叢 爽,汪 濤,張 坤

(中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)自動(dòng)化系,安徽合肥 230027)

1 引言

量子狀態(tài)的估計(jì)(quantum state estimation,QSE)是實(shí)現(xiàn)高精度量子系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制的重要前提[1],也是量子通信和量子計(jì)算的基礎(chǔ).量子狀態(tài)可以用一個(gè)密度矩陣表示.一個(gè)n比特量子系統(tǒng)中的狀態(tài)可以采用希爾伯特空間中的一個(gè)密度矩陣ρ ∈Cd×d來描述,其中,d=2n[2],同時(shí)滿足半正定,單位跡的厄米矩陣約束要求.量子層析術(shù)(quantum state tomography,QST)[3]是人們最早用來進(jìn)行量子狀態(tài)估計(jì)的技術(shù),此技術(shù)通過測(cè)量未知量子態(tài)的大量全同副本的輸出值,計(jì)算出測(cè)量的平均值,再重構(gòu)出量子狀態(tài).自2006年壓縮感知理論[4]的提出,使得人們可以通過較少的測(cè)量次數(shù),高精度地重構(gòu)出量子狀態(tài)密度矩陣.Heinosaari等人基于壓縮感知的量子層析技術(shù),研究了先驗(yàn)條件對(duì)于重構(gòu)所需最少測(cè)量值的影響[5].Zhang等人基于壓縮感知與交替方向乘子法(alternating direction multiplier method,ADMM),解決了含有稀疏干擾與高斯噪聲的量子態(tài)估計(jì)問題[6-7].不過,他們都是采用離線的數(shù)據(jù)處理,對(duì)一個(gè)固定的量子態(tài)進(jìn)行估計(jì).在實(shí)際應(yīng)用中,尤其是量子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制中,需人們實(shí)時(shí)在線地對(duì)動(dòng)態(tài)變化的量子狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).

Silberfarb 提出的連續(xù)弱測(cè)量(continuous weak measurement,CWM)[8],可以在對(duì)量子系統(tǒng)影響較小的情況下,通過計(jì)算系綜均值來重構(gòu)出量子狀態(tài)[9],為在線量子態(tài)估計(jì)提供了理論基礎(chǔ).Silberfarb等人首先采用極大似然法(maximum likelihood method,ML)開發(fā)出在線ML估計(jì)器[8-9].Ralph等人推導(dǎo)出完整的貝葉斯估計(jì)算法,用于單量子位系統(tǒng)的頻率跟蹤和參數(shù)估計(jì)[10].他們是在海森堡繪景中,先估計(jì)出初始量子態(tài),然后通過系統(tǒng)模型的演化,獲得動(dòng)態(tài)密度矩陣.Yang等人提出一種在薛定諤繪景下直接估計(jì)當(dāng)前時(shí)刻量子態(tài)的方法:將每個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)估計(jì)問題轉(zhuǎn)換為一個(gè)含有約束最小二乘問題,并采用MATLAB-CVX凸優(yōu)化工具箱對(duì)其進(jìn)行求解[11].不過,他們所采用的方法實(shí)際上是將離線算法應(yīng)用到在線求解過程中,在每一次在線估計(jì)過程中,進(jìn)行一個(gè)雙循環(huán):在外部循環(huán)中在線估計(jì)量子狀態(tài),而在內(nèi)部循環(huán)的每一次狀態(tài)估計(jì)中,執(zhí)行多次迭代,計(jì)算量非常大.Zhang等人提出一種基于在線鄰近梯度下降交替方向乘子法(proximal gradient descent for online alternating direction multiplier method,OPG-ADMM)[12]的量子態(tài)在線估計(jì)算法[13].這種方法利用一階隨機(jī)梯度信息對(duì)量子態(tài)估計(jì)值進(jìn)行更新,實(shí)現(xiàn)了量子態(tài)的在線估計(jì).該算法對(duì)輸出結(jié)果進(jìn)行半定規(guī)劃(semi-definite programming,SDP)以保證量子態(tài)估計(jì)值滿足半正定性與跡為1.

本文基于矩陣指數(shù)梯度的在線學(xué)習(xí)算法(matrix exponentiated gradient algorithm,MEG),設(shè)計(jì)自適應(yīng)的學(xué)習(xí)速率,提出一種帶有自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率的矩陣指數(shù)梯度(adaptive learning rate matrix exponentiated gradient,ALR-MEG)在線量子態(tài)估計(jì)算法.通過建立n比特開放量子系統(tǒng)的離散演化模型,構(gòu)造連續(xù)弱測(cè)量下的輸出值序列.將量子態(tài)估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為含量子狀態(tài)約束的凸優(yōu)化問題,并引入表示真實(shí)狀態(tài)與估計(jì)狀態(tài)距離的、對(duì)數(shù)型Von Neumann散度(量子相對(duì)熵),保證了量子態(tài)密度矩陣的半正定性,再通過對(duì)迭代結(jié)果進(jìn)行跡為1投影,得到最終的量子態(tài)估計(jì)值.由于所提算法對(duì)對(duì)數(shù)形式的性能指標(biāo)進(jìn)行求導(dǎo),得到指數(shù)型迭代公式,指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算的對(duì)稱性保證了輸出結(jié)果的厄米特性.因此避免了現(xiàn)有的在線量子態(tài)估計(jì)算法在每次估計(jì)中都中需要求解一個(gè)SDP問題,減少了計(jì)算量.另外,在迭代公式中采用自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率,提高了收斂速度.將所提算法應(yīng)用于1,2,3和4個(gè)量子位狀態(tài)的估計(jì),并與現(xiàn)有的在線量子態(tài)估計(jì)算法OPG-ADMM進(jìn)行性能對(duì)比.

本文安排如下:第2節(jié)為連續(xù)弱測(cè)量下的開放量子系統(tǒng)演化模型與測(cè)量序列構(gòu)造,第3節(jié)提出在線量子態(tài)矩陣指數(shù)梯度算法,第4節(jié)為仿真性能對(duì)比實(shí)驗(yàn),第5節(jié)為全文總結(jié).

2 連續(xù)弱測(cè)量下的開放量子系統(tǒng)

一個(gè)n比特量子系統(tǒng)可以由薛定諤繪景下的連續(xù)隨機(jī)開放量子系統(tǒng)主方程描述:

其中:ρ(t)∈Cd×d為量子狀態(tài)密度矩陣;H ∈Cd×d為系統(tǒng)總哈密頓量;L為L(zhǎng)indlabd算符;LH表示L的共軛轉(zhuǎn)置;Δt為相互作用時(shí)間;?通常設(shè)置為1;η為測(cè)量效率;dW是零差測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)噪聲,可滿足E(dW)=0的Wiener過程.

量子狀態(tài)在線估計(jì)過程如圖1所示,它是由連續(xù)弱測(cè)量過程和量子狀態(tài)在線估計(jì)器兩部分組成.在單量子位系統(tǒng)的弱測(cè)量過程中,通過引入一個(gè)二能級(jí)探測(cè)系統(tǒng)P,并將其與被測(cè)系統(tǒng)S組成聯(lián)合系統(tǒng),聯(lián)合系統(tǒng)狀態(tài)演化方程為

圖1 基于連續(xù)弱測(cè)量的量子狀態(tài)在線估計(jì)過程Fig.1 Online quantum state estimation process based on continuous weak measurement

其中:|?〉和|φ〉分別為系統(tǒng)P和S的初始狀態(tài),?表示Kronecker積,U(Δt):=exp()為聯(lián)合演化算符,ξ ＞0為系統(tǒng)相互作用強(qiáng)度.|O〉表示投影測(cè)量后,探測(cè)系統(tǒng)P的本征態(tài).聯(lián)立聯(lián)合演化算符U(Δt)以及弱測(cè)量前后聯(lián)合系統(tǒng)狀態(tài)|Ψ(Δt)〉變化關(guān)系式,推導(dǎo)出通過對(duì)一個(gè)二能級(jí)探測(cè)系統(tǒng)P的直接投影測(cè)量,間接作用在被測(cè)系統(tǒng)S上的弱測(cè)量算符:m0(Δt)和m1(Δt)[11].基于二能級(jí)量子系統(tǒng)的弱測(cè)量算符,可以利用張量積計(jì)算多能級(jí)量子系統(tǒng)的弱測(cè)量算符M[14].

由連續(xù)弱測(cè)量過程可知,在每個(gè)采樣時(shí)刻,可以獲得一個(gè)含有測(cè)量噪聲的測(cè)量值.在線估計(jì)器期望能夠即時(shí)精確重構(gòu)當(dāng)前采樣時(shí)刻的量子狀態(tài)密度矩陣?ρ,以達(dá)到高效的在線估計(jì)隨時(shí)間變化的量子系統(tǒng)的狀態(tài).

2.1 n-比特開放量子系統(tǒng)離散演化模型

二能級(jí)量子系統(tǒng)的弱測(cè)量算符為

其中:H=H0+uxHx(H0為系統(tǒng)自由哈密頓量,Hx為外加控制量強(qiáng)度,ux為外加控制哈密頓量);L=ξσ,其中σ為Pauli算符:

I2×2為單位矩陣.n-比特量子系統(tǒng)的弱測(cè)量算符可以通過m0(Δt)和m1(Δt)的張量積計(jì)算獲得

考慮隨機(jī)開放量子系統(tǒng)(1)中的隨機(jī)噪聲和弱測(cè)量效率,二能級(jí)量子系統(tǒng)的演化算符可以定義為

n-比特量子系統(tǒng)的演化算符可以通過a0(Δt)和a1(Δt)的張量積計(jì)算為

根據(jù)式(1)的隨機(jī)開放量子系統(tǒng)主方程以及式(3)的演化算符,通過令t=Δt·k,被測(cè)量子系統(tǒng)S的動(dòng)態(tài)離散演化模型為

其中k=1,2,···,N表示采樣時(shí)間.

式(4)可以通過線性化變換為

其中:vec(X)表示將矩陣X的所有列組合串聯(lián)為一個(gè)列向量,XT表示矩陣X的轉(zhuǎn)置.

連續(xù)弱測(cè)量過程中作用在被測(cè)系統(tǒng)狀態(tài)上的測(cè)量算符的動(dòng)態(tài)離散演化模型為

2.2 連續(xù)弱測(cè)量輸出序列的構(gòu)造

在薛定諤繪景下,每一采樣時(shí)刻人們?cè)谙到y(tǒng)S輸出端獲得的測(cè)量輸出為yi.設(shè)初始測(cè)量算符為M1,離散化的量子系統(tǒng)狀態(tài)為,那么,每一采樣時(shí)刻測(cè)量輸出的計(jì)算公式為

其中tr(X)表示矩陣X的主對(duì)角線元素之和.

實(shí)現(xiàn)在線算法的思路是:基于連續(xù)弱測(cè)量,在連續(xù)不斷的每一個(gè)時(shí)間序列里,獲得一個(gè)測(cè)量值,通過利用前面已經(jīng)獲得了的測(cè)量值,結(jié)合當(dāng)前的獲得的輸出值,構(gòu)造出一組對(duì)當(dāng)前時(shí)刻量子態(tài)估計(jì)的數(shù)據(jù)集和相應(yīng)的采樣矩陣,然后再結(jié)合測(cè)量值與密度矩陣之間的關(guān)系,重構(gòu)出密度矩陣.所以,通過在線測(cè)量實(shí)現(xiàn)對(duì)一個(gè)量子態(tài)估計(jì)的關(guān)鍵,在于構(gòu)造出合適的測(cè)量值數(shù)據(jù)序列.將測(cè)量值序列用bk表示,在每一個(gè)采樣時(shí)刻獲取一個(gè)測(cè)量值,從第2個(gè)時(shí)刻起,所獲得的測(cè)量值序列由當(dāng)前時(shí)刻獲得的值與以前所有時(shí)刻獲得測(cè)量值構(gòu)成,即k時(shí)刻的測(cè)量值序列bk=[y1y2··· yk],其中:

根據(jù)式(8)測(cè)量數(shù)據(jù)序列的構(gòu)造方法[15],測(cè)量值序列的長(zhǎng)度會(huì)隨著采樣次數(shù)ρk的增加而增大,不能一味地增加測(cè)量值序列的長(zhǎng)度,來增加計(jì)算機(jī)的運(yùn)算負(fù)擔(dān).基于壓縮傳感理論,在一定的測(cè)量次數(shù)下,就可以獲得較高的估計(jì)精度.考慮到估計(jì)精度以及在線處理的計(jì)算代價(jià),在量子態(tài)估計(jì)中,需要限制并且固定一個(gè)測(cè)量值序列的長(zhǎng)度,從第1次測(cè)量獲取數(shù)據(jù)開始,直到達(dá)到給定的測(cè)量長(zhǎng)度之后,每一次新獲得測(cè)量數(shù)據(jù),將更新替代掉已有數(shù)據(jù)序列中的一個(gè)數(shù)據(jù),從而始終保持估計(jì)數(shù)據(jù)序列限制在給定的長(zhǎng)度里,本文稱此為滑動(dòng)窗口.由此可得實(shí)際量子態(tài)估計(jì)中所使用的、帶有滑動(dòng)窗口的測(cè)量值序列為

其中l(wèi)為測(cè)量值序列的滑動(dòng)窗口長(zhǎng)度.

此時(shí),bk為一個(gè)具有長(zhǎng)度l的動(dòng)態(tài)滑動(dòng)窗口的數(shù)據(jù)集,滑動(dòng)窗口的更新策略為先進(jìn)先出.根據(jù)式(8),可以構(gòu)造與式(9)對(duì)應(yīng)的采樣矩陣為

考慮到弱測(cè)量過程中不可避免的存在測(cè)量噪聲,并結(jié)合式(9)-(10),本文將測(cè)量值序列bk重寫為

其中ek ∈Rk(l ＜k)或ek ∈Rl(k≥l)為測(cè)量噪聲,并被假設(shè)為均值為0的高斯噪聲.

到此,本文完成對(duì)連續(xù)弱測(cè)量過程中的量子系統(tǒng)離散狀態(tài)演化模型式(5)的建立,以及測(cè)量值序列式(11)的構(gòu)造.

3 帶有自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率的矩陣指數(shù)梯度在線量子態(tài)估計(jì)算法

傳統(tǒng)的矩陣指數(shù)梯度(MEG)學(xué)習(xí)算法,是應(yīng)用于對(duì)稱正定矩陣的矩陣核學(xué)習(xí)算法.它通過對(duì)數(shù)運(yùn)算,誤差修正,再指數(shù)運(yùn)算的方式輸出結(jié)果,確保了計(jì)算結(jié)果的正定性與自共軛性.該運(yùn)算過程與量子態(tài)密度矩陣的的物理約束條件相吻合.在對(duì)量子態(tài)在線估計(jì)中,需要同時(shí)考慮滿足密度矩陣的物理約束條件,以及對(duì)動(dòng)態(tài)變化的量子密度矩陣估計(jì)的實(shí)時(shí)性,算法的設(shè)計(jì)中需要考慮對(duì)計(jì)算狀態(tài)空間距離的Bregman散度表達(dá)式的選擇,以及學(xué)習(xí)速率的設(shè)置.本節(jié)中,通過將Bregman散度轉(zhuǎn)換為Von Neumann散度,重新定義量子態(tài)的測(cè)量更新中的損失函數(shù),以及設(shè)計(jì)帶有自適應(yīng)的學(xué)習(xí)速率,來推導(dǎo)出在線量子態(tài)密度估計(jì)中的ALR-MEG算法.

3.1 Von Neumann散度

3.2 量子態(tài)估計(jì)值的迭代更新

根據(jù)測(cè)量值序列的表達(dá)式(11),定義k時(shí)刻測(cè)量過程的損失函數(shù)為

此時(shí),可將量子態(tài)在線估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)包含Bregman散度以及以損失函數(shù)為修正項(xiàng),并同時(shí)滿足量子狀態(tài)約束的優(yōu)化問題[16]:

問題(17)是一個(gè)機(jī)器學(xué)習(xí)中經(jīng)典的迭代問題,只要保證該問題是一個(gè)凸優(yōu)化問題,便能通過令其導(dǎo)函數(shù)為零的方法直接求解.損失函數(shù)(15)是一個(gè)凸二次函數(shù),Von Neumann散度是Bregman散度的一種特殊形式,且是嚴(yán)格的凸函數(shù)[17].因而,將式(14)代入式(17),可以得到

算法在迭代過程最后一步對(duì)Gk進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算,并進(jìn)行跡為1的投影,得到k時(shí)刻密度矩陣的估計(jì)值.這種方法,只需在第一次迭代時(shí),對(duì)密度矩陣估計(jì)值計(jì)算,而后每次迭代,對(duì)Gk指數(shù)運(yùn)算即可,使得迭代的計(jì)算量大大降低.

本文所提的帶有自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率矩陣指數(shù)梯度算法(ALR-MEG)的在線量子態(tài)估計(jì)優(yōu)化算法步驟總結(jié)在算法1中.

算法1ALR-MEG.

本文所提的ALR-MEG算法,從算法推導(dǎo)的過程中就保證了輸出結(jié)果的半正定性與自共軛性.對(duì)比現(xiàn)有OPG-ADMM算法,省去了對(duì)每次輸出結(jié)果的半定規(guī)劃(SDP)處理.在OPG-ADMM算法中,其學(xué)習(xí)速率ηk計(jì)算公式為[15]

其中:τ與c均為正常量,的最大特征值.

由式(25)可以看出,OPG-ADMM算法在更新學(xué)習(xí)速率的過程中,需要獲得的最大特征值λmax,這需要對(duì)進(jìn)行奇異值分解.根據(jù)式(10)可知,測(cè)量矩陣Ak的維度隨窗口長(zhǎng)度l的增加而增大,因而使得OPG-ADMM算法在窗口長(zhǎng)度較長(zhǎng)的情況下,耗時(shí)大大增加.而本文所提的ALR-MEG算法中,主要的復(fù)雜度體現(xiàn)在對(duì)于的對(duì)數(shù)運(yùn)算與指數(shù)運(yùn)算上,Ak僅僅參與損失函數(shù)(15)中的乘法運(yùn)算.且算法的學(xué)習(xí)速率是根據(jù)實(shí)際情況自適應(yīng)變化的,不受窗口長(zhǎng)度l的影響,因此在運(yùn)行效率上優(yōu)于OPG-ADMM算法.

4 量子態(tài)在線估計(jì)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)及其結(jié)果分析

本節(jié)將ALR-MEG算法與OPG-ADMM算法進(jìn)行性能對(duì)比的數(shù)值方真實(shí)驗(yàn),比較不同參數(shù)在量子態(tài)在線重構(gòu)中對(duì)性能的影響.本文將進(jìn)行3個(gè)實(shí)驗(yàn):1)滑動(dòng)窗口大小對(duì)性能影響的實(shí)驗(yàn);2)固定窗口長(zhǎng)度下的性能對(duì)比實(shí)驗(yàn);3)兩種算法耗時(shí)性能對(duì)比實(shí)驗(yàn).

實(shí)驗(yàn)中,量子系統(tǒng)的真實(shí)狀態(tài)ρk由式(5)產(chǎn)生,測(cè)量矩陣Ak和測(cè)量值序列bk分別由式(10)-(11)構(gòu)造.對(duì)于n-比特量子系統(tǒng)模型,密度矩陣的初始值設(shè)為

實(shí)驗(yàn)中分別研究了1,2,3和4量子位下的算法性能,并著重研究4量子位系統(tǒng)兩種算法性能表現(xiàn).實(shí)驗(yàn)中設(shè)置系統(tǒng)相互作用強(qiáng)度為ξ=0.5;外加控制量強(qiáng)度為ux=2;系統(tǒng)測(cè)量效率為η=0.5;隨機(jī)噪聲為dW的幅值為0.01;高斯噪聲的信噪比(signal-to-noise ratio,SNR)為60 dB.對(duì)于估計(jì)值精度的衡量,本文采用采用了兩種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn).一是在純態(tài)研究中常用的保真度fidelity,其定義為

4.1 滑動(dòng)窗口的大小對(duì)于算法影響的實(shí)驗(yàn)

在本實(shí)驗(yàn)中,針對(duì)1,2,3和4量子位,驗(yàn)證不同長(zhǎng)度的滑動(dòng)窗口對(duì)于算法的影響.實(shí)驗(yàn)中,系統(tǒng)的外加控制量強(qiáng)度ux=2,總采樣次數(shù)設(shè)置為N=500,滑動(dòng)窗口的長(zhǎng)度取值l=1,2,···,100,性能指標(biāo)設(shè)置為保真度fidelity(?ρk,ρk)≥0.90.在每一種窗口長(zhǎng)度下,記錄不同量子位,達(dá)到性能指標(biāo)所需要的最小采樣次數(shù)kmin.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖2所示.

圖2 滑動(dòng)窗口大小對(duì)在線估計(jì)的影響Fig.2 Impact of the sliding window size on online estimation

從圖2可以看到,隨著滑動(dòng)窗口尺寸的不斷增加,對(duì)于不同的量子位,最小采樣次數(shù)kmin均有不斷減小并趨于平緩的過程.這意味著,ALR-MEG算法對(duì)于不同的量子位有各自不同的最佳窗口長(zhǎng)度.在1,2,3,4量子位下的最佳窗口長(zhǎng)度分別為11,13,16和80,對(duì)應(yīng)達(dá)到性能指標(biāo)的最小采樣次數(shù)分別為11,20,23和101.

為了更好的體現(xiàn)兩種算法對(duì)于密度矩陣全部元素的估計(jì)效果,對(duì)4量子位的狀態(tài)估計(jì)進(jìn)行了進(jìn)一步研究,采用誤差歸一化距離D(,ρk)≤0.10的性能指標(biāo),滑動(dòng)窗口的長(zhǎng)度取值l=1,2,···,100,在每個(gè)窗口長(zhǎng)度下重復(fù)十次實(shí)驗(yàn),記錄每個(gè)窗口長(zhǎng)度下達(dá)到性能指標(biāo)的最少采樣次數(shù)kmin十組,并計(jì)算每個(gè)窗口長(zhǎng)度下最小采樣次數(shù)kmin的標(biāo)準(zhǔn)差.對(duì)比ALR-MEG與OPG-ADMM算法達(dá)到性能指標(biāo)的最小采樣次數(shù)隨窗口長(zhǎng)度的變化及標(biāo)準(zhǔn)差大小.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖3所示.

圖3 可變窗口長(zhǎng)度下算法性能對(duì)比Fig.3 Algorithm performance comparison under variable window length

從圖3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以得到以下結(jié)論:

1) 4量子位下,隨著窗口長(zhǎng)度的增加,兩種算法達(dá)到性能指標(biāo)所需的采樣次數(shù)逐漸遞減,并在窗口長(zhǎng)度達(dá)到一定值后趨于穩(wěn)定.ALR-MEG和OPG-ADMM算法最佳窗口長(zhǎng)度分別為83和81,但是兩種算法達(dá)到穩(wěn)定的采樣次數(shù)分別為89和153.這表明4量子位下,ALR-MEG比OPG-ADMM有更快的收斂速率.

2) 對(duì)于每一個(gè)窗口長(zhǎng)度,標(biāo)準(zhǔn)差表示隨機(jī)噪聲對(duì)于算法穩(wěn)定性的影響.從圖3可以看出,對(duì)兩種算法而言,窗口長(zhǎng)度的增加都有助于降低標(biāo)準(zhǔn)差,增強(qiáng)算法的抗干擾能力.當(dāng)kmin穩(wěn)定,即窗口長(zhǎng)度在[80,100]時(shí),ALR-MEG算法的標(biāo)準(zhǔn)差范圍在[0.41,8.80],標(biāo)準(zhǔn)差的均值為5.07,而OPG-ADMM 算法的標(biāo)準(zhǔn)差在[5.82,24.03]之間,標(biāo)準(zhǔn)差的均值為12.55.這表明當(dāng)kmin趨于穩(wěn)定時(shí),ALR-MEG 算法表現(xiàn)出比OPG-ADMM更優(yōu)異的抗干擾能力.

為了增強(qiáng)算法對(duì)噪聲干擾的穩(wěn)定性,選取略比最佳窗口長(zhǎng)度稍大一些的窗口進(jìn)行接下來的實(shí)驗(yàn).下面的所有實(shí)驗(yàn)中1,2,3和4量子位的窗口長(zhǎng)度分別選取13,16,16,88.

4.2 固定窗口長(zhǎng)度下的性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

圖4 固定窗口長(zhǎng)度的性能對(duì)比Fig.4 Online estimation performance of two algorithms under fixed sliding window size

從圖4的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以得到如下結(jié)論:

1) 在最大采樣次數(shù)N=500 內(nèi),ALR-MEG 與OPG-ADMM算法均能達(dá)到目標(biāo)精度.且隨著量子位數(shù)的增加,達(dá)到目標(biāo)精度所需的采樣次數(shù)逐漸遞增.用保真度衡量?jī)煞N算法的性能時(shí),兩種算法所表現(xiàn)的性能差距不大.

2) 隨著量子位數(shù)的增加,達(dá)到D(ρk)≤0.10所需的采樣次數(shù)不斷增加.兩種算法在1,2和3量子位下的性能相差不大,但是在4量子位時(shí),ALR-MEG算法的采樣次數(shù)小于OPG-ADMM算法.

針對(duì)4量子位兩種算法的性能差異,進(jìn)行了進(jìn)一步的實(shí)驗(yàn).固定相同的窗口長(zhǎng)度為88,記錄誤差歸一化距離D(,ρk)隨著采樣次數(shù)的變化.實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖5所示.

圖5 4量子位歸一化距離隨采樣次數(shù)變化Fig.5 Normalized distance changes with the number of sample for 4 qubit

從圖5 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以看到,在4 量子位下,ALR-MEG與OPG-ADMM算法達(dá)到目標(biāo)精度所需采樣次數(shù)分別為106與166次,并且ALR-MEG比OPG-ADMM算法早60次采樣達(dá)到目標(biāo)精度.在采樣次數(shù)k=100時(shí),ALR-MEG與OPG-ADMM的歸一化距離分別為(100,0.08814)和(100,0.1665).

當(dāng)k=100時(shí),真實(shí)的量子狀態(tài)密度矩陣幅值為|ρ100|,如圖6(a)所示,采用ALR-MEG與OPG-ADMM算法的估計(jì)出的狀態(tài)密度矩陣幅值分別如圖6(b)和6(c)所示.

圖6 k=100時(shí)真實(shí)以及估計(jì)狀態(tài)的密度矩陣幅值Fig.6 When k=100 the density matrix amplitude of the real state and the estimated state

對(duì)比圖6(b)與6(c),可以發(fā)現(xiàn),ALR-MEG算法在k=100時(shí),不僅更好的反映了主對(duì)角線元素的特征,而且對(duì)于非對(duì)角線元素,相比OPG-ADMM算法也有更好的估計(jì)效果.這是由于ALR-MEGG算法采用的是自適應(yīng)的學(xué)習(xí)速率,其步長(zhǎng)會(huì)根據(jù)誤差的變化而變化,以更快的達(dá)到收斂.而OPG-ADMM算法的學(xué)習(xí)速率是通過求測(cè)量矩陣的最大奇異值而得,當(dāng)測(cè)量矩陣選定時(shí),其步長(zhǎng)會(huì)按照固定的曲線遞減.4量子位的狀態(tài)估計(jì)中,兩種算法的學(xué)習(xí)速率隨采樣次數(shù)的變化曲線如圖7所示.

從圖7的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中可以得到,ALR-MEG算法的學(xué)習(xí)速率是一個(gè)先增加再遞減的過程,而OPG-ADMM算法的學(xué)習(xí)速率是一個(gè)遞減到定值的過程,這與采樣次數(shù)達(dá)到窗口長(zhǎng)度后,每次采樣所使用的測(cè)量矩陣保持不變相對(duì)應(yīng).由于兩種算法的梯度計(jì)算方式不同,學(xué)習(xí)速率的絕對(duì)值大小并沒有意義,本文只需關(guān)注學(xué)習(xí)速率的變化趨勢(shì)即可.在線估計(jì)問題中,本文將k ?1時(shí)刻產(chǎn)生的估計(jì)值,當(dāng)作k時(shí)刻的真實(shí)值并計(jì)算誤差來得到k時(shí)刻的估計(jì)值.但是由于演化造成的誤差并不時(shí)一個(gè)單純的遞減過程,這使得OPG-ADMM算法的學(xué)習(xí)速率選擇存在一定不足,也讓ALR-MEG算法表現(xiàn)出更好的跟蹤效果.

圖7 兩種算法的學(xué)習(xí)速率隨采樣次數(shù)的變化Fig.7 Learning rate of the two algorithms varies with the number of samples

4.3 兩種算法耗時(shí)性能對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本節(jié)中,對(duì)兩種算法的計(jì)算時(shí)間進(jìn)行了性能對(duì)比實(shí)驗(yàn),實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖8所示.其中,圖8(a)為量子位數(shù)分別在在1,2,3和4下,固定窗口長(zhǎng)度分別為13,16,16,88時(shí),達(dá)到窗口長(zhǎng)度后每估計(jì)一次所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間;圖8(b)為4量子位下,采樣500次,且在不同窗口長(zhǎng)度下所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間.

1) 從圖8(a)中可以看出:OPG-ADMM算法在1,2,3量子位時(shí),所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間比ALR-MEG算法少,但4量子位時(shí),OPG-ADMM算法所需時(shí)間明顯增加,并且超過ALR-MEG算法的用時(shí).

圖8 兩種算法的計(jì)算時(shí)間對(duì)比Fig.8 Comparison of the calculation time of two algorithms

2) 從圖8(b)中可以看出:在4 量子位下,ALR-MEG算法估計(jì)所花費(fèi)的計(jì)算時(shí)間并不隨窗口長(zhǎng)度的變化而發(fā)生太大變化,而OPG-ADMM算法的計(jì)算時(shí)間隨著窗口長(zhǎng)度的增加而增加,該算法學(xué)習(xí)速率的計(jì)算需要對(duì)進(jìn)行奇異值分解以求得其最大特征值λmax,隨著估計(jì)量子態(tài)位數(shù)的增加,窗口長(zhǎng)度也增加,使得奇異值分解計(jì)算量也隨之增加.這使得OPG-ADMM算法的耗時(shí)也不斷增加,如圖8(b)中實(shí)線所示,而ALR-MEG算法在更高維的量子態(tài)在線估計(jì)上,因其估計(jì)計(jì)算時(shí)間不隨窗口長(zhǎng)度的增加而增長(zhǎng),如圖8(b)中虛線所示,而表現(xiàn)出更好的性能.

5 結(jié)論

對(duì)于連續(xù)弱測(cè)量下的動(dòng)態(tài)量子系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)問題,本文提出了一種帶有自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率的矩陣指數(shù)梯度量子態(tài)在線估計(jì)算法ALR-MEG.所提算法通過使用量子相對(duì)熵作為Bregaman散度參與迭代,省去了對(duì)輸出結(jié)果的半定規(guī)劃處理.設(shè)計(jì)自適應(yīng)學(xué)習(xí)速率加快算法的收斂速度,并設(shè)置輸出序列的滑動(dòng)窗口進(jìn)一步提高了估計(jì)效率.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明,所提方法在高量子位下,能以更少的采樣次數(shù)與耗時(shí)達(dá)到高精度的量子態(tài)在線估計(jì),顯示出ALR-MEG算法在高量子位狀態(tài)估計(jì)問題中的優(yōu)越性.