張彬文,李 健,譚 文

(華北電力大學控制與計算機工程學院,北京 102206)

1 引言

很多化工過程、電力系統(tǒng)等都呈現出多變量耦合時延特性,和單回路控制相比,多變量控制不僅需要克服系統(tǒng)外部擾動、未建模動態(tài)以及參數不確定性的影響,還需要克服回路間的相互作用.目前比例積分微分(proportional integral derivative,PID)控制器由于其簡單的結構和顯著的控制效果被廣泛應用于多變量系統(tǒng)控制,最簡單的思路是忽略回路間的耦合作用,將多變量系統(tǒng)當成多個單回路控制系統(tǒng),然后采用PID進行控制,但是由于控制器彼此交互,每個回路不能獨立調節(jié),會影響系統(tǒng)控制性能和系統(tǒng)穩(wěn)定性.因此,逐步衍生出了多變量解耦控制算法.相對增益矩陣(relative gain array,RGA)[1]、有效開環(huán)增益(effective open-loop transfer function,EOTF)等概念被引入多變量解耦控制中,文獻[2]中采用EOTF和RGA的概念提出了多回路PID控制器;文獻[3]提出了基于直接分析法的多回路PI控制器.但通過EOTF,RGA或者直接分析法的得到解耦對象通常是高階復雜傳遞函數,需要通過模型簡化獲得可用于控制器設計的低階對象.因此,采用這些這些方法進行解耦設計會增加額外要求,不便于工程實現.

隨著工業(yè)過程復雜程度的增加,PID控制逐漸顯示出其控制的缺點,很多先進的控制算法在替代PID控制方面做出了很多努力.自抗擾控制(active disturbance rejection control,ADRC)算法[4-5]的核心思想是將系統(tǒng)“總擾動”(系統(tǒng)外擾和內擾的總和)通過擴張狀態(tài)觀測器(extend state observer,ESO)的擴張狀態(tài)進行實時估計,然后通過反饋控制律進行消除.最初ADRC是基于一系列非線性函數提出的,參數整定過程繁瑣,極大地限制了ADRC技術的發(fā)展.Gao[6]將ADRC進行線性化處理并在參數整定中引入了帶寬的概念,自此自抗擾控制受到了學術界和工業(yè)界越來越多的關注.自抗擾控制算法在多變量系統(tǒng)控制也有一些進展:文獻[7]中針對多變量時延系統(tǒng)提出了基于靜態(tài)解耦的非線性ADRC控制算法,但參數整定過程過于繁瑣;對于無時延線性和非線性多變量系統(tǒng),文獻[8]提出了一種基于動態(tài)解耦的ADRC控制方法;文獻[9]中在ADRC內部控制結構中引入靜態(tài)解耦矩陣,并將該方法應用到循環(huán)流化床鍋爐控制系統(tǒng)中;離散低階ADRC控制器對于開環(huán)穩(wěn)定多變量系統(tǒng)控制在文獻[10]中進行了分析;文獻[11]中采用降階ADRC對雙入雙出系統(tǒng)進行控制,同時控制器參數可根據解耦機制進行了調整.

目前,所有基于ADRC的多變量系統(tǒng)控制都將被控對象當串聯(lián)積分型對象處理,采用傳統(tǒng)ADRC進行控制,ESO對“總擾動”的估計補償要求過高.但是一些現有的很多解耦方法,如靜態(tài)解耦[9]、逆解耦[12]等都需要知道對象的模型信息,此時模型辨識是必不可少的.因此,可以考慮將可以獲得的模型信息加入到ADRC控制器設計中,即模型輔助ADRC控制[13-15]設計,這樣在控制器設計中充分利用了可以獲得的關于模型的信息,既減輕ESO的估計負擔,又可以提高系統(tǒng)控制性能同時簡化參數整定過程.本文針對雙入雙出系統(tǒng)(其元素為開環(huán)穩(wěn)定的延遲對象)提出了一種模型輔助ADRC的解耦控制方法,并通過仿真實驗驗證了本文所提方法的有效性.本文結構安排如下:

1) 根據系統(tǒng)時延環(huán)節(jié)的不同處理(忽略時延或采用一階Pade法對時延環(huán)節(jié)進行近似),并通過構造虛擬控制量將雙入雙出系統(tǒng)解耦為兩個子系統(tǒng);

2) 對解耦之后的子系統(tǒng)分別設計模型輔助ADRC對虛擬控制量進行控制,對象實際的控制輸入可以通過靜態(tài)解耦矩陣獲得;

3) 通過對工業(yè)范圍內的聚合反應器模型、WB(wood and berry)蒸餾塔模型和CPU風扇散熱模型進行仿真,實驗結果顯示本文所提方法可以獲得滿意的控制性能.

2 模型輔助ADRC(MADRC)

首先考慮如下的n階單入單出對象:

其中:y是系統(tǒng)輸出,u是系統(tǒng)輸入,d是系統(tǒng)未知的外部擾動,f(·)為系統(tǒng)“總擾動”,為系統(tǒng)外部擾動和內部的不確定性的總和.

根據自抗擾控制設計原理,取f為系統(tǒng)擴張狀態(tài),則將式(1)所示的對象擴展到(n+1)階,然后令x=,則擴張對象可以描述為如下所示的狀態(tài)空間形式:

對式(2)所示系統(tǒng),可以設計ESO進行狀態(tài)估計:

在模型輔助的ADRC設計中加入了更多的模型信息,參數b0可以直接由對象模型得到,只需通過整定觀測器帶寬ωo和控制器帶寬ωc.此外,因為更多模型信息的加入可以減輕ESO的估計負擔,使觀測器帶寬得到有效降低,同時改善了系統(tǒng)控制性能.

3 雙入雙出系統(tǒng)解耦MADRC設計

考慮如下所示的雙入雙出(two-input two-output,TITO)開環(huán)穩(wěn)定的時延系統(tǒng):

由式(8)可以看出,因為系統(tǒng)輸出間存在耦合,因此一個回路的輸入發(fā)生變化會同時引起兩回路輸出變化.

在該節(jié)中,將把MADRC(model-assisted active disturbance rejection control)擴展到TITO系統(tǒng)中,但是需要注意的是在MADRC設計中是不考慮時延環(huán)節(jié)的.因此對式(8)所示的系統(tǒng)有以下兩種處理方法:

1) 忽略模型中的時滯環(huán)節(jié),將式(8)視為無時滯系統(tǒng)進行控制;

2) 采用任何的近似方法來處理e?τs.

基于以上兩種時滯環(huán)節(jié)的處理方法,可以分別得到一階解耦MADRC控制和二階解耦MADRC控制.TITO系統(tǒng)解耦MADRC控制結構如圖1所示.

圖1 TITO系統(tǒng)解耦MADRC控制結構圖Fig.1 Structure of the decoupling TITO system

3.1 一階解耦MADRC

忽略TITO系統(tǒng)中的時延環(huán)節(jié),即可以得到

將式(9)所示的系統(tǒng)看成如下所示的兩個子系統(tǒng):

則式(10)可以改寫為

其中:f1=(a0-11?a0-12)y12,f2=(a022?a021)y21分別為兩個子系統(tǒng)的模型誤差,可以通過ESO進行估計補償.從式(12)中可以看出,通過構建虛擬控制信號U1和U2可以實現TITO系統(tǒng)的解耦,然后分別對解耦的兩個子系統(tǒng)設計一階MADRC控制器.最終,實際的控制信號u1和u2可以通過如下所示的解耦矩陣獲得:

3.2 二階解耦MADRC

另一個簡單的方法是將時延環(huán)節(jié)e?τs近似,在本文中采用簡單的Pade近似,即

則式(8)可以改寫為以下所示的子系統(tǒng):

同樣引入如式(11)所示的虛擬控制量,則式(15)所示的子系統(tǒng)可以改寫為

其中兩個子系統(tǒng)模型誤差分別為

由式(16)可得,通過引入虛擬控制量可以將TITO系統(tǒng)解耦成兩個單回路,可以通過對兩個單回路分別設計二階MADRC來實現控制要求,最終,實際的控制量u1和u2可以通過式(13)所示的解耦矩陣獲得.

在二階MADRC控制中,為了更加靈活地調節(jié)系統(tǒng)控制性能,可以在控制律中可以引入一個調節(jié)因子ξ(預期動態(tài)方程衰減比),也就是說,在二階MADRC控制器中,如式(7)所示的控制律可以改寫為

則

通常情況下,取ξ=1,當僅整定觀測器帶寬ωo和控制器帶寬ωc無法獲得較為滿意的控制性能時,可以進一步調節(jié)ξ來改善系統(tǒng)控制性能.

注1工業(yè)過程中常用一階純滯后(first order plus dead time,FOPDT)模型來描述一類自平衡非振蕩對象.即使被控對象是高階的,也可以采用FOPDT模型近似,其中,低頻動態(tài)用一階模型(不含延遲部分)近似,而高頻動態(tài)用純延遲近似.

注2本文所提的針對FOPDT模型的模型輔助自抗擾控制設計,可以采用兩種方法:一種就是忽略模型高頻信息,僅考慮其低頻動態(tài),此時MADRC設計就是忽略延遲的一階設計方法;另一種是考慮模型高頻信息,將延遲用Pade近似,加上一階低頻動態(tài)模型,此時MADRC設計就是二階設計方法.可以看到,對于延遲較小的系統(tǒng),采用一階MADRC設計更為簡便,而當延遲較大時,采用二階MADRC設計可以更好地利用模型信息.

4 系統(tǒng)性能評價指標

在本文中通過一系列系統(tǒng)評價指標來評估及比較控制器,包括設定值、負荷擾動抑制、控制量輸出平滑度和模型不確定的系統(tǒng)魯棒性.

4.1 積分絕對誤差

本文中采用積分絕對誤差(integrated absolute error,IAE)來作為表征設定值跟蹤特性以及負荷擾動衰減特性的量化指標,其定義為

4.2 控制量總變化量

采用總變化量(total variation,TV)指標來衡量控制量輸出信號的平滑程度,其定義為

通常情況下,期望控制器對輸入有快速、平滑的響應,因此TV應該盡可能的小.

4.3 魯棒性指標

對于實際工業(yè)過程控制來說,對象模型經常是不準確的,因此在控制器參數選擇是應確保閉環(huán)系統(tǒng)對模型不確定有一定的魯棒度.在本文中,采用一種較為經典的魯棒分析方法來確保所提方法與文獻中現有方法進行公平的比較.對于輸出乘性不確定該性為Δ0的多入多出延遲系統(tǒng),魯棒穩(wěn)定性上界可以描述為

其中G(jω)和Gc(jω)分別為對象模型及控制器頻域響應.

5 仿真實驗

在該節(jié)中,選擇3個典型的TITO對象來驗證所提方法的有效性,對于前兩個TITO對象,仿真結果和文獻[2]中提出的多回路PI控制器和文獻[9]中提出的多變量ADRC控制器作比較.對于第3個對象,仿真結果和文獻[19]中所提的ATC控制器做比較,為了確保各方法間的公平比較,通過調節(jié)控制器參數使閉環(huán)系統(tǒng)如式(22)所示的魯棒性指標保持一致.

例1考慮如下所示的工業(yè)范圍內的聚合反應器(industrial scale polymerization reactor,ISP)模型[16]:

對于該模型,可以計算得到相對增益矩陣RGA(Λ)為

由式(24)可以看出兩回路間相互耦合作用較強,設計解耦控制器是必要的.

同時由式(23)可得,系統(tǒng)延遲時間常數較小,因此在ISP 模型中忽略系統(tǒng)的延遲環(huán)節(jié),設計一階解耦MADRC控制器.文獻[2]中多回路PI控制器閉環(huán)系統(tǒng)γ=0.57,因此通過整定一階解耦MADRC控制參數來獲得相同的魯棒度,3種控制器參數如表1所示.從表1可以看出,和文獻[9]中的多變量ADRC(采用的是傳統(tǒng)LADRC)相比,本文所提的一階解耦MADRC控制器帶寬下降了30%.

表1 ISP系統(tǒng)控制器參數Table 1 Parameters of controllers of the ISP system

圖2所示為ISP系統(tǒng)設定值跟蹤響應曲線.如圖所示,在t=0 s和t=15 s時兩個回路設定值分別發(fā)生幅值為1的階躍改變,由圖可得本文所提方法對于設定值跟蹤系統(tǒng)響應速度較快,超調量較小.ISP系統(tǒng)干擾抑制響應曲線如圖3所示.當分別在t=0 s和t=15 s時兩個回路加入幅值為1的單位階躍擾動,可以觀察得到,對于干擾抑制問題,回路1所提方法超調量較大,但回路2可以獲得較小的超調較小.控制系統(tǒng)性能指標如表2所示,從表中的IAE和TV中可以看出,所提方法在設定值跟蹤且干擾抑制方面兩方面都可以獲得滿意的控制性能,同時控制量輸出較為平滑.

表2 ISP系統(tǒng)控制性能指標Table 2 Control performance of the ISP system

圖2 ISP系統(tǒng)設定值跟蹤響應曲線Fig.2 Tracking performance of ISP system

圖3 ISP系統(tǒng)干擾抑制響應曲線Fig.3 Disturbance rejection performance of ISP system

對于系統(tǒng)魯棒性測試,將模型參數同時變化10%,控制器參數仍如表1所示.系統(tǒng)在模型參數不確定下的控制系統(tǒng)性能指標如表3所示,從表中可以看出本文所提的方法對于設定值跟蹤和干擾抑制都能獲得較為滿意的控制性能.同時采用蒙特卡羅實驗驗證系統(tǒng)魯棒性,實驗結果如圖4所示.從圖中可以看出回路1設定值跟蹤ts-δ(調節(jié)時間-超調量)分布較分散,超調量變化范圍較大,魯棒性較差,但跟蹤時間較短,但抗干擾特性魯棒性較好,超調量較小,調節(jié)時間較短.對于回路2,設定值跟蹤和干擾抑制ts-δ分布較為集中,魯棒性較好.

圖4 ISP系統(tǒng)蒙特卡洛實驗結果圖Fig.4 Monte Carlo experiment of ISP system

表3 ISP系統(tǒng)控制性能指標(參數變化)Table 3 Control performance under the parameter variations of the ISP system

例2考慮如下所示WB(Wood and Berry)蒸餾塔模型[17]:

對于該模型可以計算得到RGA(Λ)為

同時采用非對角元素進行解耦控制.采用一階Pade近似將非對角元素(即e?7s)進行近似,則由可以將式(25)所示對象簡化成兩個二階子系統(tǒng),并設計二階解耦MADRC進行控制.文獻[2]中的多回路PI控制回路魯棒度γ=0.47,為了保證各方法間公平的比較,通過參數整定使本文所提的方法具有相同的魯棒度,各控制器參數如表4所示.由表4所得,和傳統(tǒng)ADRC控制器相比,控制器帶寬降低了近50%.

表4 WB蒸餾塔系統(tǒng)控制器參數Table 4 Parameters of controllers of the WB system

系統(tǒng)設定值信號分別在t=0 s和t=120 s時發(fā)生幅值為1的階躍變化,系統(tǒng)閉環(huán)響應如圖5所示,系統(tǒng)性能指標如表5所示.可以觀察得到,本文所提的二階解耦MADRC控制器對于設定值跟蹤響應和多變量PI控制器較為接近,但控制器輸出較為平滑.

圖5 WB系統(tǒng)設定值跟蹤響應曲線Fig.5 Tracking performance of WB system

表5 WB蒸餾塔系統(tǒng)控制性能指標Table 5 Control performance of the WB system

圖6為系統(tǒng)干擾抑制響應曲線,兩回路分別在t=0 s和t=120 s時加入幅值為1的階躍擾動,可以觀察得到系統(tǒng)響應速度較快,干擾抑制能力較強.

圖6 WB系統(tǒng)干擾抑制響應曲線Fig.6 Disturbance rejection performance of WB system

為了驗證系統(tǒng)魯棒性,將式(25)所示模型參數同時變化10%,表6為系統(tǒng)模型不匹配時設定值跟蹤和干擾抑制性能指標.從表中可以得到,本文提出的方法可以獲得滿意的控制性能,系統(tǒng)魯棒性較好.同時采用蒙特卡羅實驗驗證系統(tǒng)魯棒性,實驗結果如圖7所示.

圖7 WB系統(tǒng)蒙特卡洛實驗結果圖Fig.7 Monte Carlo experiment of WB system

表6 WB系統(tǒng)控制性能指標(參數變化)Table 6 Control performance under the parameter variations of the WB system

例3考慮服務器散熱系統(tǒng),該系統(tǒng)包括獨立的驅動風扇區(qū)域和CUP風扇區(qū)域,在該仿真實例中主要考慮CUP風扇區(qū)域,即當服務器負荷變動時通過調節(jié)風扇轉速來保持服務器溫度恒定,避免服務器過熱.

CUP風扇區(qū)域由兩個并排的散熱區(qū)域組成,分別由左右兩個分散控制左右兩側的CPU溫度.在系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下,CPU溫度可以通過利用率、風扇速度和環(huán)境溫度來得到.假設環(huán)境溫度為常數時,CPU溫度的變化量ΔT為CPU與環(huán)境間的熱傳遞Q和通過CPU的空氣流量V(或風扇速度).即CPU風扇溫度調節(jié)系統(tǒng)可以表示為如下形式[18]:

在式(27)中GFS中的延遲時間遠小于系統(tǒng)同慣性時間,因此在該系統(tǒng)中忽略系統(tǒng)延遲環(huán)節(jié),將對象近似為一階系統(tǒng),同時為了簡化處理,在一階解耦MADRC控制器設計時取NR=1.在該系統(tǒng)中取二階解耦MADRC控制器參數為

仿真結果和文獻[19]中提出的ATC控制方法比較,其控制器參數為(ATC1):

給系統(tǒng)加入如圖8所示的變化干擾,系統(tǒng)輸出響應和控制器輸出響應分別如圖9-10所示.從中可以看出,當兩個溫區(qū)干擾同時發(fā)生變化時,ATC1方法控制的兩個區(qū)域系統(tǒng)輸出和控制量輸出會出現較大波動,而本文提出的方法可以獲得滿意的控制性能.將ATC1控制器參數b01和b02增加到1.2(得到ATC2)時可以獲得和本文所提的二階解耦MADRC控制器接近的系統(tǒng)響應.此時,值得注意的是本文所提的方法需要整定的控制器參數較少且整定過程較為簡單,同時帶寬減少了60%.

圖8 負荷變化曲線圖Fig.8 Load variation

圖9 區(qū)域1輸出和輸入相應曲線Fig.9 Responses of the area 1

圖10 區(qū)域2輸出和輸入相應曲線Fig.10 Responses of the area 2

6 結論

文中研究了一類兩輸入兩輸出時延系統(tǒng)的解耦自抗擾控制器設計,通過將時延環(huán)節(jié)忽略或近似,分別提出了一階、二階解耦MADRC控制策略.在所提方法中,通過引入由系統(tǒng)靜態(tài)增益組合成的虛擬控制量簡化了設計和參數整定過程,回路間的相互作用以及所有的不確定性都被當做“總擾動”進行抵消.同時引入的虛擬控制量將雙入雙出系統(tǒng)解耦為兩個子系統(tǒng),子系統(tǒng)分別由獨立的MADRC進行控制.與此同時,在該方法中,僅需要整定兩個參數(控制器帶寬和觀測器帶寬),便于工程實現.3個仿真實例表明,該方法具有良好的解耦和抗干擾特性.