岳 田

(湖北汽車工業(yè)學(xué)院 理學(xué)院，中國 十堰 442002)

近幾十年來，關(guān)于動力系統(tǒng)的漸近行為的研究已成為現(xiàn)代分析學(xué)的一個重要課題。對此問題的探討，學(xué)者們通常借助容許性方法、離散時間方法、Datko-Pazy型方法等，在算子半群的指數(shù)穩(wěn)定性理論方面取得了一系列豐碩的成果[1-17]，通過對一些重要問題的解決，使得相關(guān)基礎(chǔ)理論的完善與應(yīng)用有了快速的發(fā)展。

關(guān)于算子半群指數(shù)穩(wěn)定性的研究可追溯到上世紀(jì)70年代Datko[1]的創(chuàng)造性工作，即Banach空間X上的強連續(xù)算子半群{T(t)}t≥0一致指數(shù)穩(wěn)定(意味著其指數(shù)增長界為負(fù))的充要條件為T(·)x的所有軌線落在L2(R+)中。在此之后相關(guān)問題獲得了學(xué)界的密切關(guān)注，Pazy[2]通過一個簡潔的證明指出上面Datko的結(jié)論在Lp(R+)(1≤p<∞)中仍然成立；Neerven[3]借助于Banach函數(shù)空間與Orlicz空間給出了算子半群指數(shù)穩(wěn)定的存在條件；Pata、黃發(fā)倫、羅躍虎、馮德興、朱廣田、葛照強等學(xué)者[4-8]應(yīng)用泛函分析和算子理論工具得到了強連續(xù)算子半群(族)指數(shù)穩(wěn)定、等度指數(shù)穩(wěn)定或漸進穩(wěn)定的若干充要條件；Preda等在文獻[10]與[11]中分別給出了單參數(shù)算子半群指數(shù)穩(wěn)定的Lyapunov算子方程刻畫與指數(shù)二分的Lyapunov算子不等式刻畫，在文獻[12]中探究了對生成元實施擾動情形下強連續(xù)算子半群保持指數(shù)穩(wěn)定性質(zhì)的條件；葛世剛等[14]借助廣義算子半群與廣義積分算子半群之間的聯(lián)系，給出了廣義算子半群指數(shù)穩(wěn)定的Perron型條件；葛照強等[15-17]借助泛函分析相關(guān)理論對Banach空間中廣義分布半群(廣義發(fā)展算子)的一致指數(shù)穩(wěn)定性與一致指數(shù)不穩(wěn)定性作了詳細(xì)探討，給出了若干充要條件。本文將在上述文獻的基礎(chǔ)上，基于平均的視角，借助Pata引理研究Banach空間中強連續(xù)算子半群的一致指數(shù)漸近行為，分別給出其滿足一致指數(shù)穩(wěn)定與一致指數(shù)膨脹的若干新的刻畫，從而將已有的Datko-Pazy型結(jié)論[1-5,11]在平均意義下做了推廣。

1 預(yù)備知識

設(shè)(X, ‖·‖)是一個Banach空間，B(X)表示從X到自身的有界線性算子全體。記I為恒等映射，[m]表示不超過m的最大整數(shù)。

定義1[2]X上的有界線性算子族{T(t)}t≥0?B(X)稱為強連續(xù)算子半群(或單參數(shù)強連續(xù)半群，或C0半群)，如果滿足以下性質(zhì)：

(i)T(0)=I；

(ii)T(t+s)=T(t)T(s),?t,s≥0；

注1(i) 為了方便起見，后面將{T(t)}t≥0簡記為T(t)；

(iii)若T(t)為強連續(xù)算子半群，則存在常數(shù)M≥1和ω≥0，使得‖T(t)‖≤Meωt(?t≥0)。

定義2[10]強連續(xù)算子半群T(t)稱為一致指數(shù)穩(wěn)定，如果存在常數(shù)N,v>0使得對?(t,x)∈R+×X有

‖T(t)x‖≤Ne-vt‖x‖。

(1)

定義3強連續(xù)算子半群T(t)稱為一致指數(shù)膨脹，如果存在常數(shù)N,v>0使得對?(t,x)∈R+×X有

‖T(t)x‖≥Nevt‖x‖。

(2)

引理1[4]強連續(xù)算子半群T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)h>0和c∈(0,1)，使得對每個x∈X，存在τx∈(0,h]滿足

‖T(τx)x‖≤c‖x‖。

(3)

引理2強連續(xù)算子半群T(t)一致指數(shù)膨脹，當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)h>0和c>1，使得對每個x∈X，存在τx∈(0,h]滿足

‖T(τx)x‖≥c‖x‖。

(4)

證明必要性顯然，下證充分性。設(shè)x∈X，由已知條件可知存在t1:=τx∈(0,h]使得

‖T(t1)x‖≥c‖x‖成立．現(xiàn)令y=T(t1)x，則存在t2∈(0,h]使得

‖T(t1+t2)x‖=‖T(t2)y‖≥c‖y‖≥c2‖x‖。

記s1=t1,s2=t1+t2，則有‖T(si)x‖≥ci‖x‖(i=1,2)。以此類推，可構(gòu)造一個序列(tn)n∈N+使得

‖T(sn)x‖≥cn‖x‖

(5)

cn+1‖x‖≤‖T(sn+1)x‖=‖T(sn+1-t)T(t)x‖≤Meω(sn+1-t)‖T(t)x‖≤Meωh‖T(t)x‖，

故T(t)一致指數(shù)膨脹。

2 主要結(jié)論

首先，我們給出刻畫強連續(xù)算子半群T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定的3個平均定理，關(guān)于一些特殊情形，將以推論形式呈現(xiàn)。

(6)

則強連續(xù)算子半群T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定。

證明若T(t)不一致指數(shù)穩(wěn)定，由引理1可得，對任意h>0及c∈(0,1)存在x0∈X，‖x0‖=1使得對所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖>c‖x0‖=c。從而由式(6)可得，對?h>0有

因此，由洛必達法則可得

從而矛盾，故T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定。

定理1僅僅給出了一個T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定的充分條件，若取，則可得到一個刻畫T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定的連續(xù)形式的充要條件，即推論1，這樣彌補了定理1的缺陷。

推論1如果φ(t)滿足定理1中的條件，則強連續(xù)算子半群T(t)是一致指數(shù)穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)α,β>0使得對?x∈X有

(7)

下面借助推論1給出T(t)一致指數(shù)穩(wěn)定的一個離散形式的充分條件。

推論2如果φ(t)滿足定理1中的條件，且存在常數(shù)α,β,γ>0，使得對?x∈X有

(8)

則強連續(xù)算子半群T(t)是一致指數(shù)穩(wěn)定的。

證明僅需利用已知條件證明式(7)成立即可。當(dāng)t>0時，有

其中γ=Meω+α，M,ω由注1給出。

(9)

證明必要性顯然，令φ(t)=t(t>0)即可。

(10)

證明必要性由定理2立即可得。下證充分性。借助H?lder不等式有

注2定理2與定理3可以視作已有Datko-Pazy型結(jié)論[1-5,11]在平均意義下的推廣。

下面將給出刻畫強連續(xù)算子半群T(t)一致指數(shù)膨脹的兩個平均定理，值得注意的是，后面所有結(jié)論均在假定T(t)為單射的前提下才能成立。

(11)

證明必要性顯然，令φ(t)=t(t>0)即可。

充分性。若T(t)不一致指數(shù)膨脹，由引理2可知，對任意h>0及c>1存在x0∈X{0}使得對所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖

下面給出定理4的離散形式。

(12)

(13)

充分性。若T(t)不一致指數(shù)膨脹，由引理2可得，對任意h>0及c>1存在x0∈X使得對所有τ∈(0,h]，有‖T(τ)x0‖

最后給出定理5的離散形式。

(14)