新疆烏魯木齊市新疆師范大學數(shù)學科學學院(830017) 楊潤冰 楊 軍

1 問題提出

高中數(shù)學人教版必修2“圓與方程”B 組第2 題是“長度為2a的線段PQ的兩個端點P和Q分別在x軸和y軸上滑動,求線段PQ的中點M的軌跡方程”.該習題源于生活情境“滑落的梯子”,求的是“滑落的梯子”的中點軌跡.根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”,易知“滑落的梯子”的中點軌跡是以原點為圓心,a為半徑的圓.

另一方面,“梯子”在滑動過程中掃過一個平面區(qū)域,這個區(qū)域的邊界曲線的方程是什么呢? 這個問題本質(zhì)上是平面曲線的包絡,可以利用高等幾何的知識解決,但是基于“滑的最遠”的位置就是“邊界”的樸素思想,本文試著通過高中數(shù)學求函數(shù)最大值的方法探求“滑落的梯子”的邊界曲線,以饗讀者.

2 在互相垂直的直線上“滑落的梯子”的邊界曲線

如圖1,長度為d的線段PQ的兩個端點P和Q分別在x軸非負半軸和y軸非負半軸上滑動,傾斜角為α(α ∈的射線OT與滑動的線段PQ交于點M.記線段OM長度最大時的點M為N,則點N即為“滑落的梯子”PQ掃過的平面區(qū)域邊界曲線上的點.下面求射線OT的傾斜角在變化過程中,點N的軌跡(即邊界曲線)方程.

設線段PQ與x軸的夾角∠OPQ=t,則OP=dcost,OQ=dsint,利用正弦定理有解得OM=f(t)=其中t ∈(0,).下面求函數(shù)f(t)的最大值.

圖1

圖2

求導得f′(t)=記tan3t0= tanα(其中t0∈利用函數(shù)tan3t的單調(diào)性可知,當t ∈(0,t0),f′(t)>0,當t ∈f′(t)<0.故f(t)在區(qū)間(0,t0)上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).從而fmax(t)=f(t0),其中t0∈且滿足方程tan3t= tanα.故而“滑落的梯子”掃過區(qū)域邊界曲線上點N的坐標為整理得

注意到極端情形t+α= 0 或π時,邊界曲線上點的坐標也滿足上式,從而邊界曲線(如圖2)的參數(shù)方程為進而,如果允許“滑落的梯子”的兩個端點在x軸負半軸或y軸負半軸上滑動,基于對稱性,得到完整的邊界曲線如圖3 所示,此曲線是一種特殊的圓內(nèi)旋輪線“星形線”.

圖3

圖4

3 在不互相垂直的直線上“滑落的梯子”的邊界曲線

如圖4,射線l的傾斜角為長度為6 的線段PQ的兩個端點P和Q分別在x軸非負半軸和射線l上滑動,傾斜角為的射線OT與滑動的線段PQ交于點M.記線段OM長度最大時的點M為N,則點N即為“滑落的梯子”PQ掃過的平面區(qū)域邊界曲線上的點.下面求射線OT的傾斜角α在變化過程中,點N的軌跡(即邊界曲線)方程.

設線段PQ與x軸的夾角∠OPQ=t,利用正弦定理得故OP=進而得OM=f(t)=其中,α ∈

令

則f′(t)與g(t)異號.下面討論g(t)的正負和其零點問題.求導得

因g′(t)的分母恒大于零,只需討論分子

的正負.為此先討論復合函數(shù)h(t)的單調(diào)性.

故h(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).

故h(t)在區(qū)間上為增函數(shù).

下面討論h(t)的正負,進而推知g′(t)的正負和其零點.

由h(t)在區(qū)間上為增函數(shù),且=4>0,故均有h(t)>0.由h(t)在上為增函數(shù),且= 0,故?t ∈均有h(t)<0;又h(t)在區(qū)間上為減函數(shù),且= 15>0,故h(t)在區(qū)間內(nèi)存在唯一零點t′,且當t ∈,t′)時,h(t)>0,當時,h(t)<0.

綜上可知,當t ∈時,g′(t)>0; 當t ∈時,g′(t)<0.從而g(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間上為減函數(shù).

由g(t)在區(qū)間上為減函數(shù),故?t ∈g(t)>=?tanα≥0.又=?tanα≤0,?tanα≥0,故函數(shù)g(t)在區(qū)間上存在唯一零點t0,且當t ∈[,t0),g(t)≤0; 當t ∈(t0,),g(t)>0.

注意到f′(t)與g(t)異號,從而t ∈t ∈(t0,),f′(t)<0,故f(t)在區(qū)間上為增函數(shù),在區(qū)間(t0,)上為減函數(shù).又f(t)在區(qū)間(0,]上為增函數(shù)(見前),從而f(t)僅在t0處取到最大值,其中t0為函數(shù)g(t)在區(qū)間上的唯一隱含零點,即t0滿足

且t ∈

從而“滑落的梯子”掃過區(qū)域邊界曲線上的點N的坐標為

整理得邊界曲線(如圖5)的參數(shù)方程為

進一步,如果“滑落梯子”的兩個端點分別在由原點出發(fā)的6 條射線中的任相鄰兩條射線(夾角均為)上運動,則得到完整的邊界曲線如圖6 所示.

圖5

圖6

本文以“滑落的梯子”為情境,探究了其掃過的平面區(qū)域的邊界曲線問題.這樣的探究無疑對培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算等數(shù)學核心素養(yǎng)和提升教師數(shù)學解題教學能力均具有重要的意義和價值.