朱雪楓 ,王建輝

(1.沈陽(yáng)工程學(xué)院信息學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110136;2.東北大學(xué)信息學(xué)院,遼寧沈陽(yáng) 110819)

1 引言

迭代學(xué)習(xí)控制(iterative learning control,ILC)是一種先進(jìn)的控制方法,適用于有限時(shí)間重復(fù)運(yùn)行的控制過程,通過重復(fù)學(xué)習(xí),不斷修正當(dāng)前的輸入信號(hào),實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)對(duì)期望軌跡的完全跟蹤[1-3].在過去的幾十年里,ILC已經(jīng)成為許多學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)[4-6].

一般來說,經(jīng)典的迭代學(xué)習(xí)控制律可分為D型[7]、P型[8-9]、PD型、PID型[10]、高 階PD型[11-12]、以 及基于反饋的PD型、PID型[13]和組合型[14]等.迭代學(xué)習(xí)控制以其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、學(xué)習(xí)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn),在機(jī)器人控制[15-16]和工業(yè)重復(fù)運(yùn)動(dòng)控制[17-18]中得到了廣泛的應(yīng)用.

目前,在迭代學(xué)習(xí)控制的研究中仍然存在著一些挑戰(zhàn),第1個(gè)挑戰(zhàn)是系統(tǒng)約束問題.文獻(xiàn)[19]提出了一種新的參數(shù)迭代學(xué)習(xí)控制算法,該算法對(duì)距離和角度跟蹤誤差有非對(duì)稱約束要求.文獻(xiàn)[20]引入了一種獨(dú)特的不對(duì)稱Barrier Lyapunov(BLF)函數(shù),在滿足非對(duì)稱輸出約束的條件下,同時(shí)解決具有和不具有非對(duì)稱輸出約束的高階非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題.BLF是一個(gè)類似Lyapunov的函數(shù),當(dāng)參數(shù)接近某個(gè)極限時(shí),它會(huì)增長(zhǎng)到無窮大.在閉環(huán)系統(tǒng)中,通過分析BLF的有界性,來保證參數(shù)的約束,這為作者的工作提供了一定的啟發(fā).

ILC研究面臨的第2個(gè)挑戰(zhàn)是如何處理系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性.通常系統(tǒng)的不確定性滿足參數(shù)化的假設(shè),即假設(shè)系統(tǒng)不確定性是由常量或周期性的未知項(xiàng)組成.當(dāng)上述假設(shè)不成立時(shí),傳統(tǒng)的ILC將無法滿足系統(tǒng)的控制要求.文獻(xiàn)[21]針對(duì)具有參數(shù)和非參數(shù)不確定性的離散非線性系統(tǒng),提出了一種新的魯棒自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法.文獻(xiàn)[22]針對(duì)一類輸入輸出耦合參數(shù)未知的不確定非線性系統(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問題,提出了一種基于學(xué)習(xí)的輸入輸出耦合參數(shù)辨識(shí)技術(shù).文獻(xiàn)[23]對(duì)一類離散不確定非線性系統(tǒng),提出了一種新的帶調(diào)整因子的網(wǎng)絡(luò)迭代學(xué)習(xí)控制(NILC)方案,并嚴(yán)格證明了在一定條件下,系統(tǒng)跟蹤誤差沿迭代方向收斂至零.文獻(xiàn)[24]針對(duì)一類擾動(dòng)周期與參考信號(hào)周期之間無公共倍數(shù)的非參數(shù)不確定系統(tǒng),提出一種魯棒雙周期重復(fù)控制方法.

第3個(gè)挑戰(zhàn)是不同的迭代初始條件.ILC要求被控系統(tǒng)的初始位置必須嚴(yán)格位于期望軌跡的起點(diǎn),但由于復(fù)位條件和實(shí)際重復(fù)精度的限制,初始誤差難以避免.文獻(xiàn)[25]針對(duì)一類參數(shù)化高階不確定非線性連續(xù)系統(tǒng),設(shè)計(jì)迭代學(xué)習(xí)控制算法,以解決隨機(jī)初態(tài)對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能產(chǎn)生的負(fù)面影響.文獻(xiàn)[26]針對(duì)一類非參數(shù)不確定系統(tǒng),提出狀態(tài)受限迭代學(xué)習(xí)控制的參考信號(hào)初始修正方法,以解決任意初態(tài)下的狀態(tài)受限軌跡跟蹤問題.目前在迭代學(xué)習(xí)控制中,對(duì)不同迭代初始條件的研究較少,因此,如何提高重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)在任意初始狀態(tài)下,迭代學(xué)習(xí)控制的跟蹤性能是一個(gè)值得探討的問題.

此外,可靠性問題也受到越來越多的關(guān)注.例如執(zhí)行器發(fā)生故障可能會(huì)影響整個(gè)控制目標(biāo),甚至?xí)l(fā)生安全隱患.但是執(zhí)行器故障在ILC文獻(xiàn)中還沒有得到足夠的重視,只有最近的一些文獻(xiàn)討論了這類問題[28-30].

綜上所述,以迭代學(xué)習(xí)控制框架為基礎(chǔ),在任意初始狀態(tài)下,如何解決重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的非參數(shù)不確定問題,同時(shí)滿足系統(tǒng)輸出約束是本文的研究重點(diǎn).因此,本文的目的是設(shè)計(jì)一種雙迭代控制策略,主要工作和創(chuàng)新:1)將復(fù)雜的迭代學(xué)習(xí)過程簡(jiǎn)化為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的迭代控制器,并在控制器設(shè)計(jì)中引入一類非線性飽和函數(shù),該函數(shù)的引入不僅有利于收斂性的分析,還避免了參數(shù)的正向疊加對(duì)系統(tǒng)收斂性的影響,同時(shí)能夠保證系統(tǒng)跟蹤誤差收斂于給定的鄰域;2)設(shè)計(jì)參考軌跡自修正策略,在每個(gè)迭代周期上設(shè)置一個(gè)固定的調(diào)整時(shí)間域,根據(jù)上次迭代的輸出調(diào)整下一次迭代的參考軌跡,隨著迭代次數(shù)的增加,該策略可實(shí)現(xiàn)預(yù)設(shè)時(shí)刻后的精確跟蹤控制.

2 問題的提法

2.1 問題描述

考慮如下多輸入多輸出(multiple input multiple output,MIMO)非線性系統(tǒng):

注1式(2)是執(zhí)行器故障的一般表達(dá)式[27,31].乘性故障存在于控制輸入通道,表示不確定增益.加性故障和乘性故障都隨著迭代次數(shù)和迭代次數(shù)的增加而改變.當(dāng)?k(t)=0,且ρk(t)=In×n時(shí),不存在執(zhí)行器故障.當(dāng)0＜ρk,i(t)≤1,i=1,2,···,n時(shí),表示執(zhí)行器失效.

2.2 系統(tǒng)約束

定義第k次迭代的初始參考軌跡為xd(t),因此,每次迭代的系統(tǒng)誤差約束如下:

其中:‖x‖是x的歐幾里德范數(shù),Λb,k(t)是預(yù)定義的系統(tǒng)誤差約束,T1＞0是一個(gè)任意小的正常數(shù).

注2上述誤差約束是在有限的時(shí)間間隔[T1,T]內(nèi)給出的,而不是整個(gè)迭代周期t ∈[0,T].每次迭代的初始期望狀態(tài)可能不同,初始條件也可能會(huì)隨著迭代次數(shù)而改變.也就是說,每次迭代的初始誤差不為0.由于初始誤差是隨機(jī)的,因此初始誤差不包含在誤差約束中.當(dāng)T1是一個(gè)足夠小的常數(shù),時(shí)間間隔[T1,T]可以無限接近[0,T].

當(dāng)需要限制系統(tǒng)的輸出時(shí),式(3)可寫為如下形式:

其中Λy,k(t)是預(yù)定義的輸出約束.因?yàn)?/p>

所以在此設(shè)計(jì)了一個(gè)連續(xù)函數(shù)Λb,k(t)滿足

則可以得到

注3為了保證系統(tǒng)輸出軌跡的精確跟蹤,必須保證系統(tǒng)輸出約束的范數(shù)大于參考軌跡的范數(shù),這意味著Λy,k(t)?‖xd,k(t)‖＞0.

本節(jié)引入非線性飽和函數(shù),利用其“小誤差放大,大誤差飽和”的特性來處理系統(tǒng)中的誤差,如式(6)所示,式中α,γ ∈(0,1],β ＞1為設(shè)計(jì)參數(shù),

將式(6)求導(dǎo),可得到

sgnx是標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)函數(shù).對(duì)于式(6)-(7)中所示的非線性函數(shù),有以下引理[32]:

引理11) 當(dāng)x=0時(shí),F(x)=0,f(x)=0,當(dāng)0時(shí),F(x)＞0;

2)F(x)連續(xù)可微,f(x)對(duì)于x來說是單調(diào)增函數(shù),且|f(x)|≤βα;

3) 對(duì)0,存在正常數(shù)κ ＞0,使得下式成立:

4) 對(duì)0,存在正常數(shù)κ1＞0,使得下式成立:

2.3 參考軌跡自修正策略

在每個(gè)迭代周期內(nèi),重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的參考軌跡xd,k(t)會(huì)隨著時(shí)間t,迭代次數(shù)k和初始狀態(tài)xd,k(0)的改變而變化.顯然,這很難保證初始誤差:xk(0)?xd,k(0)在整個(gè)迭代周期[0,T]內(nèi)都是一樣的.

所以,本節(jié)設(shè)計(jì)考軌跡自修正策略如下:

3 雙迭代優(yōu)化學(xué)習(xí)控制策略

為了簡(jiǎn)化符號(hào),在沒有混淆的情況下,在后文的公式中將省略系統(tǒng)的時(shí)間t.

3.1 控制策略設(shè)計(jì)

本節(jié)所設(shè)計(jì)的雙迭代控制器由兩層迭代控制器組成,根據(jù)迭代誤差設(shè)計(jì)第1層迭代控制器vk,將其定義為vk=[vk,1vk,2··· vk,n]T,第2 層迭代控制器uk由本次迭代誤差和上一次迭代的vk?1組成,即式(2)中的控制量uk,將其定義為uk=[uk,1uk,2··· uk,n]T.具體表達(dá)式如下:

式(16)中采用h算子來表示第1層迭代控制器和第2層迭代控制器之間的映射關(guān)系.由于非參數(shù)不確定性的存在,使用式rk(t)來表示第1層迭代控制器產(chǎn)生的虛擬參考信號(hào),該序列由學(xué)習(xí)律(18)給出.

注4為了進(jìn)一步闡述第2層迭代控制律是如何工作的,考慮一個(gè)特殊情況:虛擬參考信號(hào)rk(t),?t ∈[0,T]在迭代域內(nèi)沒有變化,即算子h是靜態(tài)的.在這種情況下,對(duì)于任意時(shí)刻t,第2層迭代控制律由式(16)給出.

假設(shè)4對(duì)于迭代控制律(16),令Φk(t)=rk(t)?huk(t),算子h已知,rk(t)為任意連續(xù)函數(shù),對(duì)于任意實(shí)數(shù)對(duì)(Φ,υ),存在一個(gè)正整數(shù)N2=N2(Φ,υ)在t∈[0,T]內(nèi)滿足

其中k為迭代次數(shù).

注5假設(shè)4表明,在t ∈[0,T]內(nèi),Φk(t)在N2次迭代中收斂到零的υ鄰域.此外,N2的選擇不依賴于時(shí)間t.

3.2 收斂性分析

定理1對(duì)于式(17)所控制的重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)(1),應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)律(19)-(20),在假設(shè)1-3的條件下,可以保證系統(tǒng)的軌跡跟蹤誤差在時(shí)間間隔[T1,T]上是收斂的,即

證首先定義Barrier復(fù)合能量函數(shù)如下:

1) Barrier復(fù)合能函數(shù)的有界性分析.

本小節(jié)的目的是證明在時(shí)間間隔[0,T]內(nèi),能量函數(shù)Ek(t)的有界性.首先分析Ek(t)的單調(diào)性,由式(22)可知

下面分別討論上式中的各項(xiàng):

由引理1,可以得到

下面探討第2層迭代控制律uk的一致收斂性.一方面,由于第1層迭代控制律的收斂條件較弱,因此要求第2層迭代控制律具有較強(qiáng)的收斂性.另一方面,一旦兩層迭代控制律都收斂,就可以確保整個(gè)系統(tǒng)的一致收斂性.

定理2對(duì)于式(16)-(17)所控制的重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)(1),應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)律(18)-(20),在假設(shè)4的條件下,可以保證跟蹤誤差半全局收斂.即|ek(t)|≤υ,

根據(jù)假設(shè)4 可知rk(t)有界,應(yīng)用Barbalat引理[33],可以得出當(dāng)k →∞時(shí),誤差一致收斂于0.這表明當(dāng)k →∞時(shí),序列{δk:=ud?rk}k∈N一致收斂于0.

利用文獻(xiàn)[34]的定理1,存在光滑Lyapunov 函數(shù)V(·),使得下面條件成立:

注6以上結(jié)果表明,在雙迭代學(xué)習(xí)控制中,在有限迭代N1N2內(nèi),系統(tǒng)輸出xk可以收斂于期望軌跡xd,k的υ領(lǐng)域內(nèi).由于N1和N2的選擇不依賴于時(shí)間t,所以整個(gè)系統(tǒng)的收斂性是一致的.

定理2雖然提供了雙迭代控制器的一致收斂條件,但由于第1層迭代控制器必須等到第2層迭代控制律收斂于期望軌跡xd,k的υ領(lǐng)域內(nèi),才能進(jìn)行下一次迭代.為了得到更快的收斂速度,即同時(shí)更新兩層迭代控制律,提出下面的假設(shè)條件.

其中:ε ∈(0,1),k為迭代次數(shù).

注7雖然假設(shè)5的條件非常嚴(yán)格,但可以使整個(gè)系統(tǒng)有更好的性能,即兩個(gè)迭代循環(huán)可以同時(shí)更新.還可以提高收斂速度,進(jìn)而簡(jiǎn)化收斂性分析.

定理3對(duì)于式(16)-(17)所控制的重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)(1),應(yīng)用迭代學(xué)習(xí)律(18)-(20),在假設(shè)4的條件下,軌跡跟蹤誤差在時(shí)間間隔[T1,T]上是收斂的,即

4 仿真驗(yàn)證

以二自由度機(jī)械臂為例,來驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的雙迭代優(yōu)化控制器在實(shí)際系統(tǒng)應(yīng)用中的有效性.已知二自由度機(jī)械臂一般動(dòng)力學(xué)模型可描述為如下形式:

干擾項(xiàng)F為幅值為1的隨機(jī)信號(hào).機(jī)器人質(zhì)量為m1=m2=1,機(jī)械臂長(zhǎng)度為l1=l2=0.5,連桿重心距離為lc1=lc2=0.25,g=9.8.

設(shè)定目標(biāo)軌跡為sin(2πt)和cos(2πt),為了保證被控系統(tǒng)初始值與給定初值一致,取被控系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0=[0 2π1 0]T.設(shè)非線性飽和函數(shù)(7)中的參數(shù)分別為α=0.7,β=2.0,δ=0.01.執(zhí)行器乘性故障ρk=0.8+0.2e?1.5t,執(zhí)行器加性故障?k=0.1(1?e?1.5t).回歸矩陣范數(shù)‖ξk‖=1.控制器增益設(shè)計(jì)為K1=10,K2=6,K=0.9.迭代更新參數(shù)為q=1,pφ=0.3,pd=0.7.迭代次數(shù)為20,每次迭代周期為1 s.參考軌跡調(diào)整時(shí)間域?yàn)閇0,0.2].

圖1-4分別顯示了第1次迭代和20次迭代后的實(shí)際輸出和期望參考軌跡,實(shí)線為參考軌跡,虛線為實(shí)際輸出曲線.可以明顯看出,經(jīng)過20次迭代后,系統(tǒng)輸出軌跡可以很好的跟蹤期望參考軌跡.值得注意的是,第1次迭代和第20次迭代的參考軌跡是不同的,這是因?yàn)? s～0.2 s為系統(tǒng)參考軌跡修正階段,此時(shí)在給定參考軌跡基礎(chǔ)上,根據(jù)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行變參考的修正,在0.2 s之后,系統(tǒng)逐漸進(jìn)入穩(wěn)定跟蹤狀態(tài).由此可見,本文所設(shè)計(jì)的控制策略可以較好的處理迭代初始誤差不確定問題.

圖1 關(guān)節(jié)1的第1次迭代軌跡跟蹤曲線Fig.1 Trajectory tracking curve of Joint 1 at first iteration

圖2 關(guān)節(jié)2的第1次迭代軌跡跟蹤曲線Fig.2 Trajectory tracking curve of Joint 2 at first iteration

為了更清晰的展示參考軌跡修正過程,圖5-7為放大后的首次迭代、二次迭代和20次迭代后的參考軌跡.由此可見,前兩次的參考軌跡修正效果更為明顯,系統(tǒng)的誤差也較大,但是經(jīng)過20次迭代后的參考軌跡逐漸擬合于初始給定軌跡,證明了本文所設(shè)計(jì)的參考軌跡自修正策略的有效性.

圖3 關(guān)節(jié)1的第20次迭代軌跡跟蹤曲線Fig.3 Trajectory tracking curve of Joint 1 at 20 iteration

圖4 關(guān)節(jié)2的第20次迭代軌跡跟蹤曲線Fig.4 Trajectory tracking curve of Joint 2 at 20 iteration

圖5 首次迭代后的參考軌跡Fig.5 Reference trajectory after the first iteration

圖6 第2次迭代后的參考軌跡Fig.6 Reference trajectory after two iterations

圖7 20次迭代后的參考軌跡Fig.7 Reference trajectory after 20 iterations

圖8顯示了20次迭代的平均跟蹤誤差對(duì)比,隨著迭代次數(shù)的增加,跟蹤誤差有下降的趨勢(shì),即下一個(gè)迭代周期相比于前一個(gè)迭代周期具有更好的跟蹤性能,且可以迅速收斂于0,這體現(xiàn)了雙迭代學(xué)習(xí)控制的優(yōu)越性.以上結(jié)果證明了本文所提出的雙迭代優(yōu)化控制策略可以保證在迭代初值不確定的情況下,非線性重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)仍然能夠穩(wěn)定跟蹤期望軌跡,并且隨著迭代次數(shù)的增加,跟蹤性能逐漸提高.

圖8 20次迭代跟蹤誤差對(duì)比Fig.8 Comparison of 20 iterations tracking error

5 結(jié)論

本文針對(duì)非線性重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的非參數(shù)不確定問題,設(shè)計(jì)了一類雙迭代優(yōu)化學(xué)習(xí)控制策略.該控制策略將復(fù)雜的迭代學(xué)習(xí)過程分解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的迭代學(xué)習(xí)控制器.并設(shè)計(jì)了參考軌跡自修正策略,保證了在參考軌跡不確定的情況下重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行.另外,本文引入一種飽和非線性函數(shù)來處理系統(tǒng)誤差,使重復(fù)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的軌跡滿足約束條件.應(yīng)用Barrier復(fù)合能量函數(shù)證明了該控制策略可以在有限時(shí)間間隔內(nèi)一致收斂.最后,通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了所提出的非參數(shù)不確定迭代優(yōu)化學(xué)習(xí)控制方法的有效性和實(shí)用性.