2021年7月號問題解答

(解答由問題提供人給出)

2611設(shè)△ABC的外接圓半徑，內(nèi)切圓半徑，三邊長分別為R,r,a,b,c,三個內(nèi)角∠BAC,∠ABC,∠ACB對應(yīng)的旁切圓圓心分別為D,E,F，證明：

(安徽省岳西縣湯池中學(xué) 蘇岳祥 楊續(xù)亮 246620)

證明設(shè)旁切圓⊙D，⊙E,⊙F的半徑分別為rA，rB，rC.如圖，∠BAC對應(yīng)的旁切圓⊙D和AB,BC,CA相切于點M,H,N,

則有DM⊥AB,DH⊥BC,DN⊥AC，

DM=DH=DN=rA,

故有A,M,D,N四點共圓，且AD為直徑.

由托勒密定理有

AD·MN=DM·AN+DN·AM

=rA(AN+AM),

易知AN+AM=AB+BM+AC+CN

=AB+AC+BH+CH

=AB+AC+BC=a+b+c.

在△AMN中由正弦定理可得

因此

a·AD2=2RrA(a+b+c).

同理可得

b·BE2=2RrB(a+b+c),

c·CF2=2RrC(a+b+c).

以上三式相加可得

a·AD2+b·BE2+c·CF2

=2R(rA+rB+rC)(a+b+c).(1)

在(2)中由正弦定理可得

由三角恒等式

有

由三角恒等式

可得

同理可得

rA+rB+rC-r

所以rA+rB+rC=4R+r, (3)

把(2)式和(3)式代入(1)式可得

由歐拉定理可得R≥2r,

圖1

圖2

(湖北省潛江市江漢油田教育實業(yè)集團(tuán)教科院 舒云水 433124)

證明⊙I和三個旁切圓與各邊的一些切點如圖2所示，連接OA，OB，OC，OQ，OM，OW，由題意知O1在OA上，O2在OB上.

因為CM，CW是⊙O的切線，

所以CM=CW．

同理可得AM=AQ，BW=BQ，AD=AE，

BD=BF，CE=CF．

設(shè)AB=c，AC=b，BC=a，△ABC，△ACD和△CDB的面積分別為S，S1，S2．

因為CM=AC+AM=AC+AQ，

CW=BC+BW=BC+BQ．

所以CM+CW=AC+AQ+BC+BQ=a+b+c．

所以

S△ABC=S四邊形MOWC-(S四邊形MOQA+S四邊形WOQB)

同理可得

(四川省成都華西中學(xué) 張云華 610051)

?5(ab)2+4≤5ab+(ab)3

?0≤(ab)3-5(ab)2+5ab-4

?0≤(ab-4)[(ab)2-ab+1]

(江蘇省徐州市第一中學(xué) 張培強(qiáng) 221140)

設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

得(a4+b4)x2+2a3(by0-ax0)x

+a2(by0-ax0)2-a2b4=0，

不妨設(shè)點P在x軸的上方，則點P在直線MN的上方，所以△PMN的面積

當(dāng)點P在x軸上時，易得△PMN的面積

(河南省方城縣教研室 邵明憲 473200)

解作PE⊥DC于E，連結(jié)PD，PC，則由題意，PE⊥平面ABCD，

且∠APD=α，∠BPC=β．

又AD=BC=1，

記DC的中點為O，以O(shè)為原點，直線DC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy(圖略)，

則點P的軌跡方程為

從而

故

2021年8月號問題

(來稿請注明出處——編者)

2616平面上給定n個點，任意三點不共線，過任意兩點作直線．已知任意兩條直線既不平行也不垂直，過這n點中任意一點向另外n-1個點的連線作垂線，則所有這些垂線的交點(不包括已知的n個點)的個數(shù)至多有________個．

(江蘇省常熟市中學(xué) 查正開 215500)

圖1

2617已知如圖1，點A在⊙O上，點D在⊙O外，過點D作⊙O的割線DB2B1、DC2C1.連接AB1、AB2、AC1、AC2、AD，連接B1C1、B2C2分別與AD交于點E1、E2.求證:

(北京市朝陽區(qū)芳草地國際學(xué)校富力分校 郭文征 郭璋 100121)

2618在△ABC中，證明：

(2)4cosAcosBcosC-(sinA+sinB+sinC)2+(1+cosA+cosB+cosC)2=0；

(3)[-6-2(cosA+cosB+cosC)]·

(華中師范大學(xué)國家數(shù)字化學(xué)習(xí)工程技術(shù)研究中心 彭翕成 430079； 江蘇常州九章教育科技有限公司 曹洪洋 213002)

(安徽省樅陽縣宏實中學(xué) 江保兵 246700)

2620已知a,b,c為正數(shù),且abc=1, 求證:

a2+b2+c2+6≥3(a+b+c).

(湖北省宜都市一中 劉宜兵 廖全清 袁昌芹 443300 )