廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 劉振興

圓錐曲線是每年高考必考題,有較強(qiáng)的區(qū)分度.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出對圓錐曲線“重點提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)”.要求學(xué)生“能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程: 根據(jù)具體問題情境的特點,建立平面直角坐標(biāo)系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋,解決幾何問題.”遵循新課標(biāo)思想,筆者對2021年佛山二模第20 題的解法進(jìn)行探究,對結(jié)論進(jìn)行了推廣.

一、預(yù)備知識

在文獻(xiàn)[1]第15 頁習(xí)題6 中有如下結(jié)論.

引理1若PQ是橢圓=1(a>b>0)上對中心張直角的弦,則

在雙曲線中,也有類似的結(jié)論.

引理2若PQ是雙曲線=1(b > a >0)上對中心張直角的弦,則

證明設(shè)P(asecα,btanα),Q(asecβ,btanβ),則kOP·kOQ==?1,所以sinαsinβ=

二、試題呈現(xiàn)

題目(2021年佛山二模第20 題)已知橢圓C:=1(a>b>0)的某三個頂點形成邊長為2的正三角形,O為C的中心.

圖1

(1)求橢圓C的方程;

(2)P在C上,過C的左焦點F且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,是否存在常數(shù)λ,使得|AF|·|BF|=λ|OP|2? 若存在,求出λ的值;若不存在,說明理由.

三、解法探究

解(1)+y2=1(過程省略);以下考慮(2)的解答.

解法1(兩點間距離公式法)由題意知,顯然AB的斜率不為0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為:x=my ?將其與+y2= 1 聯(lián)立得(m2+3)y2??1 = 0,所以y1+y2=從而

直線OP方程為x=my,將其與+y2=1 聯(lián)立得所以|OP|2= (1 +m2)yP2=所以|AF||BF|=因此存在使得|AF|·|BF|=λ|OP|2.

評析直線與橢圓綜合問題,最基本的方法是聯(lián)立直線與橢圓,利用兩點間距離公式求|AF|·|BF|.設(shè)直線AB的方程時,若采用點斜式,則要分類討論計算量會更大.

解法2( 向量法)因為所以

所以|AF|·|BF|== (m2+1)·下同解法1,所以存在λ=使得|AF|·|BF|=λ|OP|2成立.

評析本題關(guān)鍵的步驟是要把|AF|·|BF|轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算,注意到A,F,B三點共線,得到|AF|·|BF|=從而把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算.

解法3(焦半徑法)由解法1 得

評析橢圓中出現(xiàn)AF,BF,聯(lián)想到焦半徑公式.

圖2

解法4(橢圓變換成圓)作伸縮變換則橢圓C:+y2= 1 變成圓C′:(x′)2+(y′)2=1,左焦點變成F′(,0),左右兩端點變成A′1(?1,0),A′2(1,0),所以|A′1F′|=1?,|A′2F′|=1 +,|O′P′|= 1,由相交弦定理得|A′F′||B′F′|=|A′1F′||A′2F′|= 1?因為AB//OP,所以所以存在λ=使得|AF|·|BF|=λ|OP|2.

評析很多較復(fù)雜的橢圓問題,如果作伸縮變換,轉(zhuǎn)化為圓的問題,求解過程會很簡單.本題的命題背景,就是從圓的性質(zhì),伸縮變換到橢圓中.

解法5( 參數(shù)方程法)設(shè)直線AB的參數(shù)方程為(t為參數(shù),α為直線AB的傾斜角),代入+y2=1,得(cos2α+3sin2α)t2?()t?1=0.所以t1t2=從而|AF|·|BF|=|t1t2|=直線OP的參數(shù)方程為為參數(shù),α為直線OP的傾斜角),代入+y2= 1,得(cos2α+3sin2α)t2?3 = 0.所以t2=故|OP|2=t2=所以|AF||BF|=所以存在λ=使得|AF|·|BF|=λ|OP|2.

評析出現(xiàn)|AF|·|BF|,聯(lián)想到參數(shù)方程法,|AF|·|BF|=|t1t2|,使用參數(shù)方程法解題時,需要理解參數(shù)t的幾何意義,計算過程會更簡潔.

四、拓展推廣

2021年佛山二模第20 題已知的橢圓改為一般的橢圓,左焦點改為焦點,可以得到一般性的結(jié)論.

定理1已知點P在橢圓C:= 1(a > b >0)上,過C的焦點F且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,則|AF|·|BF|=

證明不妨設(shè)F為左焦點,設(shè)直線AB的參數(shù)方程為得

所以t1t2=所以|AF| · |BF|=|t1t2|=直線OP的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入= 1 得(b2cos2α+a2sin2α)t2?a2b2= 0.所以t2=從而有|OP|2=t2=所以即|AF|·|BF|=

定理1 中的結(jié)論是|AF|,|BF|乘積形式|AF|·|BF|,若改成和|AF|+|BF|=|AB|,可以得到如下結(jié)論.

定理2已知點P在橢圓C:= 1(a > b >0)上,過C的焦點F且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,則|AB|=

證明由定理1 證明中的(?)式知

又由定理1 的解答過程知|OP|2=所以

如果把定理2 中OP//AB,改成OP⊥AB,可得如下定理3.

定理3已知點P在橢圓C:= 1(a > b >0)上,過C的焦點F且垂直于OP的直線與C交于A,B兩點,則

證明如圖3,作半弦OQ⊥OP,根據(jù)定理2 和引理1 得

如果把定理1 中的焦點改為平面上任意點,可得到如下結(jié)論.

圖3

圖4

定理4已知點P在橢圓C:= 1(a > b >0)上,點Q(x0,y0)是平面上任意一點,若過點Q且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,則|AQ| · |BQ|=

證明設(shè)直線AB的參數(shù)方程為為參數(shù)),代入=1 得到: (b2cos2α+a2sin2α)t2+(2b2x0cosα+2a2y0sinα)·t+b2x20+a2y20?a2b2=0,所以|AQ| · |BQ|=|t1t2|=又有定理1 的解答過程知|OP|2=所以 即|AQ|·|BQ|=

上述四個定理,由橢圓推廣到雙曲線,也可得到類似的結(jié)論.

定理5已知點P在雙曲線C:=1(a>0,b>0)上,過C的焦點F且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,則|AF|·|BF|=

定理6已知點P在雙曲線C:=1(a>0,b>0)上,過C的焦點F且平行于OP的直線與C交同一支于A,B兩點,則|AB|=

定理7已知點P在雙曲線C:=1(b>a>0)上,過C的焦點F作垂直于OP的直線交C同一支于A,B兩點,則

定理8已知點P在雙曲線C:= 1(a >0,b >0)上,點Q(x0,y0)是平面上任意一點,若過點Q且平行于OP的直線與C交于A,B兩點,則|AQ|·|BQ|=

若將定理1-4 中的橢圓推廣到拋物線,則也可以得到類似的結(jié)論,不過得到的結(jié)論沒有橢圓和雙曲線中那么完美,與直線AB 的傾斜角有關(guān),表達(dá)式較復(fù)雜,本文不再贅述.但由于拋物線表達(dá)式的特殊性,可以得如下兩個定理.

定理9已知點P 在拋物線C :y2=2px(p>0)上,過C 的焦點F 且平行于OP 的直線與C 交于A,B 兩點,則

(1)||AF|?|BF||=|OP|;

(2)4|FA|2·|FB|2?4p2|FA|·|FB|=p2|OP|2;

(3)|AB|2?2p|AB|=|OP|2.

證明如圖 5,設(shè)直線 AB 的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),代入y2= 2px 得(sin2α)t2?(2p cos α)· t ?p2= 0,所以t1+ t2=所以||AF|?|BF|| = ||t1|?|t2|| =|t1+t2|=

圖5

因為p2|OP|2=p2·,||AF|·|BF||=|t1t2|=所以

所以4|FA|2·|FB|2?4p2|FA|·|FB|=p2|OP|2.

因為

定理10已知點P 在拋物線C : y2= 2px (p > 0)上,過C 的焦點F 且垂直于OP的直線與C 交于A,B 兩點,則|OP| =

圖6

證明由定理9 的證明過程知||AF|·|BF|| =||AF|?|BF||=所以