張克鑫
【內(nèi)容摘要】函數(shù)問題貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的始末,數(shù)學(xué)教材內(nèi)容幾乎都離不開函數(shù)的剖析,其中復(fù)合函數(shù)由于更為復(fù)雜的函數(shù)結(jié)構(gòu),能有效地對學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力進(jìn)行考察,因而成為高考試題的必考要點。本文舉例論述了二次復(fù)合函數(shù)學(xué)生們常犯的錯誤,并對錯誤的原因進(jìn)行了深入剖析。
【關(guān)鍵詞】二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性錯解剖析
二次復(fù)合函數(shù)能夠有效考查考生對二次函數(shù)理解和應(yīng)用能力,因此,對這部分內(nèi)容的考查已經(jīng)成為每年的必考題型。學(xué)生想要獲得更高的數(shù)學(xué)成績,必須深刻理解并掌握有關(guān)的理論知識。但是二次復(fù)合函數(shù)結(jié)構(gòu)相對復(fù)雜,且函數(shù)結(jié)構(gòu)可以自由組合,具備很大的隨機(jī)性,因此想要完全掌握具有一定難度,而且還容易走進(jìn)解題誤區(qū)。
一、復(fù)合函數(shù)的相關(guān)概述
復(fù)合函數(shù)指的是兩個函數(shù)經(jīng)由自變量x這個因素,可以將其中一個函數(shù)y變換為用x來表示的函數(shù),那么這種函數(shù)就稱之為兩個函數(shù)的復(fù)合函數(shù),通常用y=f(A),A=g(x)的形式來表現(xiàn)。復(fù)合函數(shù)在求解的環(huán)節(jié)中經(jīng)常會用到導(dǎo)數(shù)的理論,函數(shù)y=f(A),A=g(x)的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的求導(dǎo),兩者之間的關(guān)系可以用表達(dá)式y(tǒng)'=f'[g(x)]·g'(x)來表示,y對A的導(dǎo)數(shù)與A對x的導(dǎo)數(shù)的乘積和y對x的導(dǎo)數(shù)和最終得出的數(shù)值是一致的。復(fù)合函數(shù)可以理解成函數(shù)的組合,通過簡易搭配與組合,將函數(shù)復(fù)合為相對復(fù)雜的結(jié)構(gòu)[1]。復(fù)合函數(shù)組織結(jié)構(gòu)具備很大隨機(jī)性,因為許多簡單函數(shù)稍加組合變換就能形成新的復(fù)合結(jié)構(gòu)。
復(fù)合函數(shù)單調(diào)性剖析的常規(guī)步驟如下:
①首先求出復(fù)合函數(shù)定義域的區(qū)間范圍。
②其次把復(fù)合函數(shù)拆分成我們熟悉的結(jié)構(gòu)形式。
③對拆分后的函數(shù)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逐個剖析和探究。
④把中間量的取值區(qū)間變換成自變量x的取值區(qū)間。
⑤最后計算得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。
二、二次復(fù)合函數(shù)有關(guān)定義域的剖析
通過教師的講授我們可以知曉,二次函數(shù)單調(diào)性是在其定義域范圍之內(nèi)才是有意義的。想要判斷其單調(diào)性需要先求出定義域的區(qū)間,也就是函數(shù)的自變量x的區(qū)間領(lǐng)域[2]。下面列舉的幾種比較常見的二次函數(shù)表達(dá)式及其定義域的求解方法,我們要讓學(xué)生理解并記牢。
(1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)為二次函數(shù)一般表達(dá)式,定義域區(qū)間范圍是(-∞,+∞)。函數(shù)對稱軸的計算公式為x=-b/2a,將二次函數(shù)定義域分為(-∞,-b/2a)和(-b/2a,+∞)單調(diào)區(qū)間。
(2)函數(shù)y=x+k/x(k>0)這個表達(dá)式中,其定義域區(qū)間是(-∞,0)U(0,+∞)。x=±k是在其定義域內(nèi)劃分單調(diào)區(qū)間的自變量,將其定義域分為(-∞,-k),(-k,0),(0,k),(k,+∞)單調(diào)區(qū)間。
(3)形如y=kx+b(k≠0),y=kx(k≠0)[特別說明:y=k/x(k≠0)的定義域是(-∞,0)U(0,+∞)但該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)該是(-∞,0),(0,+∞)或者(-∞,0)和(0,+∞)以確保滿足單調(diào)性的定義。],y=x等,沒有自變量x能夠劃分其定義域為單調(diào)區(qū)間,原因在于這些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是其定義域范圍。
三、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法
假設(shè)存在y=f(e),e∈(m,n),e=g(x),x∈(a,b)。
①假如y=f(e)在(m,n)區(qū)間為遞減函數(shù),那么y=f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性是不同的。
②假如y=f(e)在(m,n)區(qū)間為遞增函數(shù),那么y=f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性是一致的。
③假如g(x)在(a,b)區(qū)間呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,并且在該區(qū)間上任意選擇x1和x2,并且使得x1 ④假如g(x)在(a,b)區(qū)間呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,并且在區(qū)間上任意選擇x1和x2,并且保證x1 通過上述剖析,判斷二次復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)該依托其拆分后的簡易函數(shù)來分析,經(jīng)過對分解后的函數(shù)進(jìn)行單調(diào)性的判斷,從而求得二次復(fù)合函數(shù)的整體單調(diào)性。高中時期學(xué)習(xí)的函數(shù)都是簡單初等函數(shù),雖說函數(shù)類型多種多樣,但通過認(rèn)真學(xué)習(xí)掌握每種函數(shù)的精髓并不難[3]。在遇到復(fù)合函數(shù)的時候,仔細(xì)思考如何拆分更容易解題,一般高中數(shù)學(xué)的二次復(fù)合函數(shù)都能拆為兩種簡易函數(shù)。因此,在做題中遇見結(jié)構(gòu)復(fù)雜的復(fù)合函數(shù),看看是不是有什么隱藏條件沒有發(fā)現(xiàn),出題人往往會把隱含條件設(shè)置得很隱晦,能有效對學(xué)生的知識應(yīng)用能力進(jìn)行考查。 四、舉例剖析二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的錯誤解法 舉個例子:已知復(fù)合函數(shù)y=(x2-3)2+1,分析該復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性。 錯誤解法①:易得函數(shù)f(x)=(x2-3)2+1在區(qū)間(3,+∞)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,在區(qū)間(-∞,3)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢。易知g(x)=x2在(-∞,0)區(qū)間呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢,在區(qū)間(0,+∞)出現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢。解出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]在區(qū)間(3,+∞),(-∞,0)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,在區(qū)間(0,3)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢。 錯解②:已知y=f[g(x)]=(x2-3)2+1,令y=(A-3)2+1,則A=x2。易知A=x2在區(qū)間(-∞,0)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢,在區(qū)間(0,+∞)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢。得出y=(A-3)2+1在區(qū)間(3,+∞)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,在區(qū)間(-∞,0)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢。解得復(fù)合函數(shù)在區(qū)間(3,+∞),(-∞,0)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢,在區(qū)間(0,3)單調(diào)減。 剖析:錯誤解法①沒有解答出正確的單調(diào)區(qū)間,說明對f(x)與g(x)之間的復(fù)合關(guān)系沒有掌握到位,只是單純搬運判定方式,這是知識理解不準(zhǔn)確、不到位造成的。 錯誤解法②雖然知曉將y=f[g(x)]=(A-3)2+1用A=x2這種換元法來代替,不過僅僅分析了二次函數(shù)對稱軸,還是沒有明白二次復(fù)合函數(shù)的內(nèi)核[4]。因為y=f[g(x)]的對稱軸并不是回答的結(jié)果,基于此分析的單調(diào)性必然出現(xiàn)錯誤。 正解一:已知y=f[g(x)]=(x2-3)2+1,假設(shè)f(A)=(A-2)2+1,A=x2-1。 (1)f(A)在A≥2時呈現(xiàn)遞增趨勢,這種情況下復(fù)合函數(shù)與A=x2-1保持一致增減性,對A≥2進(jìn)行求解,解出x≥3或x≤-3兩種結(jié)果。因此x在區(qū)間[3,+∞)時,A=x2-1單調(diào)遞增,此時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢。x在區(qū)間(-∞,-3)時,A=x2-1單調(diào)遞減,這時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢。 (2)f(A)在A≤2時呈現(xiàn)遞減趨勢,這種情況下復(fù)合函數(shù)與A=x2-1的增減性不一致。對A≤2進(jìn)行求解,解得-3≤x≤3這個結(jié)果。x在[-3,0]時,A=x2-1單調(diào)遞減,此時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞增趨勢。x在[0,3]時,A=x2-1單調(diào)遞增,此時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢[5]。 正解二:已知y=f[g(x)]=(x2-3)2+1,假設(shè)f(A)=(A-3)2+1,A=x2。 (1)f(A)在A≥3時呈現(xiàn)遞增趨勢,這種情況下復(fù)合函數(shù)與A=x2的增減性保持一致。對A≥3進(jìn)行求解,解得x≥3或x≤-3兩個結(jié)果。x在[3,+∞)時,A=x2單調(diào)遞增,此刻復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)遞增趨勢[6]。x在(-∞,-3]時,A=x2單調(diào)遞減,這時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)遞減趨勢。 (2)f(A)在A≤3時呈現(xiàn)遞減趨勢,這種情況下復(fù)合函數(shù)與A=x2保持不一致增減性。對A≤3進(jìn)行求解,得出-3≤x≤3這個結(jié)果。x在[0,3]時A=x2單調(diào)遞增,這時復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)遞減趨勢。x在[-3,0]時A=x2單調(diào)遞減,此刻復(fù)合函數(shù)呈現(xiàn)遞增趨勢[7]。 正解三:已知y=f[g(x)]=(x2-3)2+1=x4-6x2+10,求導(dǎo),得y'=4x3-12x=4x(x-3)(x+3)。根據(jù)x的取值情況由此列出下表: 在解決有關(guān)二次復(fù)合函數(shù)的問題時,由于求導(dǎo)法也能解出函數(shù)的根,根據(jù)根的數(shù)值大小,然后可以將定義域拆分成好幾部分,通過對每一部分的函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行分析,看看導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間的正負(fù)情況,從而一一列出對應(yīng)的圖表。圖表法與導(dǎo)數(shù)結(jié)合,也是解決有關(guān)二次復(fù)合函數(shù)的有效方法,解題步驟更加簡潔[8]。 結(jié)語 復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)之所以復(fù)雜,原因在于它是由兩個或者多個函數(shù)組合起來的。因此,想要剖析二次復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,不能僅僅依托拆分后的單個函數(shù)結(jié)構(gòu)來剖析,也不能死板的套用公式來做題。必須深刻理解并掌握二次復(fù)合函數(shù)的核心內(nèi)核,做到真正明白復(fù)合函數(shù)的實際意義,這樣才能最大限度地避免做題的時候走進(jìn)誤區(qū)。求二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間時一定要認(rèn)真挖掘試題的隱含條件,這些往往都隱藏在相關(guān)的知識內(nèi)容體系中,以一種暗線的形式存在,需要構(gòu)建完備的函數(shù)知識網(wǎng)絡(luò)。 【參考文獻(xiàn)】 [1]苗建成.一道二次復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的錯解剖析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2006(1):45-46. [2]馬文杰.高一函數(shù)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯誤的實證研究[D].華東師范大學(xué),2014. [3]陸似華.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的常見錯誤及其成因分析[D].蘇州大學(xué),2010. [4]袁慶.高中生函數(shù)學(xué)習(xí)的困難分析及教學(xué)應(yīng)對策略研究[D].西華師范大學(xué),2017. [5]陳影,濮安山.復(fù)合函數(shù)問題典型錯解剖析[J].數(shù)理化學(xué)習(xí)(高中版),2016(4):3-5. [6]陸云麗.高一學(xué)生函數(shù)解題錯誤矯正個案研究[D].云南師范大學(xué),2018. [7]唐佳.高中生三角函數(shù)學(xué)習(xí)中認(rèn)知錯誤及糾正的案例分析[D].天津師范大學(xué),2015. [8]古麗扎爾·艾合買提.維語言學(xué)習(xí)環(huán)境中函數(shù)解題錯誤的調(diào)查與分析[D].新疆師范大學(xué),2016. (作者單位:靖遠(yuǎn)縣第四中學(xué))