gè)轉(zhuǎn)變橫場Ω/J使得其發(fā)生相變.

初始自旋取向?yàn)閨0↑↓〉

若初始自旋取向?yàn)閨↑↑↑〉，發(fā)現(xiàn)無論是MFA還是高階退耦合近似得到的P-Ω/J曲線趨勢是完全一致的，雖然高階退耦合近似的曲線被MFA得到的曲線完全包裹，但曲線為一階梯形狀. MFA曲線中的階梯點(diǎn)和圖2(a)中曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為PΩ/J=0.5=0.286，此時(shí)從極化曲線觀察不到重入現(xiàn)象的發(fā)生.在曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)后，極化曲線完全重合.也就是說當(dāng)Ω/J≥ΩC/J=0.5時(shí)，極化強(qiáng)度方程組僅有唯一解.在根據(jù)無橫場(Ω=ΩS=0.0)時(shí)，零溫下鐵電材料必處于基態(tài)，自旋完全同向，即極化強(qiáng)度P=0.5，可以知道圖2(b)中曲線才是能正確描述納米島相變性質(zhì)的曲線.

2.2 P-JR/J曲線

類似地：在Ω/J=ΩS/J=1.0，JS/J=0.0時(shí)，我們在圖3(a)和圖3(b)時(shí)中分別利用MFA和高階退耦合近似研究了T→0K時(shí)的極化強(qiáng)度與層間交換相互作用常數(shù)依賴關(guān)系，同樣分別取自旋取向|0↑↓〉和|↑↑↑〉，也可以得到兩組解.我們可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)利用MFA得到的極化曲線與圖2中極化曲線形狀是一致的，只是方向相反.根據(jù)JR是增大鐵電材料自發(fā)強(qiáng)度，JR/J趨于無窮大時(shí)，極化強(qiáng)度P=0.5，判斷得出圖3(b)才是正解所表示的曲線.

初始自旋取向?yàn)閨0↑↓〉

值得注意的是，和MFA選擇同樣的參量，利用高階退耦合近似只得到唯一解.與MFA得到的結(jié)果最大的區(qū)別在于極化曲線不是兩段階梯式上升，而是在前段JR/J較小時(shí)恒為0，然后到達(dá)臨界點(diǎn)JRC/J時(shí)開始慢慢遞增.通過計(jì)算得知在JR/J為無窮大時(shí)P=0.5，滿足物理意義.曲線的前段的直線P=0，可以這樣進(jìn)行解釋，由于橫場較大，開始時(shí)JR/J較小時(shí)，鐵電性很弱，不足以誘發(fā)納米島產(chǎn)生自發(fā)極矩.而后隨著JR/J的增大，自發(fā)極矩逐漸增加，最終達(dá)到完全自旋同向.

2.3 P-t曲線

在圖4(a)和4(b)中我們分別利用MFA和高階退耦合近似研場究了弱橫場作用下(Ω/J=ΩS/J=0.1)正方晶格納米島的極化強(qiáng)度隨溫度的熱變化關(guān)系.在層間交換作用JR/J=2.0，隨著表面交換相互作用的減小，極化曲線逐漸左移，居里溫度不斷下降.并且在JS/J趨于0時(shí)出現(xiàn)彎曲，表現(xiàn)出階梯形狀，在前段陡然下降，而后趨于平緩下降，JS/J越小，極化曲線彎折得越明顯，這在蜂窩晶格納米島的研究中也有相似的現(xiàn)象[10].

但是我們可以注意到，高階退耦合近似對橫場更為依賴，在弱場下，零溫下的極化強(qiáng)度隨JS/J的變化具有很大的差別.在相同的JS/J條件下，采用高階退耦合近似得到的極化曲線相對于MFA更為平緩，居里點(diǎn)更低.這是由于高階退耦合近似增大了交換相互作用與橫場的聯(lián)系，降低了MFA對于納米島鐵電性的夸大.

MFA得到的極化圖

3 總結(jié)

本文在格林函數(shù)理論的框架下，分別利用MFA和高階退耦合近似求解運(yùn)動方程，研究了正方晶格鐵電納米島的極化曲線.表明了在初始自旋取向選取的不同，利用MFA可能導(dǎo)致在Ω/J較小時(shí)和JR/J較大時(shí)產(chǎn)生多解，即可能產(chǎn)生為偽解，觀察到重入現(xiàn)象的發(fā)生.而利用高階退耦合近似不但可以解釋更為豐富的相變過程，同時(shí)在初始自旋隨機(jī)時(shí)，幾乎僅存在唯一解，能夠有效避免偽解的產(chǎn)生，能夠更好的與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符.本文還表明JS/J是造成極化曲線出現(xiàn)階梯形狀的主要原因，也應(yīng)證了高階退耦合近似充分考慮了橫場分量對于納米島相變的影響，可以降低MFA對于鐵電性的夸大，具有更廣的適用性.另外，Ising模型和格林函數(shù)理論基本上為大學(xué)階段內(nèi)容，通過正常的物理教學(xué)可以拓展學(xué)生視野，了解學(xué)科前沿，同時(shí)也豐富了課堂內(nèi)容，鍛煉了學(xué)生分析問題和解決問題的能力.