王建永 劉翠紅 王一凡 文 文

(1.河海大學(xué)理學(xué)院 江蘇常州 213022；2.河海大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院 江蘇常州 213022)

自由度及其相關(guān)內(nèi)容是大學(xué)物理的重要組成部分之一，在理論力學(xué)、熱學(xué)等物理學(xué)分支中有非常重要的應(yīng)用價值[1][2][3]，但目前不同作者編著的大學(xué)物理教材關(guān)于自由度的講解差別很大，有的教材甚至存在不當之處。這給教師講解和學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容造成了很多困難，甚至?xí)箤W(xué)生產(chǎn)生一些錯誤認識。已有文獻[4][5][6][7]對此做了一些分析，但這些文獻的分析主要集中在自由度的定義上，對和自由度相關(guān)的其他問題一般沒有涉及，即便是關(guān)于自由度的定義的分析，也有一些可商榷之處。因此，很有必要對自由度及其相關(guān)內(nèi)容做一個比較全面的分析。

一、問題及分析

經(jīng)過查閱和分析不同作者編著的多個不同版本的大學(xué)物理教材，我們發(fā)現(xiàn)目前的大學(xué)物理教材自由度部分主要存在以下三個問題。

（一）不同教材給出的自由度的定義一般不同，而且定義比較多

經(jīng)過梳理統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)目前的教材中常見的自由度的定義有：1.確定物體的空間位置和方位所需要的獨立坐標的數(shù)目。2.描述物體運動的獨立方程的數(shù)目。3.物體能量函數(shù)中獨立的坐標和速度的平方項的數(shù)目。4.物體能量函數(shù)中廣義坐標和廣義動量的總數(shù)。另有一些不太常見的自由度定義這里就不再列出了。

可以證明，自由度的前兩個定義是等價的，后兩個定義也是等價的，但前兩個定義和后兩個定義卻不等價。因此，對于同一個研究對象，使用不同的自由度的定義，得到的自由度可能不同。例如，非剛性雙原子分子，如果使用自由度的前兩個定義，其自由度為6，如果使用自由度的后兩個定義，其自由度為7。對于其他更復(fù)雜的分子，顯然也存在這樣的問題。學(xué)生在學(xué)習(xí)中如果接觸到了不同的教材或參考書，就可能對此非常困惑，這無形中增加了他們學(xué)習(xí)的難度。當然，不同的定義各有優(yōu)缺點，前兩個定義尤其是第一個定義的優(yōu)點是簡單直觀，物體的自由度也比較容易判斷，缺點是在計算非剛性分子系統(tǒng)的內(nèi)能時需要另作處理，后兩個定義尤其是第三個定義的優(yōu)點是易于根據(jù)能量均分定理計算系統(tǒng)的內(nèi)能，但因為分子能量函數(shù)通常不易寫出，所以判斷分子的自由度通常比較困難。

經(jīng)過研究，我們建議在教學(xué)中使用第一個定義，主要理由有：1.第一個定義具有物理圖象鮮明直觀、易于掌握和判斷等優(yōu)點，而中學(xué)物理里通常沒有自由度的有關(guān)內(nèi)容，學(xué)生在大學(xué)物理中是第一次接觸自由度，應(yīng)該以簡單易學(xué)為教學(xué)標準。2.前兩個定義研究力學(xué)問題方便，后兩個定義研究熱學(xué)問題方便，而在目前的大學(xué)物理內(nèi)容體系中，力學(xué)都是排在熱學(xué)前面的。3.第一個定義的唯一的不足是在計算非剛性分子系統(tǒng)的內(nèi)能時需要另作處理，而這其實是很容易做到的，只需要補充機械振動理論中的“簡諧振動的動能的平均值和勢能的平均值相等”的結(jié)論即可。

（二）部分教材給出的確定轉(zhuǎn)動自由度的方法有問題

部分教材給出的確定轉(zhuǎn)動自由度的方法如下：如圖1所示，首先確定轉(zhuǎn)軸的空間指向，這需要知道轉(zhuǎn)軸的三個方向角α、β和γ，但由公式cos2α+cos2β+cos2γ=1可知，只要知道了兩個方向角，第三個方向角可通過該公式計算得出，因此三個方向角其實只需要知道兩個，確定轉(zhuǎn)軸的空間指向只需要兩個方向角。如果研究對象是非直線形的，則為了完全確定研究對象的空間位置和方位，還需要考慮研究對象繞著轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動，這就又需要一個坐標。因此非直線形研究對象的轉(zhuǎn)動自由度為3，而直線形研究對象的轉(zhuǎn)動自由度為2。

為了解決這些教材給出的確定轉(zhuǎn)動自由度方法的問題，我們建議采用以下方法：如圖2所示，建立球坐標系，并設(shè)圖中的向量OP和研究對象的轉(zhuǎn)軸共線且同向。球坐標系有三個坐標，即ρ、θ和φ，其中ρ用來確定P到O的距離，θ和φ用來確定向量OP的方向。由于我們已假定向量OP和研究對象的轉(zhuǎn)軸共線且同向，因此為了確定研究對象的轉(zhuǎn)軸的空間指向，只需要θ和φ兩個坐標，這就避免了上述部分教材給出的確定研究對象轉(zhuǎn)動自由度方法的問題。

（三）大多數(shù)教材在給出剛性多原子分子的自由度時沒有區(qū)分直線型分子和非直線型分子兩種情況

大多數(shù)教材給出的剛性多原子分子的自由度都是6，顯然這里的分子是非直線型的，因為非直線型分子的平動自由度為3，轉(zhuǎn)動自由度也為3，總自由度自然為6。但多原子分子還有直線型的，例如二氧化碳分子。對于直線型多原子分子，其平動自由度仍為3，但轉(zhuǎn)動自由度為2，因為可以假定分子的轉(zhuǎn)軸和分子本身共線，則分子繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動就不需要考慮了，只要確定轉(zhuǎn)軸的空間指向就可以了，而確定轉(zhuǎn)軸的空間指向，如上分析，只需要θ和φ這兩個球坐標。因此，直線型多原子分子的總自由度為5。所以，大多數(shù)教材在給出剛性多原子分子的自由度時不區(qū)分直線型分子和非直線型分子是有問題的，我們建議這些教材的作者在修訂教材時解決這一問題。

二、結(jié)束語

目前的大學(xué)物理教材自由度部分存在定義不統(tǒng)一、講解有不足等問題，這給教師講解和學(xué)生學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容增加了不少困難，甚至使學(xué)生產(chǎn)生了錯誤認識，并且影響了后續(xù)課程的學(xué)習(xí)。我們建議大學(xué)物理教材的編寫者在修訂教材時解決這些問題，在教材修訂之前，廣大的大學(xué)物理教師在教學(xué)中應(yīng)該不拘泥于教材，發(fā)揮主觀能動性，向?qū)W生傳授正確的知識和方法。