汪 杰 洋， 齊 興 華， 劉 俊 俏， 馬 晨 光

( 1.大連工業(yè)大學 信息科學與工程學院， 遼寧 大連 116034；2.大連工業(yè)大學 管理學院， 遼寧 大連 116034 )

0 引 言

混沌是一種普遍存在于自然界中的運動狀態(tài)，對初始條件敏感，變化具有隨機性，長期行為具有不可預測性。其宏觀上雖呈現出無規(guī)則的狀態(tài)，但其本質是一種有序運動[1-3]?；煦缭诟鱾€領域皆有應用，例如圖像與文字加密[4]；微弱分析與檢測中的添加白噪聲、高斯噪聲[5]；機電耦合中的電機控制系統、換能系統與風電轉換系統等[6-7]。研究者根據混沌系統的特性建立起對應的動力學方程，并通過軟件仿真，硬件實現等手段對其進行研究，如Ruelle與Takens在研究奇怪吸引子的基礎上，提出湍流理論，成為混沌實現的重要基礎理論[8]?；煦珉娮与娐返挠布崿F是研究中的一種重要手段，是非線性科學中的一門前沿課題，其理論主要起源于對Lorenz系統和Chua系統的電路設計和研究[8-10]。

光纖激光器的介質材料通常使用摻雜少量稀土元素的光纖。作為一種典型的固體激光器，其大多利用光泵浦作為激發(fā)源(用1束強光照射激光器的基質材料，激勵原子使其躍遷到更高的能級)，當泵浦光耦合到光纖中時，容易在直徑較小的光纖中形成高功率密度，發(fā)生粒子數反轉，進而與光學諧振器配合產生激光振蕩。相比于其他種類光纖，摻雜鉺離子的光纖在低損耗第三通信窗口具有更高的增益[11]。得益于其性質特點，摻鉺光纖激光器具有可用帶寬較寬、與光纖元件兼容性好、信噪比高以及與光纖通信最低損耗窗口相匹配等特點[12]。鉺離子的亞穩(wěn)態(tài)壽命最高可達10 ms，并且光纖芯功率密度高，使用摻雜鉺離子的光纖作為激光介質的激光器對光信號具有放大作用并且可以由連續(xù)工作狀態(tài)過渡到混沌狀態(tài)[13-14]。光纖激光器是一種非線性系統，根據Arecchi以弛豫時間作為標準的分類方式可分為A、B和C三類[15]。其中A類和B類產生混沌的方式是引入一個新的自由度，而C類激光器不需要引入自由度便可以獨立產生混沌行為[16]。本研究所使用的單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器是一種以摻鉺光纖作為基質材料的激光發(fā)生裝置，是一種C類激光器[17]。

1965年，Snitzer完成了摻鉺光纖激光器的硬件實現。自1985年，南安普頓大學對摻鉺光纖的研究取得巨大進展后，研究人員開始對摻鉺光纖激光器的動力學特征從理論和實驗進行研究[18-21]。摻鉺光纖激光器產生混沌的方法主要有：利用雙環(huán)耦合作用；利用非線性克爾效應進行泵浦或損耗調制；利用高摻雜光纖中的鉺離子對作用等[22-23]。本研究利用雙環(huán)耦合作用，將兩個單環(huán)摻鉺光纖激光器耦合，使其產生混沌現象。單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器混沌行為的研究需要投入較高的成本，現階段尚未出現對其進行系統全面的研究。本研究所提出的模擬電路可以表現出與單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器相同的動力學行為，其簡單的電路結構為激光器混沌行為的分析提供了一種新的研究方法。

1 系統原理

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器由兩個摻鉺光纖激光器耦合而成，其表現出的非線性動力學特征由激光器中兩激光場的實部和虛部正交偏振的耦合效應所產生，結構原理如圖1所示。單環(huán)摻鉺光纖激光器a和激光器b通過定向耦合器M0形成一個三能級激光器系統。Ipa，Ipb分別為兩個環(huán)的泵浦場強，Ea，Eb分別為兩激光器歸一化輸出激光場強度。Wdm為波分復用器，能將部分諧振腔內的激光耦合到諧振腔的外部，同時將多種波長的泵浦光耦合到摻雜了鉺離子的介質光纖中。當激光器內部的激光強頻率鎖定后，a環(huán)與b環(huán)中的激光光場通過耦合器M0實現互通。

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器是三能級激光系統，所以激光在通過耦合器M0會產生相位變化。通過對其反轉粒子數和輸出激光場的動力學行為進行分析，可以得到其動力學方程，一個新的四維自治動力學方程組，如式(1)所示。

(1)

式中：Da，Db分別為激光器a和激光器b的反轉粒子數；kα，kβ分別為激光器a和激光器b的損耗系數；gα，gβ分別為激光器a和激光器b的增益系數；δ0是光耦合器的耦合系數。

對式(1)進行無量綱處理，令ka=a，δ0=b，gα=c，kb=d，gβ=e，Ipa=l，Ipb=g，得到式(2)所示無量綱方程。

(2)

單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器中的耦合項存在非線性耦合效應，可以通過改變參數使系統以倍周期方式進入混沌狀態(tài)，穩(wěn)定表現出混沌系統的特征。以最大李雅普諾夫指數L1作為判斷依據，當L1>0時，系統處于混沌狀態(tài)，在對其進行分析后確定混沌態(tài)時的系統參數。

設無量綱化動力學方程中的各項參數為a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，計算出該參數條件下4個李雅普諾夫指數為L1=0.122 7，L2=-0.014 4，L3=-0.566 4，L4=-0.966 7。系統相圖如圖2所示。

(a) x-y平面相圖

(b) x-v平面相圖

(c) x-z平面相圖

(d) y-v平面相圖

2 系統動力學分析

2.1 系統的平衡點分析

令動力學方程組式(2)各項等于0，得到系統的3個平衡點為S1(0，0，6.666 7，6.666 7)，S2(-0.602 7，-0.459 5，0.945 0，1.475 3)，S3(-0.602 7，-0.459 5，0.945 0，1.475 3)。

在平衡點Sj(x，y，z，v)(j=1，2，3)處線性化得到其Jacobian矩陣，如式(3)所示。

(3)

Jacobian矩陣特征多項式為

f(λ)=A4λ4+A3λ3+A2λ2+A1λ+A0

式中：

A4=1

根據勞斯-赫爾維茨判據，若平衡點穩(wěn)定，應滿足條件

經計算，當系統參數取a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5時，S1，S2和S3都為不穩(wěn)定的平衡點。

2.2 系統的分岔圖及李雅普諾夫指數譜

以參數a和d作為變量，分別對應單模單環(huán)摻鉺光纖激光器a的損耗系數kα與光耦合器的耦合系數δ0。設定系統初值為(0.1，0.1，0.1，0.1)，取步長為h=0.01，固定方程的剩余參數，比較不同參數下的狀態(tài)。

取a∈[7，12]，令a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，李雅普諾夫指數譜和分岔圖如圖3所示。由圖3可知，當a∈[7.0，7.4]時，最大李雅普諾夫指數L1小于0，系統此時表現為周期窗口。當a∈[7.4，11.4]時，最大李雅普諾夫指數L1始終大于0，并且沒有其他指數大于0，所以這時系統表現出混沌狀態(tài)。a∈[11.4，12.0]時，4個李雅普諾夫指數L1、L2、L3和L4均小于0，系統此時表現為穩(wěn)定狀態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數譜

(b) 分岔圖

隨著a的增大，系統由周期態(tài)演變成混沌態(tài)又退化為穩(wěn)定的極限環(huán)。圖4分別示出當參數固定取b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，a分別取7.0，8.2和11.5時系統的x-y平面相圖。當a=7.0時，相圖為周期狀態(tài)，由李雅普諾夫指數譜可知，此時系統的4個指數均小于0，系統處于周期狀態(tài)；當a=8.2時，相圖為混沌狀態(tài)，此時系統的3個指數小于0，一個大于0，系統處于混沌狀態(tài)；當a=11.5時，相圖為極限環(huán)狀態(tài)，此時系統的3個指數小于0，一個等于0，系統處于極限環(huán)狀態(tài)，分析可知，相圖與分岔圖和李雅普諾夫指數譜完全對應。

(a) a=7.0

(b) a=8.2

(c) a=11.5圖4 系統以a為變量的x-y平面相圖Fig.4 The x-y phase diagrams when system takes a as variable

取d∈[7，12]，a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，該條件下李雅普諾夫指數譜和分岔圖如圖5所示。當d∈[7.0，7.6]時，最大李雅普諾夫指數L1等于0，系統此時表現為極限環(huán)。當d=7.7時，系統開始出現倍周期分岔現象。當d∈[7.8，11.5]時，最大李雅普諾夫指數L1大于0，并且沒有其他指數大于0，此時系統表現出混沌狀態(tài)。當d∈[11.5，12.0]，4個李雅普諾夫指數L1，L2，L3和L4均小于0，系統此時表現為穩(wěn)定的周期態(tài)。

(a) 李雅普諾夫指數譜

圖6為a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，d分別取7.5，8.1和11.5的x-y相圖，當d=7.5時，相圖為極限環(huán)，由李雅普諾夫指數譜可知，此時系統的3個指數小于0，一個等于0，系統處于周期狀態(tài)；當d=8.1和d=11.5時，相圖均為混沌狀態(tài)，此時系統的李雅普諾夫指數均為3個小于0，一個大于0，處于混沌狀態(tài)，不同的是，在d=11.5時，最大李雅普諾夫指數遠大于d取8.1時，此時系統表現出的混沌特性要遠高于d=8.1時。該結果與圖5所示分岔圖與李雅普諾夫指數譜完全對應。

(c) d=11.5

2.3 系統復雜度分析

混沌系統的復雜性表示系統與隨機序列的接近程度，其復雜度大小是待測序列隨機程度的表征。

復雜度分析包含行為復雜度和結構復雜度，兩種分析方法在變化趨勢上具有一致性。行為復雜度大多使用ApEn，SampEn和FuzzyEn等算法，這類算法在處理短數據和連續(xù)數據時，能達到很好的衡量效果，但當數據變長時，計算速度就會明顯下降。結構復雜度在處理長數據時具有較好的表現，本研究將利用SE算法和C0算法對結構復雜度進行分析。

SE(譜熵)算法主要采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內能量分布，結合香農熵得出譜熵值。C0算法主要思想是將序列分解為規(guī)則和不規(guī)則部分，對其中非規(guī)則部分比例進行測量得到結果。

本研究以參數a作為變量對系統的復雜度進行分析，其他參數取值：b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5。a∈[7，12]時仿真結果如圖7所示。

(a) SE復雜度

(b) C0復雜度

由圖7可知，SE算法和C0算法具有高度的同步性，當a<7.4時，系統處于周期狀態(tài)，當a∈[7.4，11.4]時，系統處于混沌狀態(tài)，當a>11.4 時，系統退化為極限環(huán)狀態(tài)。通過分析SE復雜度圖和C0復雜度圖可以發(fā)現，當系統處于周期態(tài)時復雜度處于低點，當系統進入混沌態(tài)時復雜度明顯增大，所呈現出的結果與圖3所示李雅普諾夫指數譜和分岔圖相吻合。

3 電路設計與仿真

混沌理論在實際工程中往往需要物理實現。本研究根據單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器系統的動力學方程組及電路理論設計出模擬電路模型，利用Multisim對其進行驗證分析，模擬電路結構如圖8所示。本電路采用線性電阻、線性電容、模擬乘法器和3288RT運算放大器等元器件。根據電子元件的基本邏輯功能，電路分別使用了反向加法比例運算電路，反向比例運算電路，反相器和反向積分器等利用運算放大器完成的模擬運算電路。該電路通過對輸入信號(x，y，z，v)的加減運算，乘積運算，變號和積分運算表現出與單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器相同的動力學特征。

圖8電路中所示元件取值如表1所示。

表1 電路元件取值表Tab.1 Circuit element value list

根據圖8所示電路模型，使用Multisim進行搭建仿真，通過改變相應電阻的取值使系統狀態(tài)改變，得到的x-y相圖如圖9所示，分別對應圖6的3個相圖。

4 系統DSP仿真

雖然單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的模擬電路可以實現，但在實際電路中相關特征條件較難準確控制，容易因為外部擾動產生誤差。本研究在DSP平臺上對本系統進行仿真，表現出的混沌現象將更加穩(wěn)定。

所使用的DSP仿真芯片為f28335，設定參數a=8.2，b=0.2，c=10，d=10，e=5，g=5，h=5，得到如圖10所示的圖像。

固定參數a=8.2，b=0.2，c=10，e=5，g=5，h=5，取參數d作為變量，得到如圖11所示的結果，分別對應參數d取7.5，8.1和9.5時的3個相圖。

(a) d=7.5

(b) d=8.1

(c) d=11.5圖9 系統隨d變化的Multisim仿真x-y平面相圖Fig.9 Multisim simulation x-y phase diagrams of the system changing with d

(c) x-z圖10 DSP仿真各平面相圖Fig.10 DSP simulation of the plane phase diagrams

(a) d=7.5

(b) d=8.1

(c) d=11.5圖11 系統隨d變化的DSP x-y平面仿真相圖Fig.11 DSP simulation x-y phase diagrams changing with d

系統DSP仿真所用的f28335芯片及示波器如圖12所示。

圖12 DSP仿真實物圖Fig.12 The physical picture of DSP simulation

5 結 論

通過對單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器進行分析，獲得一組四維動力學方程。利用相圖，分岔圖和李雅普諾夫指數譜對本系統的動力學特征進行分析。結合電路原理設計出一套模擬電路，并利用Multisim和DSP平臺對其進行驗證。實驗表明，單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器系統在特定參數條件下能夠表現出穩(wěn)定的混沌現象。根據系統方程組設計出的模擬電路在元件取值設定合理的情況下，能實現單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器同步變化。證實本模擬電路可以作為研究單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的輔助手段。本文的研究結果為單模雙環(huán)摻鉺光纖激光器的研究提供了新的思路，具有較高的應用價值。