湖南省長(zhǎng)沙市雷鋒學(xué)校(410217) 童繼稀

湖北省恩施州教育科學(xué)研究院(445000) 周 威

一道試題通常包括顯性要素和隱性內(nèi)涵,而顯性要素就是我們能看到情境與設(shè)問(wèn)形式,隱性內(nèi)涵包括試題立意、問(wèn)題本質(zhì)、核心素養(yǎng)的體現(xiàn)等,因此試題顯性與隱性方面的共性研究包括試題立意、試題解法、試題設(shè)問(wèn)等方面.[1]通過(guò)共性研究,可以幫助師生理清出題者的命題思路,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系,備考時(shí)做到整體把握,科學(xué)定位,精準(zhǔn)發(fā)力,高效備考.本文對(duì)2021年新高考數(shù)學(xué)I 卷與Ⅱ卷中的解析幾何大題作共性方面的相關(guān)探討.

一、真題呈現(xiàn)

例1(2021年新高考I 卷第21 題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)點(diǎn)M滿足|MF1|?|MF2|=2,記M的軌跡為C.

(1)求C的方程;

(2)設(shè)T點(diǎn)在直線x=上,過(guò)T的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA||TB|=|TP||TQ|,求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解析(1)C的方程為x2?=1(x>0),過(guò)程從略.

(2)若過(guò)點(diǎn)T的直線的斜率不存在,此時(shí)該直線與曲線C無(wú)公共點(diǎn).不妨設(shè)直線AB的方程為y ?yT=與曲線C的方程聯(lián)立,消去y并整理得(k21?16)x2+k1(2yT ?k1)x+(yT ?)2+16 = 0,則xA+xB=,xAxB=且

由|TA|=可得

設(shè)直線PQ的斜率為k2,同理可得

由|TA||TB|=|TP||TQ|,即整理可得k21=k22,即(k1?k2)(k1+k2)=0,顯然k1?k2?=0,故k1+k2=0.

因此,直線AB與直線PQ的斜率之和為0.

例2(2021年新高考Ⅱ卷第20 題)已知橢圓C的方程為= 1(a >0,b >0),右焦點(diǎn)為且離心率為

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)點(diǎn)M,N是橢圓C上的兩點(diǎn),直線MN與曲線x2+y2=b2(x >0)相切.證明:M,N,F三點(diǎn)共線的充要條件是|MN|=

解析(1)橢圓C的方程為+y2=1,過(guò)程略.

(2)設(shè)直線MN的方程為x=my+n(n >0),由直線MN與曲線x2+y2=b2(x>0)相切,可得圓心(0,0)到直線MN的距離d==1,則n2?m2=1.聯(lián)立直線MN與橢圓方程,可得(m2+3)y2+2mny+n2?3=0,則yM+yN=從而

充分性若|MN|=即解得m2=1,則n=√可得直線MN過(guò)點(diǎn)即M,N,F三點(diǎn)共線.

必要性若M,N,F三點(diǎn)共線,則直線MN的斜率不為零,且過(guò)點(diǎn)有可得|MN|=

評(píng)注例1 第(1)問(wèn)考查雙曲線的定義,但需注意細(xì)節(jié),即M的軌跡只是雙曲線的其中一支,第(2)問(wèn)有序開放了問(wèn)題探索的內(nèi)容,回歸幾何問(wèn)題代數(shù)化的核心思路,解決途徑清晰,但計(jì)算量較大; 例2 第(1)問(wèn)待定系數(shù)法求曲線方程,第(2)問(wèn)以證明充要條件的形式出現(xiàn),解題思路明顯,全面考查了學(xué)生的邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).總之,都很好地落實(shí)了立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)的高考核心功能,對(duì)深化中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革發(fā)揮了積極的導(dǎo)向作用.

二、試題解法共性: 對(duì)稱結(jié)構(gòu)

兩道真題的第(2)問(wèn)中的條件式都是用弦長(zhǎng)公式,轉(zhuǎn)化為兩交點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)稱結(jié)構(gòu)(即表達(dá)式都只含“x1+x2”(或“y1+y2”)、“x1x2”(或“y1y2”),我們俗稱其為“對(duì)稱結(jié)構(gòu)”).

如例2 中

例1 中的式子

|TP||TQ|也如此,只是結(jié)構(gòu)相對(duì)復(fù)雜一點(diǎn),但不難發(fā)現(xiàn)其中都能直接利用韋達(dá)定理整體代換求解.對(duì)于兩交點(diǎn)坐標(biāo)的“非對(duì)稱結(jié)構(gòu)”,需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸(本文不再討論).

當(dāng)然,例1 也可借助直線AB與PQ的參數(shù)方程,與曲線C的方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理與參數(shù)的幾何意義求解.

三、試題的情境和設(shè)問(wèn)共性

例1 中的直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0,該題限制了點(diǎn)T在直線x=上,事實(shí)上,點(diǎn)T可以為平面內(nèi)的其它點(diǎn),雙曲線也可以換成橢圓、拋物線.

推廣1[2]過(guò)點(diǎn)T的兩條直線分別交圓錐曲線ax2+by2+cx+dy+e=0(a ?=b)于A,B兩點(diǎn)和P,Q兩點(diǎn),且|TA||TB|=|TP||TQ|,則直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

因此,例1 這樣給出限制條件,減少了一個(gè)參數(shù),可以降低計(jì)算量,使得問(wèn)題的開放程度比較順暢.同樣,例2 中滿足條件的直線MN實(shí)際有兩條,即過(guò)右焦點(diǎn)有兩條圓的切線,且它們的斜率互為相反數(shù),即斜率之和也為0.

推廣2直線l與橢圓C:= 1(a >>0)

相交于M,N兩點(diǎn),且與圓x2+y2=b2相切,則當(dāng)且僅當(dāng)直線l過(guò)橢圓焦點(diǎn)時(shí),|MN|取最大值a,且直線l的斜率k=

證明設(shè)直線l的方程為x=my+n,由直線l與圓相切,可得n2=b2+b2m2.聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,可求得弦長(zhǎng)

令t=則t≥1,且m2=t2?1,可得

當(dāng)且僅當(dāng)b2t=時(shí),|MN|取最大值a.此時(shí),可求得m2=則直線l的斜率k=且n=±c,即直線l過(guò)橢圓焦點(diǎn).

四、試題命題立意的共性

兩道高考真題都以圓錐曲線與圓的位置關(guān)系為背景,例1 比較隱性,實(shí)質(zhì)為A,B,P,Q四點(diǎn)共圓,即圓與雙曲線右支相交于四點(diǎn);例2 顯性的給出了圓與橢圓相切,最后二者都是以直線與曲線的位置關(guān)系為落腳點(diǎn).從線段長(zhǎng)度的角度看,兩道真題的命題立意可理解為基于圓的割線定理與切線長(zhǎng)定理.如果從這個(gè)角度出發(fā),雖然例1 的結(jié)論已經(jīng)在推廣1中得到了充分體現(xiàn),但例2 的推廣還能得到以下一些結(jié)論.

結(jié)論1設(shè)M,N是橢圓C:=1(a>>0)上的兩點(diǎn),直線MN與圓x2+y2=b2相切,則直線MN過(guò)焦點(diǎn)的充要條件是|MN|=a.

證明過(guò)程參照推廣2.

推論1過(guò)橢圓C:焦點(diǎn)F的直線l與橢圓相交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=a,則直線l與圓x2+y2=b2相切.

證明由橢圓的對(duì)稱性,不防設(shè)F為右焦點(diǎn),直線l的方程為x=my+c.聯(lián)立直線l與橢圓C的方程,求得|MN|=由|MN|=a,即=a,整理得m2=?2,則圓心(0,0)到直線l的距離

故直線l與圓x2+y2=b2相切.

上述結(jié)論也可遷移到雙曲線背景下:

結(jié)論2設(shè)M,N分別是雙曲線C:= 1(b >a >0)左右兩支上的點(diǎn),直線MN與圓x2+y2=a2相切,則直線MN過(guò)焦點(diǎn)的充要條件是|MN|=

證明設(shè)直線MN的方程為x=my+n,則直線斜率即b2m2?a2>0.由直線MN與圓相切,可得n2=a2+a2m2.聯(lián)立直線MN與雙曲線方程,可求得弦長(zhǎng)|MN|=

充分性若|MN|=即將左邊分子分母同時(shí)除以m2并整理得

令t=則=t2?1,有整理得a2bt2+ (b2?a2)ct ?bc2= 0,即(a2t+bc)(bt ?c)= 0,解得t=m2=可得n==±c,從而直線MN過(guò)焦點(diǎn).

必要性若直線MN過(guò)焦點(diǎn),則直線MN的斜率不為零,且n2=c2,可得c2=a2+a2m2,解得m2=

即m=從而,

推論2直線l與雙曲線C:=1(b>a>0)兩支分別交于M,N兩點(diǎn),且與圓x2+y2=a2相切,則|MN|的取值范圍為

證明由以上結(jié)論2 的證明過(guò)程,可知|MN|=令t=則1 ≤t <且=t2?1,可得|MN|=易知|MN|關(guān)于t單調(diào)遞增,當(dāng)t= 1,即直線l的斜率為0 時(shí),|MN|取得最小值故|MN|的取值范圍為

推論3過(guò)雙曲線C:= 1(b > a >0)焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線兩支分別交于M,N兩點(diǎn),且|MN|=則直線l與圓x2+y2=a2相切.

證明由雙曲線的對(duì)稱性,不防設(shè)F為右焦點(diǎn),直線l的方程為x=my+c.聯(lián)立直線l與雙曲線C的方程,求得|MN|=

由|MN|=整理得m2=則圓心(0,0)到直線l的距離

故直線l與圓x2+y2=a2相切.

結(jié)語(yǔ)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》在學(xué)業(yè)質(zhì)量水平描述中提出能夠在解決相似的問(wèn)題中感悟數(shù)學(xué)的通性通法,在命題建議中提出考查內(nèi)容應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)、通性通法,淡化解題技巧.而在情境設(shè)問(wèn)和命題立意上進(jìn)行試題共性研究更能抓住問(wèn)題的本質(zhì),更有利于提煉通性通法來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行基于“情境—問(wèn)題”的變式和拓展,從而引發(fā)學(xué)生思考與交流,形成和發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).