張麗娟, 孟昕娜

(石家莊鐵道大學(xué) 四方學(xué)院基礎(chǔ)部，河北 石家莊 051132)

0 引言

試驗(yàn)設(shè)計(jì)(DOE)是現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)中的一部分，也是試驗(yàn)優(yōu)化的重要方法。Fisher[1]第一次使用試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中進(jìn)行試驗(yàn)優(yōu)化后，其應(yīng)用范圍逐漸擴(kuò)大。DOE以數(shù)理統(tǒng)計(jì)的相關(guān)理論知識(shí)為基礎(chǔ)，根據(jù)研究需要，力求用較少的試驗(yàn)次數(shù)來獲得比較可靠的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，然后通過數(shù)據(jù)分析得出具體的結(jié)論。如果試驗(yàn)過程中設(shè)計(jì)合理，就能事半功倍;相反，耗時(shí)耗力，還可能導(dǎo)致試驗(yàn)失敗。因此，能否合理進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，已經(jīng)成為科研工作的關(guān)鍵。目前正交設(shè)計(jì)的應(yīng)用較為廣泛，但其他設(shè)計(jì)方法工程技術(shù)人員也一直在探索。

龍菊等[2]采用正交試驗(yàn)和響應(yīng)面試驗(yàn)研究微波纖維素酶法提取山藥多糖的影響因子和水平，來進(jìn)一步優(yōu)化制備工藝，表明與正交試驗(yàn)相比，響應(yīng)面設(shè)計(jì)不但可以直觀展現(xiàn)各因子的交互作用，而且在結(jié)果準(zhǔn)確性方面也更加合理。蔡厚道[3]同時(shí)采用正交設(shè)計(jì)和響應(yīng)面設(shè)計(jì)對影響裝配尺寸的因子進(jìn)行優(yōu)化，表明響應(yīng)面設(shè)計(jì)的最優(yōu)工藝精度更高。劉炬灼等[4]通過正交設(shè)計(jì)和響應(yīng)面設(shè)計(jì)優(yōu)化五味子的炮制工藝，表明響應(yīng)面設(shè)計(jì)比正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到的總木脂素含量要高，而且能得到更多更精確的信息。劉強(qiáng)等[5]采用Box-Behnken中心組合設(shè)計(jì)對影響砂漿粘結(jié)強(qiáng)度的因子及其性能預(yù)測，表明建立的二元回歸模型在擬合區(qū)間內(nèi)擬合程度很好，為砂漿性能的優(yōu)化提供了一種新的研究方法。牛江川等[6]采用正交設(shè)計(jì)對影響盾構(gòu)刀具磨損的參數(shù)進(jìn)行分析并建立相應(yīng)的模型。王喜盈等[7]基于正交設(shè)計(jì)對影響鋼-混凝土雙面組合連續(xù)箱梁剪力滯效應(yīng)的影響因素進(jìn)行設(shè)計(jì)分析，并建立相應(yīng)的無量綱計(jì)算公式。張軍等[8]基于響應(yīng)面設(shè)計(jì)進(jìn)行船撞橋的可靠度分析，通過對比蒙特卡洛法證明了響應(yīng)面法的有效性和高效性。

由上述應(yīng)用可以看出，不同領(lǐng)域研究人員基于所學(xué)知識(shí)應(yīng)用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)的方法差異性大，在結(jié)構(gòu)混凝土設(shè)計(jì)中，影響其性能因素眾多，如混凝土配合比、養(yǎng)護(hù)制度、攪拌方式等，更為重要的是性能評價(jià)是以養(yǎng)護(hù)28 d或更長齡期為基準(zhǔn)，這樣多影響因素高齡期的試驗(yàn)設(shè)計(jì)在其他工程領(lǐng)域很少遇到，故合適的試驗(yàn)設(shè)計(jì)尤為重要。但目前常用的是單因素設(shè)計(jì)或正交設(shè)計(jì)，而效率和精度更高的響應(yīng)曲面法因數(shù)理統(tǒng)計(jì)相關(guān)知識(shí)要求更高所以應(yīng)用較少，故從正交和響應(yīng)面關(guān)鍵設(shè)計(jì)要點(diǎn)介紹入手，以基于目標(biāo)性能的路用混凝土配合比優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，對比2種方法的相關(guān)數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)、差異和精度，以期提高科研和工程技術(shù)人員試驗(yàn)設(shè)計(jì)的科學(xué)性和效率。

1 設(shè)計(jì)方法

1.1 正交設(shè)計(jì)的原理和設(shè)計(jì)方法

正交設(shè)計(jì)方法[9]是借助正交表進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)并對試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行直觀分析，最終達(dá)到以較少的試驗(yàn)次數(shù)獲得可靠數(shù)據(jù)的目的。近年來廣泛應(yīng)用于化工、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、環(huán)境和工程學(xué)等領(lǐng)域[10-12]。在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中，如果每個(gè)因素的水平組合都考慮到就是全面試驗(yàn)，全面試驗(yàn)耗時(shí)耗力，例如三因素三水平的全部試驗(yàn)點(diǎn)為33個(gè)，四因素三水平的全部試驗(yàn)點(diǎn)為34個(gè)。此時(shí)若從中選擇幾個(gè)代表性的試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)就可以顯著縮減試驗(yàn)次數(shù)。三因素三水平正交試驗(yàn)就是從全面試驗(yàn)點(diǎn)中挑選出圖1所示的9個(gè)代表性點(diǎn)，即正方體每個(gè)平面上選擇3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，這樣就能夠比較全面地反映整個(gè)區(qū)域內(nèi)的基本情況。

圖1 正交設(shè)計(jì)三因素三水平的代表性試驗(yàn)點(diǎn)圖

正交試驗(yàn)的一般過程為：(1)確定因素水平和衡量指標(biāo)。(2)繪制因素水平表。(3)選擇正交表，其中正交表列數(shù)應(yīng)大于因素?cái)?shù)，比如圖1的三因素三水表應(yīng)選擇L9(34)的正交表。(4)嚴(yán)格按照正交表設(shè)計(jì)的水平組合進(jìn)行試驗(yàn)并記錄相應(yīng)的指標(biāo)值。(5)數(shù)據(jù)分析。(6)驗(yàn)證，即如果根據(jù)數(shù)據(jù)分析出的較優(yōu)條件在正交表中沒有出現(xiàn)，則需按照該條件做一次試驗(yàn)來驗(yàn)證。

1.2 響應(yīng)面設(shè)計(jì)的原理和設(shè)計(jì)方法

Box et al[13]提出一種可以同時(shí)進(jìn)行試驗(yàn)優(yōu)化和模型預(yù)測的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法——響應(yīng)面法，它是對整個(gè)曲面內(nèi)因素與指標(biāo)之間的關(guān)系進(jìn)行回歸分析，根據(jù)模型進(jìn)行優(yōu)化和性能預(yù)測[14]。Weierstress的多項(xiàng)式最佳逼近定理表明，大部分函數(shù)關(guān)系都可以用多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合，所以無論一個(gè)變量與響應(yīng)值之間是怎樣的函數(shù)關(guān)系，實(shí)際應(yīng)用中都可以應(yīng)用多項(xiàng)式模型擬合[15]。一般地，響應(yīng)值Y與設(shè)計(jì)變量x之間滿足

(1)

采用Weierstress的多項(xiàng)式模型近似逼近，則有

(2)

式中,φi(x)為基函數(shù)；βi為基函數(shù)的線性效應(yīng)。

當(dāng)部分因素水平值偏離曲面的最優(yōu)位置時(shí)，常用一階多項(xiàng)式模型近似逼近，即

(3)

當(dāng)因素水平值接近或位于最優(yōu)區(qū)域內(nèi)時(shí)，常用二階多項(xiàng)式模型近似逼近，得到最優(yōu)因素水平組合，即

(4)

式中，βi、βii分別為xi的一階、二階效應(yīng)；βij為xi與xj的交互作用效應(yīng)。

絕大多數(shù)的RSM問題都可在一個(gè)較小范圍內(nèi)將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系表達(dá)為簡單的一階或二階模型，借助最小二乘法近似計(jì)算多項(xiàng)式的參數(shù)。

響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法近年來已發(fā)展成為一種試驗(yàn)優(yōu)化方法，眾多學(xué)者對其進(jìn)行了大量的應(yīng)用研究[16-18]。響應(yīng)面法的一般過程為：(1)析因分析，即篩選顯著性因素。(2)試驗(yàn)設(shè)計(jì)，確定因素水平及響應(yīng)值，借助軟件進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，例BBD在試驗(yàn)設(shè)計(jì)中基礎(chǔ)數(shù)據(jù)是12個(gè)，即以“0”為中心點(diǎn)，“+1”“-1”分別是立方點(diǎn)相對應(yīng)的高值和低值，特別注意中心點(diǎn)處需要進(jìn)行中心重復(fù)試驗(yàn)(不少于3組)來考察中心區(qū)域擬合情況，如圖2所示。(3)嚴(yán)格按照設(shè)計(jì)方案進(jìn)行試驗(yàn)，獲得相應(yīng)的響應(yīng)值。(4)數(shù)據(jù)分析。

圖2 響應(yīng)面設(shè)計(jì)三因素三水平代表性試驗(yàn)點(diǎn)圖

2 應(yīng)用示例

路用混凝土除耐久性要求外，衡量其性能關(guān)鍵指標(biāo)是其抗折強(qiáng)度。下面以路用混凝土抗折強(qiáng)度性能指標(biāo)要求，對比分析正交設(shè)計(jì)和響應(yīng)面設(shè)計(jì)在其配合比試驗(yàn)設(shè)計(jì)和性能優(yōu)化方面的差異。在這里需要強(qiáng)調(diào)的是馬士賓[19]認(rèn)為砂率、粉煤灰和減水劑是影響混凝土路用性能的主要因素，故基于路用水泥混凝土配合比設(shè)計(jì)的有關(guān)經(jīng)驗(yàn)[20-21]固定水灰比為0.38，分析這3個(gè)因素對抗折強(qiáng)度的影響。正交設(shè)計(jì)配合比見表1，響應(yīng)面設(shè)計(jì)配合比見表2。

表1 正交設(shè)計(jì)配合比 kg/m3

表2 響應(yīng)面設(shè)計(jì)配合比 kg/m3

2.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)

以粉煤灰摻量、砂率和聚羧酸高效減水劑摻量為設(shè)計(jì)變量，以路用混凝土28 d抗折強(qiáng)度為衡量指標(biāo)，正交設(shè)計(jì)和響應(yīng)面設(shè)計(jì)的因素水平表分別見表3和表4。

表3 正交設(shè)計(jì)因素水平表

表4 響應(yīng)面設(shè)計(jì)因素水平表

2.2 數(shù)據(jù)處理

正交設(shè)計(jì)的結(jié)果分析見表5和表6。結(jié)果表明：各主效應(yīng)顯著性排序?yàn)镃>B>A；聚羧酸高效減水劑摻量對抗折強(qiáng)度的影響較為顯著(F>F0.05)，而粉煤灰摻量和砂率對抗折強(qiáng)度的影響較小。最佳的試驗(yàn)條件是A2B2C3，即最優(yōu)工藝參數(shù)為粉煤灰摻量10%、砂率34%、聚羧酸高效減水劑摻量1.0%，此時(shí)的抗折強(qiáng)度達(dá)到6.0 MPa。

表5 正交設(shè)計(jì)結(jié)果分析表

表6 正交設(shè)計(jì)方差分析表

通過以上數(shù)據(jù)處理的過程可以看出，正交試驗(yàn)分析的對象為離散型數(shù)據(jù)，即圖1所示立方體上9個(gè)均勻分布的孤立點(diǎn)，試驗(yàn)次數(shù)少但布點(diǎn)均勻分散、整齊可比,從而避免了部分試驗(yàn)誤差的干擾。在直觀的極差和方差分析中體現(xiàn)了各因素(主效應(yīng))的最優(yōu)水平值和顯著性大小，但是獲得的最優(yōu)工藝參數(shù)只能是所選水平的某種組合，這也使試驗(yàn)結(jié)果的準(zhǔn)確性降低。此外因素之間的交互作用在結(jié)果中并沒有體現(xiàn)，這歸因于正交表的選擇，即在試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)就基于因素間不存在交互作用而選擇的無交互作用列的正交表。正交表的選擇決定了在試驗(yàn)設(shè)計(jì)前需要積累大量的專業(yè)知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)才能保證試驗(yàn)的準(zhǔn)確性，因?yàn)橐坏┱槐磉x擇錯(cuò)誤，不但會(huì)對各效應(yīng)的顯著性產(chǎn)生影響,還可能會(huì)出現(xiàn)交互作用的混雜。

以粉煤灰摻量、砂率和聚羧酸高效減水劑摻量為設(shè)計(jì)變量,進(jìn)行響應(yīng)面設(shè)計(jì)的試驗(yàn)結(jié)果見表7，對結(jié)果進(jìn)行分析并建立式(5)所示的二元回歸數(shù)學(xué)模型。

表7 響應(yīng)面設(shè)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果分析表

Y=-95.325+0.011 563A+4.125B+66.125C+9.375×10-4AB-0.012 5AC+0.125BC-3.906 25×10-4A2-0.062 5B2-37.5C2

(5)

該模型的方差分析結(jié)果見表8。從表8中可以看出模型的P<0.001，即建立的二元回歸數(shù)學(xué)模型是極顯著的；失擬項(xiàng)的P>0.05，即失擬項(xiàng)不顯著；這2個(gè)值均說明建立的回歸方程可以很好地預(yù)測抗折強(qiáng)度。根據(jù)P值可知，主效應(yīng)中的減水劑摻量、曲面作用中減水劑摻量、粉煤灰摻量和砂率的平方項(xiàng)對抗折強(qiáng)度的影響比較顯著，一次項(xiàng)顯著性排序?yàn)镃>B>A。

表8 響應(yīng)面設(shè)計(jì)方差分析表

在某一因素固定為“0”水平的條件下，分析其他2個(gè)因素的交互作用對抗折強(qiáng)度的影響結(jié)果如圖3～圖5所示。二維等高線的形狀越接近橢圓則表示因素間的交互作用越顯著[22]。從圖3～圖5可以看出,隨著砂率和粉煤灰摻量的增加，28 d抗折強(qiáng)度均出現(xiàn)先增大再減小的趨勢且幅度較大，明顯的橢圓狀等高線也說明砂率和粉煤灰的交互作用較為顯著。而粉煤灰和減水劑的交互作用以及砂率和減水劑的交互作用相比于砂率和粉煤灰的交互作用并不是很明顯，這與方差分析中P值結(jié)果PAB=0.143 8

圖3 粉煤灰與砂率的交互作用

圖4 粉煤灰與減水劑的交互作用

圖5 砂率與減水劑的交互作用

對響應(yīng)面模型進(jìn)行全局優(yōu)化，得到最優(yōu)工藝條件及相應(yīng)的預(yù)測值并進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，結(jié)果見表9。這樣基于預(yù)測結(jié)果，在試驗(yàn)驗(yàn)證時(shí)各因素水平取表中的實(shí)際條件。

表9 響應(yīng)面模型預(yù)測及試驗(yàn)驗(yàn)證結(jié)果

通過以上數(shù)據(jù)處理的過程可以看出，響應(yīng)面設(shè)計(jì)的試驗(yàn)次數(shù)比正交設(shè)計(jì)稍多，選擇的代表性點(diǎn)也更加全面，如圖2所示。其可以建立一個(gè)二元回歸方程的數(shù)學(xué)模型，所以分析的數(shù)據(jù)為整個(gè)擬合曲面上的點(diǎn)，得到的最優(yōu)因素水平也不再局限于給定水平的組合，所以準(zhǔn)確度也相對較高。在方差分析結(jié)果中同時(shí)包含了一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和平方項(xiàng)的顯著性，即在試驗(yàn)設(shè)計(jì)前不需要考慮是否存在交互作用，借助二維等高線和三維響應(yīng)曲面等直觀的圖像就可清晰地反映因素間交互作用的顯著性，使得試驗(yàn)設(shè)計(jì)更加科學(xué)，結(jié)果的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性也更高；同時(shí)，響應(yīng)面設(shè)計(jì)還可以通過多項(xiàng)式求解對抗折強(qiáng)度進(jìn)行預(yù)測，即在最優(yōu)條件下28 d抗折強(qiáng)度可以達(dá)到6.4 MPa。

3 結(jié)論

(1)以路用混凝土基于目標(biāo)性能的配合比優(yōu)化為例，介紹了正交設(shè)計(jì)和響應(yīng)面設(shè)計(jì)2種試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，兩者得到的最優(yōu)工藝參數(shù)接近，但正交設(shè)計(jì)是通過對9個(gè)代表性試驗(yàn)點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)得到給定水平范圍內(nèi)的最優(yōu)組合參數(shù)，而響應(yīng)面設(shè)計(jì)通過對12個(gè)基礎(chǔ)點(diǎn)和1個(gè)中心點(diǎn)進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計(jì)，得到的最優(yōu)因素水平不再局限于給定水平的組合，準(zhǔn)確度也有所提高，而且還能對性能進(jìn)行預(yù)測。

(2)正交試驗(yàn)需要先確定是否存在交互作用，再合理選擇正交表，其分析的是離散型數(shù)據(jù)，方差分析結(jié)果只能得到各因素的顯著性；而響應(yīng)面試驗(yàn)是對擬合曲面上的數(shù)據(jù)進(jìn)行一個(gè)整體分析，在方差分析結(jié)果中同時(shí)包含了一次項(xiàng)、二次項(xiàng)和平方項(xiàng)的顯著性，同時(shí)還能借助直觀的響應(yīng)面圖像清晰反映因子之間的交互作用，不需要在設(shè)計(jì)前考慮交互作用是否存在，使得試驗(yàn)設(shè)計(jì)更加科學(xué)，結(jié)果的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性也更高。