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        HP-Prime技術(shù)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中的應(yīng)用

        2021-10-01 02:29:51張玲玲羅程
        廣西教育·D版 2021年9期
        關(guān)鍵詞:教學(xué)學(xué)生

        張玲玲 羅程

        《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》指出:高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用信息技術(shù)進(jìn)行學(xué)習(xí)、探索并解決問(wèn)題,如利用圖形計(jì)算器繪制冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的圖象,探索、比較它們的變化規(guī)律,研究函數(shù)的性質(zhì).

        HP-Prime圖形計(jì)算器是目前應(yīng)用比較廣泛的一種現(xiàn)代教學(xué)儀器,具有數(shù)據(jù)處理、圖形繪制、簡(jiǎn)單編程等功能,可以用來(lái)繪制各種函數(shù)圖形,并進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示、跟蹤軌跡.學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器,在教師的問(wèn)題引導(dǎo)下自主進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),直觀體驗(yàn)知識(shí)生成過(guò)程,能有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,培養(yǎng)獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作探究的學(xué)習(xí)態(tài)度.

        本文以人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1“3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”教學(xué)為例,介紹如何借助HP-Prime圖形計(jì)算器開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課的“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”.

        一、基于學(xué)情的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)解析

        “函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課,是人教A版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》中“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”的第一課時(shí),教學(xué)內(nèi)容主要是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是學(xué)生在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的概念、運(yùn)算及幾何意義后需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)的知識(shí).單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,在人教A版數(shù)學(xué)必修1中,學(xué)生已經(jīng)學(xué)會(huì)從定義的角度判定在給定區(qū)間內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性,但在作差變形環(huán)節(jié),由于變形比較煩瑣,學(xué)生往往難以完成.學(xué)習(xí)“函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)”這一課,可以很好地解決這一問(wèn)題,能夠加深學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)的理解,為后續(xù)學(xué)習(xí)函數(shù)的極值和最值奠定基礎(chǔ).

        教學(xué)前,我們明確了如下教學(xué)目標(biāo):①通過(guò)具體實(shí)例,使用HP-Prime圖形計(jì)算器繪制函數(shù)圖形,讓學(xué)生學(xué)會(huì)從“形”到“數(shù)”、從“數(shù)”到“形”的思維方法,探究函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,發(fā)展直觀想象數(shù)學(xué)素養(yǎng);②通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究,讓學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)自身發(fā)展的一般規(guī)律;③開(kāi)展實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié),通過(guò)合作探究、觀察、分析、歸納、總結(jié),培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、一絲不茍的研究精神,提高分析和解決問(wèn)題的能力.

        本課需要學(xué)生了解函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,但由于學(xué)生剛接觸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力和意識(shí)還不強(qiáng),因此,教師在教學(xué)中運(yùn)用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)手段、工具,可以讓學(xué)生的知識(shí)學(xué)習(xí)變得更為直觀形象.在本課教學(xué)中,教師借助HP-Prime圖形計(jì)算器開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究,先讓學(xué)生用HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)f (x)=x3-3x的圖象,觀察圖象的單調(diào)性;然后用HP-Prime圖形計(jì)算器找出函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的切線,觀察切線的傾斜角和斜率值的情況,從導(dǎo)數(shù)幾何意義的角度研究函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)關(guān)系;再用HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)f (x)=x3-3x和其導(dǎo)函數(shù)f (x)=3x2-3的圖象,通過(guò)觀察兩個(gè)圖象,直觀感知函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系,嘗試歸納結(jié)論;最后,學(xué)生在不借助相關(guān)儀器的情況下,運(yùn)用自己所歸納的結(jié)論求出函數(shù)f (x)=[exx]的單調(diào)區(qū)間.在這個(gè)教學(xué)過(guò)程中,我們進(jìn)一步向?qū)W生滲透了化歸的數(shù)學(xué)思想,培養(yǎng)了學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí)和能力.

        二、基于HP-Prime的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課“創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法應(yīng)用

        本課教學(xué),我們?cè)谧裱皠?chuàng)課導(dǎo)學(xué)”教學(xué)法的“問(wèn)題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、目標(biāo)解惑”教學(xué)路徑,通過(guò)引入HP-Prime圖形計(jì)算器,設(shè)計(jì)有梯度的問(wèn)題,讓學(xué)生大膽猜想并操作儀器進(jìn)行驗(yàn)證,體會(huì)了知識(shí)生成的過(guò)程,感受了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

        (一)問(wèn)題導(dǎo)向:引導(dǎo)學(xué)生自主展開(kāi)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

        問(wèn)題導(dǎo)向,就是提出有啟發(fā)性的問(wèn)題,使學(xué)生明確學(xué)習(xí)方向.在該教學(xué)環(huán)節(jié)中,教師可這樣提問(wèn):導(dǎo)數(shù)可以描述函數(shù)的變化趨勢(shì),函數(shù)的單調(diào)性可以呈現(xiàn)函數(shù)的變化趨勢(shì),那么導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性一定存在某種聯(lián)系,它們之間會(huì)有怎樣的聯(lián)系呢?學(xué)生基于這一問(wèn)題,以學(xué)習(xí)小組為單位,將函數(shù)f (x)=x3-3x作為研究對(duì)象,實(shí)驗(yàn)探究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的聯(lián)系,然后借助HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出該函數(shù)的圖象,嘗試求出它的導(dǎo)函數(shù).

        在學(xué)習(xí)過(guò)程中,學(xué)生借助圖形計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)f (x)=x3-3x的圖象,通過(guò)探究圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率情況,比較分析研究原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象,從而歸納出每一個(gè)指定函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.學(xué)生在親身經(jīng)歷從形到數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,領(lǐng)會(huì)了數(shù)形結(jié)合的重要思想.

        (二)實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué):通過(guò)表述實(shí)驗(yàn)結(jié)論,感悟其中的數(shù)學(xué)思想

        實(shí)驗(yàn)操作是學(xué)生獲取新知,構(gòu)建知識(shí)體系的重要途徑.在本環(huán)節(jié)教學(xué)中,我們?cè)O(shè)計(jì)了3個(gè)探究實(shí)驗(yàn),讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)論證過(guò)程中,領(lǐng)悟函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系.

        [實(shí)驗(yàn)探究一]利用HP-Prime圖形計(jì)算器研究選定函數(shù)的單調(diào)性.

        教師提出問(wèn)題:若已知函數(shù)f (x)=x3-3x,你能根據(jù)它的圖象說(shuō)出它的單調(diào)性嗎?(師提示操作步驟,如圖1.)學(xué)生兩兩合作繪制函數(shù)圖象(如圖2),并結(jié)合圖象說(shuō)出了函數(shù)的單調(diào)性.其間,教師巡視每個(gè)小組的操作情況,對(duì)個(gè)別出現(xiàn)操作錯(cuò)誤的小組給予幫助.這樣設(shè)計(jì),有助于學(xué)生學(xué)會(huì)利用圖形計(jì)算器直觀感知函數(shù)圖象,從整體上分析函數(shù)的單調(diào)性,為后續(xù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系做鋪墊.

        教師提出問(wèn)題:根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出原函數(shù)f (x)=x3-3x的切線,然后觀察切線的斜率情況,你們有什么發(fā)現(xiàn)呢?(師提示操作步驟,如圖3.)學(xué)生兩兩合作,利用圖形計(jì)算器按步驟繪制函數(shù)圖象(如圖4),觀察圖形,完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告.從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手,研究分析函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的關(guān)系,讓學(xué)生初步體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想.

        [? 操作步驟:在彈出的函數(shù)圖象下方點(diǎn)擊“菜單”中的“分析”,在“分析”中找到“切線”(手機(jī)版為“正切”),在相應(yīng)單調(diào)區(qū)間上任意選取一點(diǎn),畫(huà)出該點(diǎn)的切線.通過(guò)改變同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)的位置,觀察各點(diǎn)的切線的變化.

        結(jié)論:①當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí),曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角,k切? 0,函數(shù)遞增,相應(yīng)的有f ′(x)? 0;②當(dāng)x∈(-1,1)時(shí),曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角,k切? 0,函數(shù)遞減,相應(yīng)的有f ′(x)? 0;③當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),曲線上任意一點(diǎn)的切線的傾斜角為? 角,k切? 0,函數(shù)遞增,相應(yīng)的有f ′(x)? 0. ]

        教師提出問(wèn)題:利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出導(dǎo)函數(shù)f (x)=3x2-3的圖象,通過(guò)觀察思考,你認(rèn)為原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)存在什么樣的關(guān)系?(師提示操作步驟,如圖5.)學(xué)生根據(jù)步驟完成導(dǎo)函數(shù)圖象繪制,嘗試歸納其與原函數(shù)的關(guān)系.

        [? 操作步驟:點(diǎn)擊“Apps”,進(jìn)入“函數(shù)”功能,輸入函數(shù)f (x)=x3-3x和f (x)=3x2-3,點(diǎn)擊“Plot”,觀察原函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象,在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)分別嘗試歸納其聯(lián)系.

        結(jié)論:①在(-∞,-1),f ′(x)? 0,f (x)在(-∞,-1)內(nèi)單調(diào)遞? ?;②在(-1,1),f ′(x)? 0,f (x)在(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞? ?;③在(1,+∞),f ′(x)? 0,f (x)在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞? ?. ]

        (三)目標(biāo)解惑:探幽入微,深化理解,發(fā)展學(xué)生思維能力

        教學(xué)提問(wèn)能讓學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)目標(biāo),引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展有效的學(xué)習(xí).在本教學(xué)環(huán)節(jié)中,我們?cè)O(shè)計(jì)了4個(gè)有梯度的問(wèn)題,讓學(xué)生對(duì)上一環(huán)節(jié)的結(jié)論進(jìn)行反復(fù)驗(yàn)證,不斷深化學(xué)生對(duì)原函數(shù)、導(dǎo)函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間等知識(shí)的認(rèn)識(shí)和理解.

        [問(wèn)題一]思考以上實(shí)驗(yàn)探究中得出的結(jié)論,你覺(jué)得這一結(jié)論是否具有一般性?

        教師先讓學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器,在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出下列原函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象:①y=x,②y=x2,③y=x lnx,④[y=1x.]再讓學(xué)生獨(dú)立思考,小組討論,對(duì)這些圖象進(jìn)行對(duì)比分析,驗(yàn)證上一環(huán)節(jié)得出的結(jié)論,嘗試自行歸納一般性規(guī)律.最后,師生共同研討,得出如下結(jié)論:一般地,對(duì)于函數(shù)f (x),如果在某區(qū)間上單調(diào)遞增,那么f (x)為該區(qū)間上的增函數(shù);如果在某區(qū)間上單調(diào)遞減,那么f (x)為該區(qū)間上的減函數(shù).

        [問(wèn)題二]根據(jù)上述結(jié)論,我們?cè)撊绾斡脤?dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間呢?在不借助儀器的情況下,你能求出函數(shù)[f(x)=exx]的單調(diào)區(qū)間嗎?該函數(shù)的定義域是什么?你能求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)嗎?

        學(xué)生展開(kāi)計(jì)算:首先,令f ′(x)>0或f ′(x)<0,求出x的取值范圍,即函數(shù)單調(diào)遞增或遞減的區(qū)間;然后將函數(shù)[f(x)=exx]的定義域設(shè)為(-∞,0)∪(0,+∞),求出其導(dǎo)函數(shù)為f ′(x)=[ex(x-1)x2],畫(huà)出此函數(shù)的大致圖象.在此基礎(chǔ)上,學(xué)生總結(jié)出求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟:①令f ′(x)>0或f ′(x)<0,求x的取值范圍,明確單調(diào)區(qū)間;②求函數(shù)的定義域;③求導(dǎo)函數(shù)f ′(x),作圖分析;④下結(jié)論.

        [問(wèn)題三]你能否先用代數(shù)法求解下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,然后畫(huà)出函數(shù)的大致圖象,并用HP-Prime圖形計(jì)算器進(jìn)行驗(yàn)證?

        教師出示例題:①f (x)=x3+x,②f (x)=2x3-6x2+7.學(xué)生通過(guò)完成例題,進(jìn)一步驗(yàn)證了以上結(jié)論,鞏固了所學(xué).

        [問(wèn)題四]通過(guò)本課學(xué)習(xí),你有什么收獲?如果給出一個(gè)函數(shù)的解析式,你會(huì)求它的單調(diào)區(qū)間嗎?你能畫(huà)出它的大致圖象嗎?

        用問(wèn)題四引導(dǎo)學(xué)生回顧本課所學(xué),既驗(yàn)證了所得出的結(jié)論,又將分散的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)了起來(lái),總結(jié)出了一般性規(guī)律.這是對(duì)上述教學(xué)環(huán)節(jié)的思維過(guò)程的反思,對(duì)完善學(xué)生的知識(shí)體系、提高學(xué)生的思維水平有重要促進(jìn)作用.

        在本課中,教師先讓學(xué)生利用HP-Prime圖形計(jì)算器畫(huà)出函數(shù)f (x)=x3-3x的圖象,在觀察圖象得出函數(shù)的極值后,再讓學(xué)生利用儀器分析圖象上任意一點(diǎn)的切線的斜率值,順理成章地引出函數(shù)極值與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系.緊接著,教師進(jìn)一步讓學(xué)生借助圖形計(jì)算器繪制其他函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象,觀察函數(shù)在某點(diǎn)上極值的圖象特征,然后借助圖形計(jì)算器的數(shù)字視圖功能,觀察f ′(x)、f (x)隨著x的變化而變化的規(guī)律,驗(yàn)證函數(shù)在極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零及在極值點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)變化的關(guān)系,進(jìn)而歸納總結(jié)出求函數(shù)極值的步驟,以及函數(shù)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)變化的一般規(guī)律.

        在本課教學(xué)中,學(xué)生基于教師所創(chuàng)設(shè)的問(wèn)題情境,利用HP-Prime圖形計(jì)算器動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流,大膽猜測(cè)、小心驗(yàn)證,不僅經(jīng)歷了知識(shí)生成的全過(guò)程,體會(huì)了學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,而且構(gòu)建了自己的知識(shí)體系,認(rèn)識(shí)了數(shù)學(xué)的本質(zhì).可以說(shuō),基于HP-Prime圖形計(jì)算器的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課,實(shí)現(xiàn)了以“教”為中心向以“學(xué)”為中心的課堂模式轉(zhuǎn)型.(題圖左為作者張玲玲,右為作者羅程)

        (責(zé)編 蒙秀溪)

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