張家旭 卜純研 王晨 趙健

摘 ? 要：針對(duì)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制問題，提出一種基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的平行泊車路徑規(guī)劃方法和一種基于前饋控制和反饋控制的平行泊車路徑跟蹤控制策略. 首先，綜合考慮線控四輪轉(zhuǎn)向汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)非完整約束、動(dòng)力和轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)的過程約束和邊界約束、避障約束、泊車初始位姿和目標(biāo)位姿約束，建立以最小化泊車過程總時(shí)長(zhǎng)為目標(biāo)的平行泊車路徑規(guī)劃約束最優(yōu)化問題，并采用可以處理等式約束和不等式約束的粒子群優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解，得到最優(yōu)平行泊車路徑. 隨后，利用平行泊車路徑規(guī)劃過程得到的車輪轉(zhuǎn)向角作為前饋控制量，并利用汽車實(shí)際位姿與期望位姿的偏差構(gòu)建PI反饋控制量，實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃的平行泊車路徑快速、精確和穩(wěn)定的跟蹤控制. 最后，利用車輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件構(gòu)建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗(yàn)證所提出方法的可行性和有效性. 結(jié)果表明：所提出的方法可以快速、精確和穩(wěn)定地引導(dǎo)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車自動(dòng)完成平行泊車任務(wù).

關(guān)鍵詞：車輛工程;控制工程;線控四輪轉(zhuǎn)向汽車;平行泊車;路徑規(guī)劃;路徑跟蹤控制;改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法

中圖分類號(hào)：U461.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Parallel Parking Path Planning and Tracking

Control for Wire-four-wheel Steering Vehicle

ZHANG Jiaxu1，2，BU Chunyan1，WANG Chen1，ZHAO Jian1

（1. State Key Laboratory of Automotive Simulation and Control，Jilin University，Changchun 130022，China;

2. Intelligent Network R&D Institute，China FAW Group Co Ltd，Changchun 130011，China）

Abstract：Aiming at the parallel parking path planning and tracking control problem for the wire-four-wheel steering vehicle，a novel parallel parking path planning method is proposed based on the improved particle swarm optimization algorithm，and a novel parallel parking path tracking control strategy is proposed based on feedforward and feedback control architecture. Firstly，considering the kinematic non-holonomic constraint of the wire-four-wheel steering vehicle，the process and boundary constraints of the power and steering sub-systems，the obstacle avoidance constraint，the initial parking pose constraint and the target pose constraint，a parallel parking path planning constraint optimization problem with minimizing the parking time is established，and the particle swarm optimization，which can deal with the equality and inequality constraints，is adopted to solve the constraint optimization problem. In order to execute the planned parking path，the desired wheel steering angle is used as the feedforward control quantity，and the PI feedback control quantity is constructed based on the deviation between the actual pose and the expected pose of the vehicle. Finally，the model-in-the-loop simulation system is built based on vehicle dynamics simulation software to verify the feasibility and effectiveness of the proposed method，and the simulation results show that the proposed method can guide the wire-four-wheel steering vehicle to complete the parallel parking task quickly，accurately and stably.

Key words：vehicle engineering;control engineering;wire-four-wheel steering vehicle; parallel parking; path planning; path tracking control; improved particle swarm optimization algorithm

汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)非完整約束使得經(jīng)驗(yàn)不足的駕駛員在狹窄環(huán)境內(nèi)難以完成泊車任務(wù)，而自動(dòng)泊車系統(tǒng)是解決此問題的有效手段之一. 在精確感知外界環(huán)境的前提下，泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制方法是決定自動(dòng)泊車系統(tǒng)性能的核心要素[1-2]. 因此，深入研究泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制方法對(duì)于解決汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)非完整約束導(dǎo)致的泊車難問題具有重要的意義.

泊車路徑規(guī)劃方法主要有幾何規(guī)劃方法[3-5]、智能規(guī)劃方法[6-7]和優(yōu)化規(guī)劃方法[8-9]. 文獻(xiàn)[3]通過圓弧、直線和回旋曲線的平移與旋轉(zhuǎn)變換規(guī)劃出曲率連續(xù)的泊車路徑. 文獻(xiàn)[4]通過參數(shù)化Gompertz曲線獲得可執(zhí)行的泊車路徑. 文獻(xiàn)[5]采用圓弧-直線-β樣條曲線組合的方式規(guī)劃出曲率連續(xù)的泊車路徑. 采用幾何規(guī)劃方法得到的泊車路徑適用場(chǎng)景受限于初始泊車位姿、泊車位和不規(guī)則障礙物信息等，可行的泊車起始區(qū)域較小. 文獻(xiàn)[6]利用熟練駕駛員的泊車數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，使其可以模擬熟練駕駛員完成泊車任務(wù). 文獻(xiàn)[7]利用自適應(yīng)神經(jīng)模糊推理系統(tǒng)學(xué)習(xí)熟練駕駛員的泊車操作，進(jìn)而自動(dòng)完成泊車任務(wù). 采用智能規(guī)劃方法得到的泊車路徑適用場(chǎng)景受限于訓(xùn)練樣本的規(guī)模和多樣性，泛化能力較弱. 文獻(xiàn)[8]將泊車路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為約束最優(yōu)化問題，并利用高斯偽譜法求解得到最優(yōu)泊車路徑. 為了兼顧計(jì)算效率和求解精度，文獻(xiàn)[9]采用自適應(yīng)偽譜法求解泊車路徑規(guī)劃問題來獲得最優(yōu)泊車路徑. 采用優(yōu)化規(guī)劃方法得到的泊車路徑適用場(chǎng)景最廣，但優(yōu)化求解方法的較大計(jì)算量限制了其工程應(yīng)用.

泊車路徑跟蹤控制方法主要有模型預(yù)測(cè)跟蹤控制方法[10]、非線性魯棒跟蹤控制方法[11]和滑模跟蹤控制方法[5，12-13]. 文獻(xiàn)[10]將受控自回歸積分滑動(dòng)平均模型作為預(yù)測(cè)模型，采用模型預(yù)測(cè)控制方法設(shè)計(jì)泊車路徑跟蹤控制策略. 為了抑制外界干擾和名義模型不確定性對(duì)泊車路徑跟蹤精度的影響，文獻(xiàn)[11]采用非線性魯棒控制方法設(shè)計(jì)泊車路徑跟蹤控制策略. 文獻(xiàn)[5]建立包含外界干擾的汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)名義模型，并采用滑模自抗擾控制方法設(shè)計(jì)泊車路徑跟蹤控制策略. 文獻(xiàn)[12]建立非時(shí)間參考泊車路徑跟蹤控制模型，并基于此設(shè)計(jì)了泊車路徑滑模跟蹤控制策略. 文獻(xiàn)[13]采用反正切函數(shù)代替泊車路徑滑模跟蹤控制策略中符號(hào)函數(shù)來抑制傳統(tǒng)滑模固有的抖振問題. 上述泊車路徑跟蹤控制方法的被控對(duì)象均是前輪轉(zhuǎn)向汽車，無法直接應(yīng)用于線控四輪轉(zhuǎn)向汽車.

線控四輪轉(zhuǎn)向汽車具有更好的機(jī)動(dòng)靈活性，在狹窄環(huán)境內(nèi)更容易實(shí)現(xiàn)泊車操作[14]. 本文針對(duì)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車場(chǎng)景的路徑規(guī)劃與跟蹤控制問題，提出一種基于改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法的平行泊車路徑規(guī)劃方法，以及一種基于前饋控制和反饋控制的平行泊車路徑跟蹤控制策略. 首先，綜合考慮線控四輪轉(zhuǎn)向汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)非完整約束、動(dòng)力總成子系統(tǒng)和轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)的過程約束和邊界約束、直線交點(diǎn)法描述的避障約束、泊車的初始位姿和目標(biāo)位姿約束，建立以最小化平行泊車過程總時(shí)長(zhǎng)為目標(biāo)的平行泊車路徑規(guī)劃約束最優(yōu)化問題，并采用可以有效處理等式約束和不等式約束的粒子群優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解，進(jìn)而得到最優(yōu)平行泊車路徑. 隨后，利用平行泊車路徑規(guī)劃過程得到的前輪轉(zhuǎn)向角和后輪轉(zhuǎn)向角作為前饋控制量，并利用汽車實(shí)際位姿與期望位姿的偏差構(gòu)建PI反饋控制量，實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃的平行泊車路徑快速、精確和穩(wěn)定的跟蹤控制. 最后，利用車輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件構(gòu)建模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，驗(yàn)證所提出的線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車路徑規(guī)劃方法和路徑跟蹤控制策略的可行性和有效性.

1 ? 平行泊車路徑規(guī)劃

1.1 ? 平行泊車路徑規(guī)劃問題描述

線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車過程中處于低速大轉(zhuǎn)角行駛狀態(tài)，可認(rèn)為四個(gè)車輪無側(cè)偏的繞同一瞬時(shí)圓心做圓周運(yùn)動(dòng). 如圖1所示，將線控四輪轉(zhuǎn)向汽車后軸中點(diǎn)作為參考點(diǎn)，建立其平行泊車過程中的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

式中：xr、yr、vr和ar分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車后軸中點(diǎn)橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、速度和加速度;δf和δr分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車前輪和后輪轉(zhuǎn)向角;ωf和ωr分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車前輪和后輪轉(zhuǎn)向角速度;φ和L分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車方位角和軸距.

式中：vrmax和armax分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車后軸中點(diǎn)速度和加速度最大值;δfmax和δrmax分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車前輪和后輪轉(zhuǎn)向角最大值;ωfmax和ωrmax分別為線控四輪轉(zhuǎn)向汽車前輪和后輪轉(zhuǎn)向角速度最大值.

基于汽車后軸中點(diǎn)坐標(biāo)和方位角可得如圖1所示的汽車輪廓四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C和D的坐標(biāo)為：

xA（k），yA（k）=xr（k）+（L+Lf）cosφ（k）-Wsinφ（k）/2，yr（k）+（L+Lf）sinφ（k）+Wcosφ（k）/2xB（k），yB（k）=xr（k）+（L+Lf）cosφ（k）+Wsinφ（k）/2，yr（k）+（L+Lf）sinφ（k）-Wcosφ（k）/2xC（k），yC（k）=xr（k）-Lr cosφ（k）+Wsinφ（k）/2，yr（k）-Lr sinφ（k）-Wcosφ（k）/2xD（k），yD（k）=xr（k）-Lr cosφ（k）-Wsinφ（k）/2，yr（k）-Lr sinφ（k）+Wcosφ（k）/21≤k≤N

（9）

式中：Lf、Lr和W分別為汽車前懸、后懸和寬度.

汽車平行泊車過程中其輪廓邊緣AB與如圖2所示的泊車位前方障礙物無碰撞的約束條件可表示為：

汽車平行泊車過程中其輪廓邊緣BC與如圖2所示的泊車位前方障礙物無碰撞的約束條件可表示為：

汽車平行泊車過程中其輪廓邊緣BC與如圖2所示的泊車位側(cè)方路基無碰撞的約束條件可表示為：

yB（k） + Wp ≥ 0yC（k） + Wp ≥ 01 ≤ k ≤ N ? ? ? ? ? ? （12）

式中：Wp為平行泊車位寬度.

汽車平行泊車過程中其輪廓邊緣CD與如圖2所示的泊車位后方障礙物無碰撞的約束條件可表示為：

式中：Lp為平行泊車位長(zhǎng)度.

已知平行泊車的初始位姿和目標(biāo)位姿分別為（x0，y0，φ0）和（xf，yf，φf），則有

xr（0） = x0，yr（0） = y0，φ（0） = φ0xr（N） = xf，yr（N） = yf，φ（N） = φf ? （14）

將式（5） 、式（8）和式（14）描述的等式約束條件記為c（x，u） = 0，將式（7）、式（10）～式（13）描述的不等式約束條件記為g（x，u） ≤ 0，則平行泊車路徑規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為以平行泊車過程總時(shí)長(zhǎng)為目標(biāo)的約束最優(yōu)化問題，使線控四輪轉(zhuǎn)向汽車在最短時(shí)間內(nèi)完成平行泊車任務(wù).

（15）g（x，u） ≤ 0

由式（6）和式（15）可知，給定離散點(diǎn)數(shù)量N，最小化平行泊車過程總時(shí)長(zhǎng)tf約束最優(yōu)化問題可等價(jià)為最小化計(jì)算步長(zhǎng)h約束最優(yōu)化問題.

1.2 ? 平行泊車路徑規(guī)劃問題求解

粒子群優(yōu)化算法是一種基于啟發(fā)式信息的隨機(jī)搜索算法，具有收斂速度快和設(shè)置參數(shù)少等優(yōu)點(diǎn)，特別適用于無約束最優(yōu)化問題求解[16]. 本節(jié)利用最優(yōu)化問題的約束條件改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的適應(yīng)度函數(shù)，使改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法可以求解式（15）描述的平行泊車路徑規(guī)劃約束最優(yōu)化問題. 已知系統(tǒng)控制向量u（k），1≤k≤N包含三個(gè)分量，則表征系統(tǒng)控制向量的粒子位置向量和速度向量包含3N個(gè)分量. 若按照第一個(gè)系統(tǒng)控制向量三個(gè)分量至最后一個(gè)系統(tǒng)控制向量三個(gè)分量先后方式排序，則第i個(gè)粒子的位置向量和速度向量可分別表示為：

pi（s） = [ p1i ?p2i ?… ?p3Ni]T ? ? ?（16）

vi（s） = [ v1i ?v2i ?… ?v3Ni]T ? ? ?（17）

式中：s為粒子群優(yōu)化算法的當(dāng)前迭代次數(shù).

利用第i個(gè)粒子的歷史最優(yōu)解pbesti ? ?（s）和群體的歷史最優(yōu)解pbest ? ?（s）更新第i個(gè)粒子的速度為：

vi（s+1） = q（s）vi（s）+d1r1（pbesti ? ?（s）-pi（s））+

d2 r2（pbest ? ?（s）-pi（s）） ? ? ? （18）

式中：r1，r2∈[0，1]為均勻分布的隨機(jī)數(shù);d1和d2分別為粒子速度自身部分和社會(huì)部分權(quán)重系數(shù)，二者的有機(jī)組合可以使粒子群優(yōu)化算法保持收斂速度和搜索效果的均衡;q（s）為控制粒子歷史速度對(duì)當(dāng)前速度影響的慣性部分權(quán)重系數(shù)，可表示為：

式中：qmax和qmin分別為慣性部分權(quán)重的最大值和最小值;smax為總迭代次數(shù). 通過自適應(yīng)調(diào)整慣性部分權(quán)重系數(shù)，使粒子群優(yōu)化算法在前期有較高的全局搜索能力，在后期有較高的局部搜索能力.

利用第i個(gè)粒子在迭代計(jì)算次數(shù)s+1的速度更新其位置為：

pi（s+1） = pi（s） + vi（s） ? ? （20）

利用最優(yōu)化問題的約束條件計(jì)算第i個(gè)粒子的適應(yīng)度函數(shù)為：

Fi（s）=Ji（s） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? if Vi（s）=0J *（s）+J *（s）Vi（s） ? if Vi（s）>0 ? ? （21）

式中：Ji（s）為第i個(gè)粒子在迭代計(jì)算次數(shù)s的優(yōu)化目標(biāo)值;J *（s）為第i個(gè)粒子的歷史最差優(yōu)化目標(biāo)值;Vi（s）表示為

式中：Nc和Ng分別為最優(yōu)化問題等式約束條件數(shù)量和不等式約束條件數(shù)量;μij（s）和ηij（s）表示為

μij（s）=0， ? ? ? ? ? ? ? ?cj（x，u）=0|cj（x，u）|/εj，|cj（x，u）|≤εj， j = 1，2，…Nc1， ? ? ? ? ? ? ? ?|cj（x，u）|>εj

（23）

ηij（s）=0， ? ? ? ? ? ? ? ?gj（x，u）≤0|gj（x，u）|/ξj，0ξj

（24）

式中：εj和ξj分別為最優(yōu)化問題等式約束條件允許的容差和不等式約束條件允許的容差.

綜上所述，可得如圖3所示的基于改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法求解平行泊車路徑規(guī)劃約束最優(yōu)化問題的具體流程.

2 ? 平行泊車路徑跟蹤控制

本節(jié)基于前饋控制和反饋控制相結(jié)合的方式設(shè)計(jì)平行泊車路徑跟蹤控制策略. 其中，前饋控制環(huán)節(jié)用于提高平行泊車路徑跟蹤控制策略的響應(yīng)速度和精度，而反饋控制用于抑制外界擾動(dòng)對(duì)平行泊車路徑跟蹤控制性能的影響.

如圖4所示，首先利用汽車實(shí)際位置與期望位置的偏差eD（k）、汽車實(shí)際方位角與期望方位角的偏差eφ（k）計(jì)算前輪轉(zhuǎn)向角反饋控制量為：

Δδf（k+1）=Δδf（k）+

K PD（eD（k+1）-eD（k））+K IDeD（k+1）+

K Pφ（eφ（k+1）-eφ（k））+K Iφeφ（k+1） ? ? ?（25）

式中：K PD和K ID分別為汽車實(shí)際位置與期望位置偏差的比例系數(shù)和積分系數(shù);K Pφ和K Iφ分別為汽車實(shí)際方位角與期望方位角偏差的比例系數(shù)和積分系數(shù);eD（k）和eφ（k）可表示為：

式中：（xr（k），yr（k），φ（k））和（xrd（k），yrd（k），φd（k））分別為汽車實(shí)際位姿和期望位姿.

若平行泊車路徑規(guī)劃過程得到的汽車前輪轉(zhuǎn)向角前饋控制量為δfd（k + 1），則汽車前輪轉(zhuǎn)向角控制量可表示為：

δf（k + 1） = δfd（k + 1） + Δδf（k + 1） ? ?（28）

由汽車前輪轉(zhuǎn)向角最大值與后輪轉(zhuǎn)向角最大值的比例關(guān)系，可得汽車后輪轉(zhuǎn)向角控制量為：

δr（k + 1） = δrd（k + 1） + Ks Δδf（k + 1） ? ?（29）

式中：δrd（k + 1）為汽車后輪轉(zhuǎn)向角前饋控制量;Ks = δrmax /δfmax為比例系數(shù).

3 ? 仿真分析

本節(jié)利用車輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件建立線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制方法的模型在環(huán)仿真系統(tǒng)，對(duì)其可行性和有效性進(jìn)行驗(yàn)證. 以天津一汽夏利N5整車參數(shù)為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車的仿真參數(shù)為L(zhǎng) = 4.155 m，W = 1.645 m，Lf=0.8 m，Lr = 0.95 m，vrmax = 1 m·s-1，armax = 2 m·s-2，δfmax = 0.524 rad，δrmax = 0.087 3 rad，ωfmax = ωrmax = 0.524 rad·s-1;依據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)，仿真驗(yàn)證過程中粒子群優(yōu)化算法的基礎(chǔ)參數(shù)分別設(shè)置為d1 = 1.2，d2 = 1.5，qmin = 0.3，qmax = 1.5，smax = 1 000和εj = ξj = 10-3，種群規(guī)模設(shè)置為30、粒子速度向量邊界區(qū)域設(shè)置為[-1，1]、粒子位置向量中表征汽車后軸中點(diǎn)加速度信息的分量的邊界區(qū)域設(shè)置為[-armax，armax]，粒子位置向量中表征汽車前輪轉(zhuǎn)向角速度信息的分量的邊界區(qū)域設(shè)置為 [-ωfmax，ωfmax]，粒子位置向量中表征汽車后輪轉(zhuǎn)向角速度信息的分量的邊界區(qū)域設(shè)置為[-ωrmax，ωrmax]，算法迭代收斂判斷容差設(shè)置為10-4;仿真結(jié)果如圖5所示.

如圖5（a） （b）所示，采用基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的平行泊車路徑規(guī)劃方法得到的平行泊車路徑可以安全、舒適地引導(dǎo)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車進(jìn)入平行泊車位，并且目標(biāo)平行泊車路徑曲率的連續(xù)性有效避免了線控四輪轉(zhuǎn)向汽車原地轉(zhuǎn)向現(xiàn)象.

如圖5（c）～（f）所示，采用基于前饋控制和反饋控制相結(jié)合方式設(shè)計(jì)的平行泊車路徑跟蹤控制策略可以使線控四輪轉(zhuǎn)向汽車快速、精確和穩(wěn)定地跟蹤目標(biāo)泊車路徑，進(jìn)而安全無碰撞地完成平行泊車任務(wù).

4 ? 結(jié) ? 論

本文提出了一種線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制方法. 綜合考慮了線控四輪轉(zhuǎn)向汽車運(yùn)動(dòng)學(xué)非完整約束、動(dòng)力和轉(zhuǎn)向子系統(tǒng)約束、避障約束和泊車位姿約束，建立了平行泊車路徑規(guī)劃約束最優(yōu)化問題，并采用可以改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法對(duì)其進(jìn)行求解來獲得最優(yōu)平行泊車路徑. 采用前饋控制和PI反饋控制相結(jié)合的方式設(shè)計(jì)了平行泊車路徑跟蹤控制策略，實(shí)現(xiàn)對(duì)規(guī)劃的平行泊車路徑快速、精確及穩(wěn)定的跟蹤控制. 利用車輛動(dòng)力學(xué)仿真軟件構(gòu)建模型在環(huán)系統(tǒng)，驗(yàn)證所提出的線控四輪轉(zhuǎn)向汽車平行泊車路徑規(guī)劃與跟蹤控制方法的可行性和有效性，結(jié)果表明：所提出的方法可以快速、精確、穩(wěn)定地引導(dǎo)線控四輪轉(zhuǎn)向汽車自動(dòng)完成平行泊車任務(wù).

參考文獻(xiàn)

[1] ? ?JANG C，KIM C，LEE S，et al. Re-plannable automated parking system with a standalone around view monitor for narrow parking lots[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2020，21（2）：777—790.

[2] ? ?CHAI R Q，TSOURDOS A，SAVVARIS A，et al. Two-stage trajectory optimization for autonomous ground vehicles parking maneuver[J]. IEEE Transactions on Industrial Informatics，2019，15（7）：3899—3909.

[3] ? ?張家旭，趙健，施正堂，等. 基于回旋曲線的平行泊車路徑規(guī)劃和跟蹤控制[J]. 吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2020，50（6）：2247—2257.

ZHANG J X，ZHAO J，SHI Z T，et al. Path planning and tracking control for parallel parking based on clothoid curve[J]. Journal of Jilin University （Engineering and Technology Edition），2020，50（6）：2247—2257. （In Chinese）

[4] ? ?CHAND A，KAWANISHI M，NARIKIYO T. Application of sigmoidal gompertz curves in reverse parallel parking for autonomous vehicles[J]. International Journal of Advanced Robotic Systems，2015，12（9）：127.

[5] ? ?王健. 汽車在兩種轉(zhuǎn)向工況下的路徑規(guī)劃與路徑跟蹤研究[D]. 南京： 南京航空航天大學(xué)，2015：32—35.

WANG J. Research on path planning and path tracking for automobile in two steering conditions[D]. Nanjing：Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，2015：32—35. （In Chinese）

[6] ? ?LIU W，LI Z H，LI L，et al. Parking like a human：a direct trajectory planning solution[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2017，18（12）：3388—3397.

[7] ? ?DEMIRLI K，KHOSHNEJAD M. Autonomous parallel parking of a car-like mobile robot by a neuro-fuzzy sensor-based controller[J]. Fuzzy Sets and Systems，2009，160（19）：2876—2891.

[8] ? ?LI B，WANG K X，SHAO Z J. Time-optimal maneuver planning in automatic parallel parking using a simultaneous dynamic optimization approach[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2016，17（11）：3263—3274.

[9] ? ?張家旭，趙健，施正堂，等. 采用hp自適應(yīng)偽譜法的全自動(dòng)泊車系統(tǒng)軌跡規(guī)劃與跟蹤控制[J]. 西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2020，54（6）： 176—184.

ZHANG J X，ZHAO J，SHI Z T，et al. A trajectory planning and tracking control method for fully-automatic parking system using hp-adaptive pseudo spectral method[J]. Journal of Xian Jiaotong University，2020，54（6）：176—184. （In Chinese）

[10] ?趙海蘭. 全自動(dòng)平行泊車路徑規(guī)劃及路徑跟蹤研究[D]. 淄博： 山東理工大學(xué)，2017：25—26.

ZHAO H L. Study on path planning and path tracking method for fully-automatic parallel parking[D]. Zibo：Shangdong University of Technology，2017：25—26. （In Chinese）

[11] ?張家旭，趙健，施正堂，等. 基于回旋曲線的垂直泊車軌跡規(guī)劃與跟蹤控制[J]. 東南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2020，50（1）：182—191.

ZHANG J X，ZHAO J，SHI Z T，et al. Trajectory planning and tracking control for perpendicular parking based on clothoid curve[J]. Journal of Southeast University （Natural Science Edition），2020，50（1）：182—191. ?（In Chinese）

[12] ?ZHANG J X，SHI Z T，YANG X，et al. Trajectory planning and tracking control for autonomous parallel parking of a non-holonomic vehicle[J]. Measurement and Control，2020，53（9/10）：1800—1816.

[13] ?DU X X，TAN K K. Autonomous reverse parking system based on robust path generation and improved sliding mode control[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems，2015，16（3）：1225—1237.

[14] ?ZHAO W Z，QIN X X，WANG C Y. Yaw and lateral stability control for four-wheel steer-by-wire system[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics，2018，23（6）：2628—2637.

[15] ?HAGER W W. Runge-Kutta methods in optimal control and the transformed adjoint system[J]. Numerische Mathematik，2000，87（2）：247—282.

[16] ?SUN J，WU X J，PALADE V，et al. Random drift particle swarm optimization algorithm：convergence analysis and parameter selection[J]. Machine Learning，2015，101（1/2/3）：345—376.

收稿日期：2020-07-10

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51775235），National Natural Science Foundation of China（51775235）

作者簡(jiǎn)介：張家旭（1985—），男，黑龍江雙城人，吉林大學(xué)高級(jí)工程師，博士后

通信聯(lián)系人，E-mail：zhaojian@jlu.edu.cn