周子博, 申永軍,2, 楊紹普,2

(1.石家莊鐵道大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學(xué) 省部共建交通工程結(jié)構(gòu)力學(xué)行為與系統(tǒng)安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 石家莊 050043)

0 引言

隨著振動(dòng)與噪聲污染問題日益嚴(yán)重，對(duì)隔振器的要求也越來越高。雙層隔振及浮筏隔振具有較好的隔振性能，在艦船動(dòng)力機(jī)械設(shè)備中得到了實(shí)際應(yīng)用。但是較大的中間隔振質(zhì)量會(huì)帶來較多弊端，如增大裝置的結(jié)構(gòu)尺寸和質(zhì)量，增加振動(dòng)控制的成本[1]，因此提高單層隔振性能具有實(shí)際意義。目前應(yīng)用最廣泛的隔振評(píng)定參數(shù)主要有力傳遞率、插入損失、振級(jí)落差和功率流傳遞率[2]。嚴(yán)濟(jì)寬等[3]發(fā)現(xiàn)以往的隔振理論中都建立在剛性基礎(chǔ)假設(shè)上，并沒有考慮基座阻抗特性的影響，為此重新推導(dǎo)了柔性基礎(chǔ)的插入損失與振級(jí)落差設(shè)計(jì)公式。后來學(xué)者們[4-5]對(duì)柔性基礎(chǔ)下的經(jīng)典評(píng)定參數(shù)進(jìn)行了補(bǔ)充。王家林等[6]針對(duì)振級(jí)落差和插入損失的對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行了研究，并指出了兩指標(biāo)的適用范圍。Goyder et al[7]最早提出功率流概念，經(jīng)過對(duì)簡(jiǎn)單無限均質(zhì)梁的分析，認(rèn)為傳遞到基座的功率流可以作為一種改進(jìn)的性能指標(biāo)。類似于傳統(tǒng)的性能指標(biāo)，研究者們[8-13]相繼提出功率流的有效比、功率流傳遞率作為隔振系統(tǒng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中，Pan et al[8]和Gadronio et al[9]提出功率流的有效比改進(jìn)了隔振指標(biāo)的準(zhǔn)確性。霍睿等[13]對(duì)功率流傳遞率在隔振設(shè)計(jì)中的有效性進(jìn)行了論證。

杠桿作為力放大機(jī)構(gòu)已經(jīng)用于隔振領(lǐng)域，并表現(xiàn)出良好的隔振性能。Flannelly[28]提出了動(dòng)力反共振隔振器(dynamic anti-resonant vibration isolation, DAVI)，研究發(fā)現(xiàn)杠桿元件可以放大質(zhì)量產(chǎn)生的慣性來抵消彈簧力，擴(kuò)大隔振器的低頻適用范圍。文獻(xiàn)[29]～文獻(xiàn)[31]研究在大跨度橋、建筑等領(lǐng)域引入杠桿元件后，可以有效減小地震、風(fēng)致振動(dòng)等危害。文獻(xiàn)[32]提出一種杠桿式非線性能量阱，在振動(dòng)抑制方面比傳統(tǒng)吸振器具有顯著的優(yōu)勢(shì)，并研究了支點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

鑒于慣容與杠桿元件在振動(dòng)控制領(lǐng)域中的良好性能，在基于柔性基礎(chǔ)的單層隔振系統(tǒng)中引入兩放大機(jī)構(gòu)，得到了一種新型隔振器。經(jīng)研究表明，兩放大機(jī)構(gòu)的加入，可以有效降低傳遞能量，證明了本文模型具有較好的隔振性能。

1 隔振模型

含有兩放大機(jī)構(gòu)的隔振模型如圖1所示。m1表示主系統(tǒng)(被隔振設(shè)備質(zhì)量)，k1表示隔振器的剛度，m2表示柔性基座的質(zhì)量，并將彈簧k2、杠桿元件、慣容三元件串聯(lián)于主系統(tǒng)與柔性基座，c′、k′表示基座的阻尼及剛度。x1、x2、x3分別表示主系統(tǒng)位移、杠桿元件與慣容分割點(diǎn)的位移、柔性基座的位移。同時(shí)忽略運(yùn)動(dòng)中的摩擦損失，慣容系數(shù)理想化為b，討論模型在受到簡(jiǎn)諧激勵(lì)F0cos(ωt)下的垂向隔振性能。

圖1 隔振模型

根據(jù)牛頓第二定律，得到該振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程

(1)

可以得到矩陣形式

(2)

式中，M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣，整理為

(3)

通過拉氏變換，將解和激勵(lì)設(shè)為

(4)

將式(4)代入式(3)中，可以整理為矩陣ZX=F，Z代表阻抗矩陣

(5)

對(duì)式(5)求解，可得

(6)

式中

(7)

2 隔振指標(biāo)

分析隔振器的隔振性能，經(jīng)典的分析方法中利用力傳遞率、插入損失、振級(jí)落差等來評(píng)判傳遞到基座的力或振幅。但是傳統(tǒng)的性能指標(biāo)僅是涉及速度或力而不涉及兩者之間的相位差，當(dāng)減振目標(biāo)是降低結(jié)構(gòu)的聲振幅或振動(dòng)能量時(shí)，尤其在船舶領(lǐng)域，這些指標(biāo)不再準(zhǔn)確地反映隔振性能[7]。功率流作為評(píng)價(jià)隔振性能的重要參數(shù)，同時(shí)考慮力和速度的量值，使系統(tǒng)振動(dòng)輸出有了絕對(duì)度量。因此本文不僅考慮隔振系統(tǒng)的力傳遞率、振級(jí)落差等經(jīng)典隔振指標(biāo)，還考慮功率流傳遞率的情況。

2.1 力傳遞率

力傳遞是加入隔振器后傳遞到基座的動(dòng)態(tài)力有效值與輸入的動(dòng)態(tài)激振力有效值的比值

(8)

力傳遞率表示為極差(dB)形式

(9)

2.2 插入損失

插入損失表示加入隔振器后基座的響應(yīng)有效值與加入隔振器前基座的響應(yīng)有效值的比值

(10)

式中，x′為無隔振器時(shí)，柔性基礎(chǔ)在相同力激勵(lì)下的響應(yīng)

(11)

式中，Q44=-ω2(m1+m2)+iωc′+k′。

將式(11)代入式(10)中，由于位移插入損失、速度插入損失、加速度插入損失相同(上下求導(dǎo)抵消)，可以得到插入損失率

(12)

2.3 振級(jí)落差

振級(jí)落差作為經(jīng)典隔振指標(biāo)，在我國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和軍標(biāo)中有明確規(guī)定。參考艦船上各類隔振裝置的隔振效果評(píng)價(jià)指標(biāo)[13]，振級(jí)落差指被隔振系統(tǒng)的響應(yīng)有效值與隔振后的基座振動(dòng)響應(yīng)有效值的比值

(13)

觀察式(6)和式(13)可知，位移振級(jí)落差、速度振級(jí)落差、加速度振級(jí)落差相等?？梢缘玫?/p>

(14)

2.4 功率流

在本文隔振系統(tǒng)中，力和速度都是簡(jiǎn)諧變化的，在一段時(shí)間內(nèi)的平均功率更能反映傳入系統(tǒng)的能量強(qiáng)度。功率流可表示為頻率ω的函數(shù)，另外T=2π/ω，可以得到

(15)

(16)

(17)

至此，已經(jīng)推導(dǎo)出所有隔振指標(biāo)設(shè)計(jì)公式。下文主要分析此模型的力傳遞率、振級(jí)落差、功率流傳遞率。

3 固有頻率及反共振頻率分析

當(dāng)外界激勵(lì)頻率等于系統(tǒng)固有頻率時(shí)會(huì)發(fā)生共振，故需要避免激振頻率與固有頻率相等的情況。而反共振指系統(tǒng)在某些特定頻率的簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下，系統(tǒng)某些部位出現(xiàn)簡(jiǎn)諧響應(yīng)為零的情況，即在一定頻率下系統(tǒng)某些部位的動(dòng)柔度為零[33]，因此控制激振頻率在反共振頻率附近可以有效抑制振動(dòng)。根據(jù)圖1隔振模型，忽略阻尼的作用，可以得出

(18)

將式(4)代入式(18)，得到系統(tǒng)特征矩陣

(19)

令特征矩陣的行列式為零

|M-ω2K|=0

(20)

可以得到

Aω6-Bω4+Cω2-k1k2k3=0

(21)

利用盛金公式得出系統(tǒng)的3個(gè)固有頻率

(22)

式中

(23)

令特征矩陣的行列式不為零，則復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)為

(24)

記Δ=det|D|，整理為

(25)

式中，H11(ω)、H12(ω)、H13(ω)分別為各階振幅與力的比值。式(25)分子等于零代表各階產(chǎn)生反共振現(xiàn)象，主要考慮傳遞到基座的力及能量的變化，故令H13(ω)=0，整理得到基座的反共振頻率

(26)

(27)

4 性能分析

本文采用某隔振試驗(yàn)系統(tǒng)，應(yīng)用文獻(xiàn)[34]中的參數(shù)。參數(shù)如表1所示。

表1 參數(shù)值

圖2與圖3給出了不同慣容值與放大比對(duì)隔振系統(tǒng)力傳遞率的影響。可以清楚地看出，隨著慣容值以及杠桿放大比的增大，隔振系統(tǒng)的第一、二階固有頻率向坐標(biāo)軸左移，數(shù)值減小。同樣可以得出，系統(tǒng)反共振頻率位于力傳遞率的峰谷位置，意味著系統(tǒng)隔振效率最好。值得一提的是，由于慣容和杠桿元件的放大作用，促使反共振頻率向低頻移動(dòng)，提高了隔振系統(tǒng)在低頻的隔振效率。

圖2 不同慣容值下力傳遞率與頻率的關(guān)系

圖3 不同放大比下力傳遞率與頻率的關(guān)系

另外，隔振系統(tǒng)的振級(jí)落差由圖4和圖5給出，傳遞功率流率如圖6和圖7所示。同時(shí)為了更直觀地了解慣容值和放大比對(duì)固有頻率和反共振頻率的影響，圖8和圖9分別給出了固有頻率和反共振頻率與慣容值和放大比的關(guān)系。

圖4 不同慣容值下振級(jí)落差與頻率的關(guān)系

圖6 不同慣容值下傳遞功率流與頻率的關(guān)系

圖7 不同放大比下傳遞功率流與頻率的關(guān)系

圖8 不同放大比下第一階固有頻率與慣容值的關(guān)系

圖9 不同放大比下第二階固有頻率與慣容值的關(guān)系

振級(jí)落差在低頻區(qū)域與力傳遞率表現(xiàn)類似，故截取高頻區(qū)展開分析。如圖4所示，第三階固有頻率不變，因此慣容值的變化并不會(huì)影響高頻下隔振系統(tǒng)的振級(jí)落差，但隨著頻率的增加隔振性能越好。由圖5可知，在激振頻率為1 000 Hz時(shí)振級(jí)落差會(huì)趨于相等，激振頻率等于第三階固有頻率時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生共振，振級(jí)落差達(dá)到最低點(diǎn)，隔振性能最差。并且在高頻區(qū)隨著放大比的增大，隔振性能有所下降。

圖6和圖7給出了隔振系統(tǒng)的低頻傳遞功率流特性。從圖6和圖7可知，隨著頻率的增加，隔振系統(tǒng)的傳遞功率流總體減小，隔振效率越好；隨著慣容值和放大比的增大，會(huì)出現(xiàn)共振頻率及間距減小的現(xiàn)象，有利于擺脫共振頻帶。另外在反共振頻率附近，隔振效率最高。需要指出的是，在二階固有頻率附近有2個(gè)較小的波峰，說明傳遞功率流綜合考慮了力和速度的幅值和相位的關(guān)系。

圖8～圖11清晰地顯示了隔振系統(tǒng)的三階固有頻率以及反共振頻率與控制變量(慣容值與放大比)的關(guān)系?？梢钥闯龅谝弧⒍A固有頻率及反共振頻率隨慣容值的增大而減小，相同慣容值的情況下，放大比越大固有頻率及反共振頻率亦隨之減小。從圖10可以直觀地看出，第三階固有頻率值獨(dú)立于慣容值與放大比的變化，保持在175.7 Hz。當(dāng)慣容值及放大比趨于無窮時(shí)，第一階固有頻率與反共振頻率趨于0，第二階固有頻率趨于8 Hz。

圖10 不同放大比下第三階固有頻率與慣容值的關(guān)系

圖11 不同放大比下反共振頻率與慣容值的關(guān)系

5 模型對(duì)比

為了證明含兩放大機(jī)構(gòu)的新型單層隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)，將本文模型與參數(shù)相同的普通單層隔振模型、含慣容的單層隔振模型進(jìn)行了比較。據(jù)表1中的參數(shù)，另取放大比L=3L0和慣容值b=b0，模型對(duì)比見圖12。

圖12 模型對(duì)比

從圖12可以看出，含有慣容的單層隔振系統(tǒng)存在反共振頻率，在20 Hz附近要比單層隔振系統(tǒng)性能更優(yōu)，但在高于30 Hz后會(huì)失去優(yōu)勢(shì)；本文隔振系統(tǒng)卻避免了單層隔振系統(tǒng)與含慣容的單層隔振系統(tǒng)的缺陷，在高頻與低頻都有較好的表現(xiàn)。另外可以通過改變放大比或者慣容值來改變共振頻率，適應(yīng)不同隔振需求，因此從能量角度也驗(yàn)證了含有慣容與杠桿元件的隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)。

6 結(jié)論

研究了一種含有慣容和杠桿元件的柔性基礎(chǔ)單層三自由度隔振模型，通過解析計(jì)算得到模型傳遞到基座的力傳遞率、振級(jí)落差、插入損失以及功率流的設(shè)計(jì)公式。通過對(duì)參數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)兩放大機(jī)構(gòu)可以不同程度縮小共振頻率，減小共振區(qū)頻帶。通過與單層隔振系統(tǒng)以及含慣容的單層隔振系統(tǒng)的比較得出，本文模型在低頻與高頻區(qū)都改善了隔振性能，還可以通過改變兩放大元件參數(shù)適應(yīng)不同工程需求。