溫河山

[摘要]半角模型及其變式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，性質(zhì)豐富，方法經(jīng)典多樣，涉及等腰三角形和正方形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、翻折、勾股定理、化斜為直思想、方程思想、分類討論思想等，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，有很高的探究?jī)r(jià)值.

[關(guān)鍵詞]半角模型變式核心素養(yǎng)

半角模型是指從正方形的一個(gè)頂點(diǎn)引出夾角為450的兩條射線，并連結(jié)它們與該頂點(diǎn)的兩對(duì)邊的交點(diǎn)構(gòu)成的基本平面幾何模型.半角模型及其變式結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，性質(zhì)豐富，方法經(jīng)典多樣下面借助2020年杭州市中考數(shù)學(xué)卷第23題對(duì)其作探究.

1原題呈現(xiàn)

如圖1，已知AC、BD為00的兩條直徑，連結(jié)AB、BC，OE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F是半徑OC的中點(diǎn)，連結(jié)EF、DF，設(shè)OB與EF交于P.

（1）求證：PE=PF.

（2）若DF=EF，求∠BAC的度數(shù).

試題評(píng)價(jià)：本題是一道壓軸題，綜合性強(qiáng)，該題經(jīng)典解法較多，因此信度較高.本題與經(jīng)典的半角模型聯(lián)系密切，能引導(dǎo)教學(xué)關(guān)注經(jīng)典，拓展經(jīng)典，夯實(shí)通法;本題可作多種變式拓展，是一道優(yōu)秀的題目本題抽象性強(qiáng)，對(duì)邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的要求較高.題目以軸對(duì)稱圖形圓和矩形作為背景，將軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸重合在一起得到的圖形組合往往也具有軸對(duì)稱的性質(zhì)，而這種圖形直觀也往往是問(wèn)題解決的切入口，因此本題還能考查學(xué)生直觀想象和合理推斷的能力.

原解簡(jiǎn)析：（1）如圖2，取OB中點(diǎn)N，連結(jié)FN，易證FN是△OBC的中位線，OE是△ABC的中位線，易得四邊形OENF是一個(gè)平行四邊形，所以PE=PF.

（2）如圖2，延長(zhǎng)FN交AB于M，OE∥FM∥BC，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，易得M是EB的中點(diǎn)，根據(jù)中垂線性質(zhì)可得FE=FB，進(jìn)而有DF=BF;由于DO=OB，所以△DOF≌△BOF，可得∠DOF= ∠BOF=90°，從而矩形ABCD是正方形，得到∠CAB=45°.

原解評(píng)價(jià)：第一問(wèn)原解利用BC同屬于△ABC和△OBC兩個(gè)三角形的事實(shí)，構(gòu)造OE和FN與BC的關(guān)系，從而得到平行四邊形OENF，利用“平行四邊形的對(duì)角線相互平分”來(lái)證明兩條線段相等;這種方法相對(duì)少見(jiàn).

第二問(wèn)原解首先利用了平行線分線段成比例和中垂線的性質(zhì)，得到兩對(duì)全等三角形，分別是△FEM≌△FBM和△D OF≌△BOF，進(jìn)而得到矩形ABCD對(duì)角線的相互垂直關(guān)系，推導(dǎo)出該矩形為正方形，從而求解.原解要以“直觀猜測(cè)”“合情推理”為基礎(chǔ)，但是在問(wèn)題求解之前，是不容易“猜測(cè)到”或者“感知到”該矩形為正方形的.

2一題多解

分析：（1）要解決問(wèn)題一，關(guān)鍵點(diǎn)在于利用“F是OC的中點(diǎn)”這個(gè)條件，主要思路有過(guò)F構(gòu)建中位線，利用中位線的性質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題過(guò)F作BC、DB的平行線，過(guò)C作EF的平行線，過(guò)E作BD的平行線都可以構(gòu)建中位線. （2）猜測(cè)矩形ABCD為正方形，先要證AC和BD相互垂直，聯(lián)想到題目條件“DF=FE”，或許需要構(gòu)造以這兩條邊為對(duì)應(yīng)邊的全等三角形，

一題多解簡(jiǎn)析：（1）①法一：如圖3，過(guò)F作FN//OE交BD于N，證△OEP≌△NFP，得.

法二：如圖4，作FM∥BC交OB于N，得到OE是△ABC的中位線，F(xiàn)N是△OBC的中位線，易證四邊形OENF是平行四邊形，可得PE=PF.得

法三：如圖5，連結(jié)CD，延長(zhǎng)EO交CD于H，連結(jié)HF，易證0是HE的中點(diǎn)，H是CD的中點(diǎn)，得到HF是△COD的中位線，HF//DB，即HF//OP，PF= HO=1，從而PE=PF

法四：如圖6，作CB的中點(diǎn)H，連結(jié)FH，過(guò)H作HL//EF，易得四邊形FPLH是平行四邊形，可得FP=HL，∠OPE=∠FPB=∠HLB;由OE是△ABC的中位線，可得OE= BC=HB，∠EOP= ∠HBL，進(jìn)而有△OPE≌△BLH，PE=HL，所以.

法五：如圖7，過(guò)c作co∥FP，易證FP是△oQC的中位線，得到-=

CQ;△OPE∽△BQC，PE=

CQ，從而PE=PF

法六：如圖8，取OA中點(diǎn)G，可得OP是△FGE的中位線，從而PE=PF.

（2）法一：如圖9，取OA的中點(diǎn)G，連結(jié)ECJ、DG，可得△GODuU≌△EGF，從而DO⊥GF，從而矩形ABCD是正方形，∠A=45°.

法二：如圖10，過(guò)F作TS∥BC，分別交CD、AB于T、s，易證△TFC～△SFA，得FS=

FA= ;設(shè)AB=a，AD=b，由DF=FE，可得

，化簡(jiǎn)得.

3試題優(yōu)解

分析：由于圓和矩形都是軸對(duì)稱圖形，本題中兩個(gè)圖形的對(duì)稱軸重合，因此該圖形具有軸對(duì)稱性，利用該性質(zhì)可對(duì)圖形性質(zhì)作合理推斷.另外，以正方形和矩形為背景的問(wèn)題，可以引入平面直角坐標(biāo)系，在“豎直方向”和“水平方向”上通過(guò)坐標(biāo)之間的關(guān)系來(lái)考察線段之間的關(guān)系，從而避開(kāi)了繁雜的平移、旋轉(zhuǎn)、全等或相似變換。

優(yōu)解簡(jiǎn)析：如圖11，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB和AD所在直線為x軸和v軸建立平面直角坐標(biāo)系;

設(shè)AB=a， AD=b， 則B（a，o），c（a，b），D（o，b），E（ ，o），F(xiàn)（ ， ）圖11

（1）易得直線EF和DB的解析式分別為，

，從而P（

），易證點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，所以PF=PE. （ 2）DF=

由DF=EF，可得a=b，四邊形ABCD是正方形，故∠CAB=45°.

4試題拓展

分析：該題屬于半角模型的一種變式，探究過(guò)程涉及等腰三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓的基本性質(zhì)、三角形相似的判定及性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)、翻折、勾股定理、化斜為直思想、方程思想、分類討論思想等，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，有很高的探究?jī)r(jià)值，