王 凱 (浙江省杭州市源清中學 310015)

1 問題緣起

2020年11月26日，筆者在參加杭州市某中學學術節(jié)的過程中聽了兩節(jié)“三角函數(shù)的概念”(2019版人教A版必修第一冊5.2節(jié))的同課異構(gòu)課.第一節(jié)課上，A教師以教材給出的框架順序展開教學，但課堂中學生明顯不能很好地跟上教師的節(jié)奏來接受知識并給出相應的反饋，學習過程中認知和思維明顯不能達到教師的要求，所以不能順利按教師的引導問題鏈主動建構(gòu)三角函數(shù)定義；第二節(jié)課上，B教師從初中的三角函數(shù)定義引出問題，但推廣到任意角三角函數(shù)的時候，B教師用了一個內(nèi)燃機傳動原理示意圖說明任意角三角函數(shù)值是隨角的變化而變化的實數(shù)，這在模型處理上，對學生數(shù)學抽象能力的要求過高，即數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程欠合理，同樣不能很好地切入三角函數(shù)概念的主題.

在應用教材進行教學實踐時，我們應該用好教材提供的素材，將數(shù)學思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分暴露在學生面前，才能吸引學生積極參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程[1].既要讓數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學生在學習過程中認知的過程、思維的過程合理[2](下文簡稱為“兩個過程”).所以筆者嘗試用“兩個過程”合理性的理念，對“三角函數(shù)的概念”這節(jié)課做了一個全新的教學設計，來談一下如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

2 基于“兩個過程”思考下的教學設計

2.1 對教學內(nèi)容的基本認識

初中階段利用“邊長比”來定義銳角三角函數(shù)，這樣的定義會讓學生對函數(shù)一般概念中的“數(shù)集到數(shù)集”的對應關系產(chǎn)生認知沖突，所以要重新建構(gòu)三角函數(shù)的定義.并且三角函數(shù)概念的建構(gòu)過程與前面各類基本初等函數(shù)概念的建構(gòu)過程都不一樣.冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)是通過具體實例的共性歸納而抽象出來的，而三角函數(shù)概念是直接由單位圓上的點的運動規(guī)律的描述得到的.所以在這節(jié)課的教學設計中要考慮如何將數(shù)學思維的發(fā)生和發(fā)展過程充分地暴露在學生面前，設計合理的認知沖突，讓其參與知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，既要讓數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程合理，也要讓學生在學習過程中認知的過程、思維的過程合理.

2.2 教學方法的選擇

3 課堂實錄

3.1 憶初中定義、建認知起點

設問1 同學們，還記得在初中我們是怎樣定義銳角的三角函數(shù)嗎？

設計意圖從學生已有的初中知識經(jīng)驗(邊長比)出發(fā)，著眼于學生的最近發(fā)展區(qū)，這是學生數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的起點，更是數(shù)學思維的發(fā)生和發(fā)展的起點.

3.2 創(chuàng)設情境沖突，重識研究視角

圖1

設問7 此時點P的坐標為.

設計意圖借助初中銳角三角函數(shù)中熟悉的“邊長比”場景，引導學生從已有認知基礎出發(fā)，創(chuàng)設情境沖突，讓學生用任意角的研究策略來重新認識初中的定義，為單位圓的引入做好鋪墊.這個過程是學生對原有知識進行再認識，為再創(chuàng)造提供了基礎，也讓學生在學習過程中提升了自己原有的認知和思維.

3.3 特殊走向一般，完成知識建構(gòu)

設問11 根據(jù)這樣的想法，對一個任意角α(α∈R)的正弦、余弦和正切，該如何定義？

設問12 根據(jù)這個定義，任意角α(α∈R)的正弦、余弦和正切是否都存在？

接下來師生共同得到三角函數(shù)的定義．

設計意圖在銳角三角函數(shù)的具體情境的引領下自然地引入單位圓來定義三角函數(shù)，讓學生感受數(shù)學概念、數(shù)學方法與數(shù)學思想的起源與發(fā)展都是自然的，不僅合情合理，甚至很有人情味[3].

在概念建構(gòu)的過程中讓學生體會三角函數(shù)是“α與x，y直接對應”，無須計算.雖然α，x，y都是實數(shù)，但實際上是“幾何元素之間的對應”.整個過程讓學生參與了知識發(fā)展的過程，不僅使三角函數(shù)定義的引入水到渠成，也讓學生對函數(shù)的本質(zhì)有了更深入的思考.這培養(yǎng)了學生的邏輯推理和數(shù)學抽象素養(yǎng)，使之經(jīng)歷從具體到一般的數(shù)學抽象過程，切身體驗知識的再創(chuàng)造和發(fā)展的過程，其認知過程和思維過程可以得到新的發(fā)展.

3.4 問題引領思考，新知認識深入

設計意圖借助問題再次理解三角函數(shù)是“α與x，y直接對應”，無須計算.認識到三角函數(shù)的“對應關系”是“幾何元素之間的對應”.

問題4設α是一個任意角，它的終邊上任意一點P(不與原點O重合)的坐標為(x,y)，點P與原點的距離為r，試用x,y和r來表示角α的正弦、余弦和正切值.

圖2

設計意圖用問題鏈的形式引領學生思考新的定義，通過問題讓學生體會初中階段用“邊長比”到直角坐標系上的“坐標比”，最后回到單位圓來計算三角函數(shù)值，本質(zhì)上是等價的，說明了我們的新定義和初中的定義是一脈相承的，是初中定義的繼承和發(fā)展.讓學生體會數(shù)學概念的形成過程是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物[3]，并在這個過程中培養(yǎng)學生邏輯推理和數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).

3.5 課堂小結(jié)

設計意圖再次回顧本節(jié)課的研究思路，感受從初中“邊長比”到高中“單位圓”的變化，體會概念在不同認知階段會有不同的認識深度.

3.6 課堂練習

設計意圖通過這組課本練習題(179頁到180頁的練習的1～3題)，讓學生學會用這節(jié)課所學的三角函數(shù)的概念來求三角函數(shù)值，在這個過程中強化其直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

3.7 課堂拓展

(課本180頁練習第4題)：已知點P在半徑為2的圓周上按順時針方向做勻速運動，角速度為 1 rad/s，求2 s時點P所在的位置.

設計意圖讓學生反思整節(jié)課研究問題的路徑，尋求一種問題解決的范式，讓其自己能建立一個問題研究的體系，進而合理地解決問題.進一步培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學抽象的素養(yǎng).

4 課后反思

整個設計以明暗兩線進行，重視“概念”的生成.明線是通過具體已知銳角三角函數(shù)定義推廣到任意角三角函數(shù)的定義，讓學生在過程中歸納現(xiàn)象和抽象結(jié)論，得到一般化的結(jié)論，即學生的數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的過程；暗線是通過初中銳角三角函數(shù)“邊長比”和函數(shù)一般概念的認知沖突，帶領學生走向高中“單位圓”的定義，在過程中幫助學生掌握一類問題的研究范式，領悟數(shù)學的本質(zhì)，即學生認知和思維的過程發(fā)展.

人教A版高中教材在其主編寄語中說道：“數(shù)學的特點是邏輯嚴謹，從概念到性質(zhì)再到應用環(huán)環(huán)相扣，前面的知識未理解，后續(xù)的學習就必然遇上實質(zhì)性的困難.學數(shù)學，既沒有捷徑，也沒有靈丹妙藥，唯有按照數(shù)學的方式，按部就班，循序漸進地想，在基礎知識上下足功夫，才能取得好成效.”[4]這節(jié)課的設計也體現(xiàn)了這種思想，基于“兩個過程”合理性的思考，讓學生從已有的認知出發(fā)，在明(知識)暗(認識和思維)交錯中，重識認知沖突，建構(gòu)新的認知結(jié)構(gòu)，學會遷移后進行新的詮釋，最終使學生的核心素養(yǎng)在“兩個過程”中落地.