福建省德化第一中學(362500) 王瓊瓊 吳志鵬

1 陳題重論,別有洞天

題目1(2018年高考全國I 卷理科第12 題)已知正方體的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則α截此正方體所得截面面積的最大值為

在教學過程中,常用高考實測試題做為例題,教者常會以“題”論題,充分挖掘高考實測試題的教學價值.若僅停留于“題”答案的陳述,淺嘗輒止,就無法發(fā)揮“題”的作用.筆者認為基于高考實測試題的以題“論”題,“論”的是如下三方面: 一、模擬初試者的狀態(tài),剖析思路形成或思路受阻的原因;二、要尋找解決該題問題的規(guī)律,由特殊到一般,由一題會一類題,總結通性通法;三、在問題解決過程中培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng),尋找素養(yǎng)落地之軌跡.本文從這三方面對上述高考試題進行闡述.

1.1 溯初試之心,以學生為本

“不憤不啟,不悱不發(fā)”,對于有一定難度的高考實測試題,教者更需注重學情分析,了解初試者的狀態(tài),以學生的原有認知為出發(fā)點,尋找解題的突破口.面對這道試題,初試者主要體現(xiàn)出“沒思路”和“突然頓悟”兩種情況.答對的學生,大都是避開了繁瑣的數(shù)學運算,利用直觀想象,發(fā)現(xiàn)截面為那個“特殊的正六邊形”,但又說不出理由.數(shù)學是“看”出來的,不是“證”出來的,在教學中要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學直觀.但作為從教者,不能只告訴學生“悟”的結果,因為“悟”的實質是素養(yǎng)沉淀的體現(xiàn),而追溯“悟”的成因,才是尋求“直觀想象”素養(yǎng)落地的過程.讓“直觀想象”素養(yǎng)的落實具有可操作性,這正是研究這道高考實測試題的價值之一.

1.2 回歸教材,有跡可循

雖筆者認為“悟”出有因,但很長一段時間都在琢磨滿足題意的“截面”學生是如何直觀取得,在這些平行平面中又如何找到面積最大的“截面”,源在哪里?

課例再現(xiàn)1(2004 版人教A 版教材必修二第二章的復習參考B 組第2 題)如圖1,在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,求證:

(1)對角線B1D⊥平面A1BC1;

(2)B1D與平面A1BC1的交點H是ΔA1C1B的重心(三角形三條中線的交點).

課例再現(xiàn)2(2004 版人教A 版教材選修2-1 習題3.2 第4 題)如圖2,正方體ABCD ?A1B1C1D1中,點E,F,G,H,K,L分別是AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA各棱的中點.

(1)求證:A1C⊥平面EFGHKL;(2)略.

圖1

圖2

上述兩個經(jīng)典的例題,2019 版人教A 版教材均將其保留于對應的章節(jié)中.再次回歸教材之后,突然明白“頓悟”的根源: 教材的這兩道習題中空間幾何體的截面模型已經(jīng)是學生“截面知識”儲備的一部分,對學生解決新的“截面”問題,起到了很大的幫助作用.可見“直觀想象”素養(yǎng)的落地,離不開幾何圖形、數(shù)學模型等數(shù)學原型的直觀,除了獲取課例中所要證明的兩個結論之外,我們還可以從上面兩個空間幾何體的原型中獲得以下相關信息:

(1)圖1 中直線B1A1,B1C1,B1B與平面A1BC1所成的角均相等; 根據(jù)兩平行直線與同一個平面所成的角相等,可知正方體的12 條棱與平面所成的角相等;

(2)圖1 中H是體對角線B1D的一個三等分點,直線與面D1AC的交點是線段B1D的另一個三等分點.

(3)圖2 中平面EFGHKL過對角線的中點,且把正方體分成體積相等的兩部分.

平面A1BC1滿足了“每條棱所在直線與平面α所成的角都相等”這個要求,與平面A1BC1平行的平面有無數(shù)多個,考題研究的是這些平行平面組被正方體所截得的截面面積最大的情形.

1.3 從特殊到一般,從動態(tài)中探求規(guī)律

先直觀判斷,作出預測,然后證明,這是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的基本思路.特殊位置雖是解題的一個突破口,在日常的教學中,若僅停留于特殊值位置,就錯過了培養(yǎng)思維深刻性的機會,也錯過了讓學生進行“直觀想象”的好機會,“形缺數(shù)時難入微,數(shù)缺形時少直觀”,為了激發(fā)學生對點P運動過程的自主探索,體驗截面圖形的變化情形,筆者設置了如下探究.

探究如圖3,正方體ABCD ?A1B1C1D1棱長為a,動點P在對角線B1D上,過點P作垂直于B1D的平面α.

(1)當點P從點D運動到點B1時,平面α截正方體所得到的截面圖形有什么變化?

圖3

(2)若DP=x,記所得的截面多邊形的周長和面積分別為L和S,請分別寫出周長L和面積S關于x的解析式,并研究面積與周長何時能取到最大值.

1.3.1 分析規(guī)律,直觀判斷

針對第一問,有了教材習題做鋪墊,學生便會聯(lián)想到從正三角形D1AC與正三角形A1C1B這兩個特殊位置入手.經(jīng)分析,可推斷截面圖形的變化規(guī)律: 從D →一般正三角形→正三角形D1AC →一般的六邊形EFGIJK →正六邊形E0F0G0I0J0K0→一般的六邊形EFGIJK →正三角形A1C1B →一般正三角形→B1.在分析的過程中,大部分學生能直觀感知面積的變化是關于某一個位置對稱的,而正六邊形E0F0G0I0J0K0恰好過正方體的中心,將正方體的體積一分之二,因而可認定這個中間位置就是正六邊形E0F0G0I0J0K0,也就是截面面積最大的位置.通過對截面圖形變化情形的想象與推斷獲得相應的結論,這也使得學生數(shù)學“直觀想象”核心素養(yǎng)得到進一步的提升.

1.3.2 以數(shù)解形,深化認知

針對第二問,當0

根據(jù)截面變化的規(guī)律,研究周長與面積最大值的問題,只需研究當時的情況,此時設平面α截正方體所得的多邊形是對邊分別平行的六邊形EFGIJK(如圖3).可算得EF=所以EF+FG=(D1F+FC1)=

同理可證:GI+IJ=JK+KE=此時,六邊形EFGIJK的周長為定值

不同于正六邊形E0F0G0I0J0K0具有良好的對稱性,為了方便計算面積,筆者連結KG,將六邊形EFGIJK分割為兩個梯形,并過E,F,J,I分別做KG的垂線EE1,FF1,JJ1,II1(如圖4).

圖4

設EF=m,FG=?m,因為GK=AC=則GF1=?m),可得:FF1=?m),所以梯形EFGK的面積為:+m)(?m),即(2a2?m2).

設JI=n,IG=?n,同理可得梯形KGIJ的面積為:(2a2?n2).所以,六邊形EFGIJK的面積為[4a2?(m2+n2)].又因為FG+GI=則可得m+n=由基本不等式有:m2+n2=(m+n)2?2mn≥=a2,當m=n=時,六邊形EFGIJK的面積有最大值此時六邊形EFGIJK是正六邊形.

從上述的分析過程可知,從正三角形D1AC到正三角形A1C1B這個范圍內(nèi)截面均為六邊形,六邊形的周長為定值當該六邊形的各邊均相等時,面積達到最大值

這一問讓學生體會了適當?shù)淖兞考僭O,便可將幾何問題抽象為代數(shù)問題,然后借助嚴格的邏輯推理驗證直觀判斷的結果.

1.4 變式應用,凸顯素養(yǎng)

變式如圖5,已知四面體ABCD為正四面體,AB=2,E,F分別是BC,AD中點.若用一個與直線EF垂直,且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體,由此得到一個多邊形截面,則該多邊形截面面積最大值為( ).

圖5

圖6

分析正四面體是學生較為熟悉的幾何體,在教材中也多次談及過棱中點的截面,本題論及過棱中點的截面,所以學生在解題時,也可參考這個截面作直觀想象.

因為各個面是正三角形,AE=ED,可知EF⊥AD,同理可得EF⊥BC.

只需在AC上任取點H,過點H分別作HI//AD交CD于點I,GH//BC交AB于點G,過點G作GJ//AD交BD于J,由線面平行的判定與性質可證GH//IJ,得到四邊形GHIJ為平行四邊形(如圖6),再由線面垂直的判定,可證EF⊥面GHIJ.

易證BC⊥面AED,則BC⊥AD,所以四邊形GHIJ是矩形.易證: ΔAGH和ΔHCI都是等邊三角形,因此GH+HI=AH+HC= 2.故矩形GHJI的面積為GH ·HI≤

2 一石激起千層浪,再論截面問題

截面問題是教學的一個難點,其難點正是來自于截面圖形的確定以及運動變化時引發(fā)截面圖形變化的想象與思考.如何幫助學生突破這個難點是值的思索的問題.筆者認為可以基于該高考實測試題這個熟悉的情境,設置探究問題,幫助學生經(jīng)歷利用尺規(guī)作出空間幾何體截面圖形的過程,體驗“直觀想象”素養(yǎng)的落地.

探究1在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,E,H,I分別為A1D1,BC,AB的中點,請作出平面EHI截此正方體所得的截面.

圖7

分析如圖 7,IH ?面ABCD,直線IH為截面的一條邊,而E ∈面A1B1C1D1且 面ABCD// 面A1B1C1D1,故可過點E作EF//IH交C1D1于 點F,可 知F為C1D1的中點.延長EF交B1C1的延長線于點M,M ∈B1C1?面BCC1B1,H ∈面BCC1B1,連結MH交CC1于點G,則HG為截面的另一條邊.同理可作出截面的邊IJ,再連結JE,GF,得到截面EFGHIJ,根據(jù)做圖過程,可證明該六邊形為正六邊形.

探究2在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,G,H,I分別為CC1,BC,AB的中點,請作出平面GHI截此正方體所得的截面.

圖8

分析如圖8,GH,HI顯然是截面的兩條邊,G ∈面GHI∩面CDD1C1,故這兩個面必要一條交線,交線的確定除了點G外,還需要另外一個點.此點的確定,考慮的是三角形IHG中不過點G的另一邊IH,因此利用直線的“延展性”,延長IH交DC的延長線于點M,交DA的延長線于點N,由作圖過程可知GM為面GHI與面CDD1C1的交線,故延長MG并延長交C1D1于點F.可知點F為C1D1的中點,此時便是與探究1 類似的模型.只需再過F作FE//A1C1交A1D1于點E,連結EN交AA1于點J,可得截面EFGHIJ.

探究3在正方體ABCD ?A1B1C1D1中,E,G,I分別為A1D1,CC1,AB的中點,請作出平面EGI截此正方體所得的截面.

圖9

分析E,G,I分別在不同的平面上,作直線EG與底面ABCD的交點,但由于交點在平面外,故將正方體補形(如圖9),即延長直線BC,B1C1,DC,D1C1作與原正方體全等的正方體CPQR ?C1P1Q1R1.取PQ的中點M,連結CM,EC1.易證ΔEGC1與ΔMGC全等且E,G,M三點共線.連結MI交BC于點H,可證H為BC的中點,便可轉化為探究1 的模型.

作空間幾何體的截面的原理是在“過不共線的三點確定一個平面”這個基本事實及三個推論來確定點、線的共面,并結合“如果兩個不重合的平面有一個公共點,則它們有且只有一條過該點的公共直線”,由公共點確定兩面的交線,繼而實現(xiàn)“面的有效延展”.如探究1,2 中均有兩點已在正方體的同一個表面,這兩點的連線便是截面與正方體表面的交線,即截面邊所在的直線.其中探究1 的第三點在這兩點所在表面的平行平面中,可“作平行”確定共面直線,較易實現(xiàn);探究2 的第三個點在相鄰的表面中,則需把“面面交線”利用直線與平面的無限延伸性轉化為“線面交點”,找出兩個平面的兩個公共點,從而確定交線,這類型也是考查最為頻繁的,學生在尺規(guī)作圖時需要多嘗試,才能掌握好;而探究3 的三個點是在正方體三條兩兩異面的邊所在的直線上,任意兩點的連線都不是截面的邊,則可通過補形的方式,輔助空間想象.

上述三個問題情境雖有區(qū)別,但作出的截面卻是一致的,可謂是殊途同歸.筆者在與學生交流時,發(fā)現(xiàn)學生面對上述三個探究時,主要是“直觀”地看出截面就是那個“特殊的正六邊形”,為了更好地培養(yǎng)學生“直觀想象”核心素養(yǎng),讓學生的“想象”來得更準確,更“有據(jù)可依”,有必要要求學生深究作圖的原理,保留作圖痕跡.

結語: 數(shù)學“直觀想象”素養(yǎng)是數(shù)學核心素養(yǎng)之一,直觀想象是借助于幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)和變化,利用空間形式特別是圖形來理解和解決問題的素養(yǎng),空間幾何體中的截面變化問題,是“直觀想象”素養(yǎng)形成的重要載體,對教材內(nèi)容的深度挖掘對素養(yǎng)落地有著”潤物無聲的效果“.