屈恩相，齊 輝，楊 杰，王 麗，鄧 琳，喬 雪，郭麗婷

(1.齊齊哈爾大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

板作為工程結(jié)構(gòu)常用的構(gòu)件之一，常常作為分析問(wèn)題的研究對(duì)象。比如建筑工程中的樓板、懸挑板、橋面板；海洋工程結(jié)構(gòu)中的外板、甲板；水利工程中的水閘閘門(mén)等等。研究板結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及破壞機(jī)理對(duì)于工程安全穩(wěn)定具有重要意義。實(shí)際上，板的應(yīng)力、應(yīng)變、位移的計(jì)算問(wèn)題屬于彈性力學(xué)的空間問(wèn)題。在數(shù)學(xué)上處理板所滿足的微分方程和邊界條件精確解的問(wèn)題存在很大困難。分離變量法的應(yīng)用研究已經(jīng)非常廣泛[1-2]，不僅僅應(yīng)用在求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的微分方程[3-4]，也廣泛對(duì)的應(yīng)用在力學(xué)學(xué)科上。比如涉及到力學(xué)中的彈性地基薄板振動(dòng)[5-8]、電磁場(chǎng)方程的分析[9-11]、量子力學(xué)[12]、波動(dòng)方程[13]、航天器最優(yōu)轉(zhuǎn)彎問(wèn)題[14]、非理想反激變換器模型推導(dǎo)[15]、非線性動(dòng)力學(xué)[16-18]等問(wèn)題上分離變量法都得到了很好地應(yīng)用，這些都為理論研究提供很好的借鑒。圍繞二維平面薄板所滿足給定邊界條件的偏微分方程的求解展開(kāi)研究，采用數(shù)學(xué)物理方程中的分離變量法對(duì)薄板所滿足的偏微分方程進(jìn)行變量分離，將偏微分方程轉(zhuǎn)化常微分方程，從而有效的解決該問(wèn)題。由文獻(xiàn)[19-23]可知，分離變量法的求解過(guò)程可以總結(jié)如下。

(1)構(gòu)造所求的解形式以W(x,y)=X(x)Y(y)為類似的形式代入偏微分方程中，將相對(duì)應(yīng)變量進(jìn)行分離，得到兩個(gè)常微分方程。

(2)根據(jù)已知的W(x,y)邊界條件，導(dǎo)出X(x)所滿足的邊界條件，從而得到該變量符合的常微分方程的特征值問(wèn)題。

(3)求解該特征問(wèn)題所決定的特征值λm及相應(yīng)的特征函數(shù)Xm(x)。

(4)決定所對(duì)應(yīng)的Ym(y)形式。

1 板的定義及介紹

圖1 平板模型圖

板在彈性力學(xué)中是這樣規(guī)定的：兩個(gè)平行平面和垂直平行面的柱面或者棱柱面所圍成的物體，當(dāng)高度遠(yuǎn)小于底面尺寸時(shí)為平板(簡(jiǎn)稱板)，平板模型圖如圖1所示。兩平行面稱為板面，垂直于板面的柱面或者棱柱面稱為板邊，兩平行面之間的距離稱為板厚，平分板厚的平面稱為中面。按照板的厚度和受力可以分為薄板、膜板、厚板，平板的分類如表1所示。采用分離變量法分析的是薄板的二維平面小撓度問(wèn)題。

表1 平板的分類

2 二維平面薄板邊界條件

二維平面薄板的邊界主要存在固定邊界、簡(jiǎn)支邊界、自由邊界三種不同的情況如圖2所示。

圖2 二維平面薄板邊界存在形式

其中OA為固定邊界、AB和BC為自由邊界、OC為簡(jiǎn)支邊界，不同邊所滿足的邊界條件可以整理成如表2所示。

表2 平面薄板邊界條件及表示

3 求解矩形薄板振動(dòng)問(wèn)題

二維平面直角坐標(biāo)系所建立矩形薄板的模型如圖3所示，其中矩形薄板四條邊界為自由邊界。

圖3 矩形薄板振動(dòng)問(wèn)題的二維平面圖

邊界條件可以表示為

角點(diǎn)條件表示為

彈性矩形薄板橫向振動(dòng)方程可以表示如式(1)所示。

(1)

令W(x,y)=X(x)Y(y)代入式(1)，進(jìn)一步整理成如式(2)所示。

(2)

3.1 變量X(x)解的分離情況

將式(2)兩邊同時(shí)除以X(x)Y(y)，對(duì)y求導(dǎo)一次將相同變量結(jié)合在一起，并令其等于常數(shù)-α2可以得到，如式(3)所示。

(3)

將式(3)變量分離后可以進(jìn)一步整理成如式(4)所示。

X″(x)+α2X(x)=0

(4)

3.1.1 系數(shù)α取值的分類討論

第一種為系數(shù)α=0，可以得到X(x)=A1+A2x代入式(2)得如式(5)所示。

YⅣ(y)-γ4Y(y)=0

(5)

式(5)特征根有四種情況γ,-γ,iγ,Y(y)，解的形式可以表示如式(6)所示。

Y(y)=B1sinhγy+B2coshγy+

B3sinγy+B4cosγy

(6)

第二種為系數(shù)α≠0，X(x)=C1sinαx+C2cosαx代入式(2)可得如式(7)所示。

YⅣ(y)-2α2Y″(y)+(α4-γ4)Y(y)=0

(7)

Y(y)=D1sinhα1y+D2coshα1y+

D3sinα2y+D4cosα2y

(8)

Y(y)=D1sinhα1y+D2coshα1y+

D3sinhα3y+D4coshα3y

(9)

3.2 變量Y(y)解的分離情況

將式(2)兩邊同時(shí)除以X(x)Y(y)，對(duì)x求導(dǎo)一次將相同變量結(jié)合在一起，并令其等于常數(shù)-β2，又可以得到另一個(gè)變量整合形式如式(10)所示。

(10)

將式(10)變量分離后進(jìn)一步整理可以得到如式(11)所示。

Y″(y)+β2Y(y)=0

(11)

3.2.1 系數(shù)取值β的分類討論

第一種為系數(shù)β=0，可以得到Y(jié)(y)=E1+E2y代入式(2)得如式(12)所示。

XⅣ(x)-γ4X(x)=0

(12)

式(12)特征根有四種情況γ，-γ，iγ，-iγ。Y(y)解的形式可以表示成如式(13)所示。

X(x)=F1sinhγx+F2coshγx+

F3sinγx+F4cosγx

(13)

第二種為系數(shù)β≠0，Y(y)=G1sinβy+G2cosβy代入式(2)得如式(14)所示。

XⅣ(x)-2β2X″(x)+(β4-γ4)X(x)=0

(14)

方程特征根又分為兩種情況。第一種情況是γ>β時(shí)，方程的根有四個(gè)分別為β1，-β1，iβ2，-iβ2。

X(x)=H1sinhα1x+H2coshα1x+

H3sinα2x+H4cosα2x

(15)

X(x)=H1sinhβ1x+H2coshβ1x+

H3sinhβ3x+H4coshβ3x

(16)

通過(guò)對(duì)矩形薄板邊界自由振動(dòng)問(wèn)題為例，使用分離變量法分別對(duì)X(x)和Y(y)的解進(jìn)行變量分離并討論，能夠清晰分析出偏微分方程混合問(wèn)題經(jīng)過(guò)變量分離，轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問(wèn)題的應(yīng)用過(guò)程。

4 求解矩形薄板波動(dòng)問(wèn)題

圖4 矩形薄板波動(dòng)問(wèn)題的二維平面圖

如圖4所示分析的是邊界條件為固定邊界的二維平面薄板，采用分離變量法來(lái)研究該類問(wèn)題波動(dòng)方程解的形式。二維波動(dòng)方程可以表示如式(17)所示，邊界條件可以表示如式(18)所示，初始條件如式(19)所示。

(17)

(18)

(19)

設(shè)u(x,y,t)=F(x,y)G(t)將其代入式(17)得如式(20)所示。

F(x,y)G″(t)=c2[FxxG(t)+FyyG(t)]

(20)

式(20)兩邊同時(shí)除以F(x,y)G(t)，并令等式右端為一常數(shù)-υ2整理得如式(21)所示。

(21)

式(21)進(jìn)一步化簡(jiǎn)整理得如式(22)所示。

(22)

式(22)中關(guān)于G(t)的函數(shù)進(jìn)一步移項(xiàng)整理得如式(23)所示。

G″(t)+υ2c2G(t)=0

(23)

令λ=υc代入式(23)得如式(24)所示。

G″(t)+λ2G(t)=0

(24)

將式(22)中關(guān)于變量x和y的函數(shù)進(jìn)一步移項(xiàng)整理得如式(25)所示。

Fxx+Fyy+υ2F(x,y)=0

(25)

令F(x,y)=H(x)Q(y)，代入式(25)中，進(jìn)一步整理成如式(26)所示。

(26)

將式(26)移項(xiàng)整理得如式(27)所示。

(27)

(28)

式(28)中對(duì)變量x項(xiàng)進(jìn)行整理如式(29)所示。

(29)

式(29)的二階齊次線性微分方程的解如式(30)所示。

H(x)=Acoskx+Bsinkx

(30)

將式(28)中關(guān)于變量y項(xiàng)進(jìn)行整理如式(31)所示。

(31)

令p2=υ2-κ2代入到式(31)進(jìn)一步整理成如式(32)所示。

(32)

式(32)的解可以表示成如式(33)所示。

Q(y)=Ccospy+Dsinpy

(33)

將矩形薄板兩條豎直邊界x=0，x=a代入到式(30)整理得H(0)=Acos0+Bsin0=0；H(a)=Acosak+Bsinak=0即Bsinak=0分兩種情況討論，當(dāng)B=0時(shí)，函數(shù)H(x)沒(méi)有意義，所以不成立。當(dāng)sinak=0即ak=mπ，m∈N。

(34)

(35)

將式(35)進(jìn)行歸并整理成如式(36)所示。

(36)

將所有模態(tài)組合在一起，形成如式(37)所示。

(37)

起始條件u(x,y,t=0)=f(x,y)，將t=0代入到式(37)整理得如式(38)所示。

(38)

對(duì)式(38)運(yùn)用傅里葉逆變換可得如式(39)所示。

(39)

將式(37)代入式(19)可得如式(40)所示。

(40)

對(duì)式(40)運(yùn)用傅里葉逆轉(zhuǎn)換可得如式(41)所示。

(41)

根據(jù)邊界條件為齊次和初始條件為非齊次，運(yùn)用分離變量法對(duì)矩形薄板固定邊界波動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行分析研究，將波動(dòng)方程為偏微分方程變量分離轉(zhuǎn)化為含有單一變量的常微分方程并求解出該類問(wèn)題解的形式，能夠總結(jié)出分離變量法可以用來(lái)求解二維平面薄板的波動(dòng)問(wèn)題。

5 求解矩形薄板熱傳導(dǎo)問(wèn)題

一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的矩形薄板如圖5所示，上下兩面絕熱、四周邊界溫度已知?？梢员硎境桑喊宓膬蛇?x=0，x=a)始終保持零度，另外兩邊(y=0，y=a)的溫度分別為f(x)和g(x)。

圖5 矩形薄板熱傳導(dǎo)問(wèn)題的二維平面圖

矩形區(qū)域上拉普拉斯方程邊值問(wèn)題如(42)式所示。

(42)

令u(x,y)=X(x)Y(y)進(jìn)行變量分離，方程式(42)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如式(43)所示。

(43)

對(duì)式(43)中關(guān)于變量x和y進(jìn)行移項(xiàng)整理得如式(44)所示和式(45)所示。

X″(x)+α2X(x)=0

(44)

Y″(y)-α2Y(y)=0

(45)

根據(jù)邊界條件求解本征方程X(0)=0和X(a)=0的固有值如式(46)所示。

(46)

固有函數(shù)如式(47)所示。

(47)

式(46)代入如式(45)可得如式(48)所示。

(48)

式(48)中的解可以表示如式(49)所示。

(49)

原定解問(wèn)題的解為如式(50)所示。

(50)

由邊界條件得如式(51)所示。

(51)

應(yīng)用傅里葉系數(shù)公式得如式(52)所示。

(52)

當(dāng)矩形區(qū)域的兩組對(duì)邊的邊界條件都是齊次時(shí)，方程只有零解，這從物理模型上分析也是顯然的。若兩組邊界條件都是非齊次，則無(wú)法直接應(yīng)用分離變量法。此時(shí)，可以根據(jù)疊加原理，將其分解為兩個(gè)各含有一組對(duì)邊是齊次邊界條件的邊值問(wèn)題，再利用分離變量的方法分別求解。對(duì)于二維薄板熱傳導(dǎo)的拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題而言，應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，使得在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡(jiǎn)單，便于求解。只有當(dāng)求解區(qū)域很規(guī)則時(shí)，才可以應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程的邊值問(wèn)題。

矩形薄板在不同邊界條件下對(duì)X″+α2X=0和Y″+β2Y=0的特征值與特征函數(shù)可以進(jìn)行總結(jié)。垂直邊界X=0，X=a在邊界X″+α2X=0的特征值及特征函數(shù)可以總結(jié)如表3；水平邊界Y=0，Y=b在邊界Y″+β2Y=0的特征值及特征函數(shù)可以總結(jié)如表4。

表3 垂直邊界條件特征情況

表4 水平邊界條件特征情況

6 結(jié)論

應(yīng)用分離變量法求解平面薄板的四邊自由振動(dòng)模型、四邊固定的波動(dòng)模型、四邊穩(wěn)恒狀態(tài)熱傳導(dǎo)模型，可以總結(jié)出一些結(jié)論。

(1)求解二維平面薄板定解問(wèn)題時(shí)：當(dāng)泛定方程與邊界條件均為齊次時(shí)，無(wú)論初始條件為何種情況，可直接應(yīng)用分離變量法求解。

(2)當(dāng)邊界條件為齊次，泛定方程或初始條件為非齊次時(shí)，泛定方程為齊次并具有原定解條件的定解問(wèn)題則可以分離變量法求解；泛定方程為非齊次的并具有齊次定解條件的定解問(wèn)題，該問(wèn)題用固有函數(shù)法求解。

(3)當(dāng)邊界條件為非齊次時(shí)，則必須引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的，然后再應(yīng)用分離變量法來(lái)求解。