梅雪暉，劉寶，吳黎軍

(新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830046)

0 引言

競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型是一類重要的無監(jiān)督突觸修飾神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),它包含兩種狀態(tài)變量,短期記憶變量(STM)描述快速神經(jīng)活動(dòng),長期記憶變量(LTM)描述緩慢的神經(jīng)活動(dòng).自1983年Cohen和Grossberg[1]首次提出了競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)以來,出現(xiàn)了很多關(guān)于競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究,如不同時(shí)間尺度競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[2?5]、時(shí)變分布時(shí)滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[6,7]、無監(jiān)督競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]、不同時(shí)間尺度和隨機(jī)擾動(dòng)下競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]、具有不連續(xù)激活函數(shù)的時(shí)滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[10]、具有不同時(shí)間尺度和時(shí)變延遲的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[11].

此外,同步是一種典型的集體行為,它在生物進(jìn)化、化學(xué)反應(yīng)、安全通信等方面應(yīng)用廣泛.1990年,其開創(chuàng)性的研究工作由Pecora和Carroll[12]提出,自此競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題受到了越來越多學(xué)者的關(guān)注.Lou與Cui[4]研究了一類競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題,利用線性矩陣不等式方法、Lyapunov函數(shù)法、牛頓-萊布尼茲公式,設(shè)計(jì)了一些指數(shù)同步準(zhǔn)則.Gu[9]設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)反饋控制器,以實(shí)現(xiàn)具有不同時(shí)間尺度和隨機(jī)擾動(dòng)的耦合時(shí)滯競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的完全同步，利用隨機(jī)微分時(shí)滯方程的Lasalle不變性原理,研究了誤差動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的全局幾乎確定的漸近穩(wěn)定性.Gan[11]研究了一類具有不同尺度時(shí)變時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步問題，提出了一種新的延遲劃分方法,推導(dǎo)了一種保證響應(yīng)系統(tǒng)與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)同步的延遲相關(guān)條件，通過求解線性矩陣不等式,可以實(shí)現(xiàn)線性反饋控制器增益矩陣的設(shè)計(jì).Zhang等人[13]研究了混合脈沖和切換控制下復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的同步問題.研究表明,許多大型復(fù)雜動(dòng)力網(wǎng)絡(luò)都表現(xiàn)出集體同步運(yùn)動(dòng),可利用脈沖控制的概念和脈沖系統(tǒng)的穩(wěn)定結(jié)果,建立該模型的脈沖同步新準(zhǔn)則.

近年來,間歇控制等非連續(xù)反饋控制策略在交通、通信等工程中得到了廣泛的應(yīng)用[14?16].因此,對于間歇控制方法的研究十分必要,如文獻(xiàn)[17]采用周期性間歇非線性反饋控制方法,對一類具有時(shí)滯的非線性混沌系統(tǒng)進(jìn)行同步，基于Halanay不等式和Lyapunov泛函理論等方法,推導(dǎo)出了一些同步準(zhǔn)則,并得到了保證非線性系統(tǒng)無延遲同步的充分條件.文獻(xiàn)[18]用周期間歇控制方法研究了一類非線性系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定問題，給出了一組線性矩陣不等式的指數(shù)穩(wěn)定判據(jù),以及由三個(gè)標(biāo)量不等式確定的一個(gè)簡單的充分條件.在控制周期和控制寬度固定且已知的前提下,針對一般成本函數(shù)設(shè)計(jì)了次優(yōu)間歇控制器,并用數(shù)值模擬驗(yàn)證了理論結(jié)果.文獻(xiàn)[19]采用周期間歇控制方法研究了延遲混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定問題，利用Lyapunov函數(shù)和Halanay不等式,建立了受控神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)穩(wěn)定準(zhǔn)則及其簡化形式,對控制參數(shù)的可行域進(jìn)行了嚴(yán)格的估計(jì).理論結(jié)果和數(shù)值模擬表明,采用非零持續(xù)時(shí)間的間歇反饋控制可以穩(wěn)定連續(xù)時(shí)間的時(shí)滯混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò).

本文在以上研究的基礎(chǔ)上考慮了具有時(shí)變時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型,利用微分不等式分析方法和Lyapunov函數(shù)方法,討論了具有時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)同步條件,并建立了相應(yīng)的判別準(zhǔn)則,同時(shí),也研究了既滿足大時(shí)滯也滿足小時(shí)滯的時(shí)變時(shí)滯和間歇控制的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題,并建立了一些充分性條件.最后,通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出方案的正確性和有效性.

1 模型建立及預(yù)備知識(shí)

考慮如下具有時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

其中:P為受到外部刺激的神經(jīng)元個(gè)數(shù),N為STM狀態(tài)下的聯(lián)接神經(jīng)元個(gè)數(shù),xi表示神經(jīng)元當(dāng)前被激活水平,fi(·)表示神經(jīng)元輸出函數(shù),mij(t)記為有效聯(lián)接,ai>0為神經(jīng)元激活常數(shù),σj記為外部刺激權(quán)重,bi代表外部刺激程度,ci>0為任意常數(shù),dik代表第i個(gè)和第k個(gè)神經(jīng)元之間的聯(lián)接權(quán)重,代表第i個(gè)和第k個(gè)神經(jīng)元之間時(shí)滯反饋的聯(lián)接權(quán)重,τ為時(shí)滯常數(shù),ε>0表示STM狀態(tài)下的時(shí)間尺度.

其中:g(e(t))=f(y(t))?f(x(t)),g(e(t?τ))=f(y(t?τ))?f(x(t?τ)).

假設(shè)1存在一對稱正定陣L=(lij)m×n,對任意x,y ∈Rn，有‖f(x)?f(y)‖≤L‖x?y‖.

假設(shè)2時(shí)滯τ

這與不等式(14)矛盾.因此,(13)成立.

對于t ∈[T+δ,2T),利用相似的方法,我們得到W(t)

注記1在引理5中,問題對τ <δ與τ ≥δ這兩種情況都成立.也就是說,此引理中,我們僅僅要求τ

2 間歇控制下競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步準(zhǔn)則

由假設(shè)2,存在Vτ≥V0.

下面利用數(shù)學(xué)歸納法證明.

情形2:對于0 <δ <τ

注記2在定理1中,我們通過τ和δ之間的大小關(guān)系,分兩部分證明了定理的結(jié)論.對于小時(shí)滯(τ<δ)的情況,只需利用引理3和引理4,即可得到系統(tǒng)達(dá)到同步的條件.對于τ ≥δ的情況,由于不能直接由引理3和引理4得到相應(yīng)的結(jié)果,因此,我們給出了引理5,根據(jù)引理5,可以直接獲得系統(tǒng)達(dá)到同步的相關(guān)準(zhǔn)則.在文獻(xiàn)[17]中,作者只考慮了τ<δ(小時(shí)滯)的情況,給出了一些間歇控制同步準(zhǔn)則.顯然,本文結(jié)論比文獻(xiàn)[17]更具一般性.

注記3本文所選擇的控制器ui(t),i=1,2均為線性間歇控制器.而在實(shí)際應(yīng)用中,對于非線性間歇控制器也有類似的結(jié)論.例如,選擇

只需假設(shè)連續(xù)函數(shù)Q(·)滿足條件eT(t)Q(e(t))≤eT(t)Q1e(t),zT(t)Q(z(t))≤zT(t)Q2z(t).

特別地,如果模型(3)中的神經(jīng)元傳輸函數(shù)不存在時(shí)滯,則模型(3)退化為以下形式

其中:g(e(t))=f(y(t))?f(x(t)).

推論1若假設(shè)1成立.如果存在正常數(shù)α1,α2,εi,μi(i=1,2,3)以及正定矩陣Q1,Q2滿足以下條件

則系統(tǒng)(27)和(28)在間歇控制協(xié)議下實(shí)現(xiàn)同步.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)V(t)=eT(t)e(t)+zT(t)z(t),當(dāng)t ∈[nT,nT+δ)時(shí),關(guān)于V(t)求導(dǎo)數(shù)得

注記4在推論1中,我們要求0<δ

推論2若假設(shè)1、2成立,如果存在正常數(shù)α1,εi(i=1,…,4)以及正定矩陣Q1,Q2滿足以下條件:

則系統(tǒng)(3)和系統(tǒng)(4)在控制器(32)下實(shí)現(xiàn)同步.

3 數(shù)值實(shí)例與仿真

此動(dòng)力行為系統(tǒng)的初始條件為x(0)=(2,0.4)T,S(0)=(?0.5,0.8)T,運(yùn)行結(jié)果如圖1,圖2所示.

圖1 x(t)的相圖

圖2 S(t)的相圖

考慮主系統(tǒng)(33)與從系統(tǒng)(34)的同步性

其中:y(t)=(y1(t),y2(t))T,R(t)=(r1(t),r2(t))T.初始條件為y(0)=(?1.6,0.6)T,R(0)=(0.2,0.56)T,xi(t),yi(t),si(t)和ri(t)(i=1,2)的狀態(tài)如圖3～圖6呈現(xiàn)了無控制的情況.顯然,未控制下主從系統(tǒng)的軌線是不同步的.

圖3 x1(t) 和y1(t) 的狀態(tài)

圖4 x2(t) 和y2(t) 的狀態(tài)

圖5 s1(t)和r1(t)的狀態(tài)

圖6 s2(t)和r2(t)的狀態(tài)

通過對定理1的分析可知,在選取適當(dāng)條件時(shí),系統(tǒng)在周期間歇控制(5)和(6)下,主系統(tǒng)(33)與從系統(tǒng)(34)將趨于同步.為簡便起見,我們在本例中選擇了Q1=3.5I,Q2=3I,ε1=μ1=2,ε2=μ2=1,ε3=μ3=0.5,ε4=μ4=0.25.簡單計(jì)算后可知定理1的條件(1)～(4)成立.此外，選擇δ=2,T=3,定理1的條件(5)(i)也成立.故本例選擇δ=2,T=3,在周期間歇控制(5)和(6)下,xi(t),yi(t),si(t)與ri(t)的形態(tài)軌線如圖7～圖10所示,其中i=1,2,此時(shí)主從系統(tǒng)趨于同步十分明顯.

圖7 x1(t)和y1(t)的狀態(tài)

圖8 x2(t)和y2(t)的狀態(tài)

圖9 s1(t)和r1(t)的狀態(tài)

圖10 s2(t)和r2(t)的狀態(tài)

4 結(jié)論

本文在非零持續(xù)時(shí)間的間歇反饋控制可以穩(wěn)定到連續(xù)時(shí)間的時(shí)滯神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的基礎(chǔ)上,考慮了具有時(shí)變時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型.利用微分不等式分析方法和Lyapunov函數(shù)法,討論了具有時(shí)滯的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的全局指數(shù)同步條件,并建立了相應(yīng)的判別準(zhǔn)則.同時(shí),也研究了既滿足大時(shí)滯又滿足小時(shí)滯的時(shí)變時(shí)滯和間歇控制的競爭神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的指數(shù)同步問題,建立了一些充分性條件,并通過仿真實(shí)例驗(yàn)證了所提出方案的正確性和有效性.