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        一種球面地形重力位的計(jì)算方法

        2021-09-16 12:22:26朱化強(qiáng)
        大學(xué)物理 2021年9期
        關(guān)鍵詞:直角坐標(biāo)天體高階

        朱化強(qiáng)

        (貴州師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,貴州 貴陽(yáng) 550025)

        在月球和類(lèi)地行星表面地形重力異常的估算中,早期研究采用低階次近似,常常導(dǎo)致較大的誤差[1].在直角坐標(biāo)系中采用高階近似,可以得到較好的精度[2],被廣泛地應(yīng)用于重力異常的正反演問(wèn)題[3-5].這種高階近似算法,主要依據(jù)快速傅里葉變換,通過(guò)地形頻譜即可以迅速求解相應(yīng)的重力異常,再經(jīng)過(guò)傅里葉逆變換即可求得研究區(qū)域表面地形引起的重力異常.這種方法不但能保持快速計(jì)算,還便于重力異常信息的濾波處理,具有較大的實(shí)用價(jià)值,在地球物理研究中被廣泛地應(yīng)用[3-5].隨著月球探測(cè)數(shù)據(jù)的增加,發(fā)現(xiàn)諸如月球這類(lèi)小天體,其曲率產(chǎn)生誤差將不能被忽略[6-7].文獻(xiàn)[2]的模型對(duì)月球和火星這類(lèi)小天體重力異常的正反演,會(huì)產(chǎn)生不可剔除的模型誤差,導(dǎo)致結(jié)果解釋不合理等現(xiàn)象[6-7].近年來(lái),隨著火星和月球探測(cè)活動(dòng)的開(kāi)展,相關(guān)重力數(shù)據(jù)越來(lái)越豐富[8-9],有必要構(gòu)建適用于這類(lèi)小天體的球坐標(biāo)重力正反演模型.為此,本文提出一種球面地形重力位的估算方法,以期為小天體重力正反演提供一定的參考.

        1 直角坐標(biāo)平面模型的重力位

        參考文獻(xiàn)[2],假設(shè)直角坐標(biāo)系下平面模型的重力位為Δg,產(chǎn)生該重力位的地形高程為h(r),對(duì)兩者進(jìn)行傅里葉展開(kāi),可得重力位的傅里葉變換F[Δg]與n階ρ地形傅里葉變換F[hn(r)]的關(guān)系為

        其中,r表示坐標(biāo)原點(diǎn)至地形參考點(diǎn)的位置矢量,n表示傅里葉展開(kāi)的階數(shù),z0表示參考平面的位置高階,k表示波矢量,G表示萬(wàn)有引力常量,ρ表示地形密度.上式對(duì)于大天體而言,界面地形的重力位因界面弧度的影響較小,但對(duì)小天體而言,地形界面因弧度對(duì)重力位的貢獻(xiàn)必須考慮進(jìn)去.

        2 球面地形的重力位

        如圖1所示,假定天體的球心為O,平均參考半徑為R,相對(duì)該參考球面距離為h(θ,φ)的地形點(diǎn)B(半徑為r).對(duì)于半徑為r0的參考球面(r0>R)的點(diǎn)A,點(diǎn)B對(duì)點(diǎn)A的重力位為(如圖1虛線所示)

        (1)

        其中,ρ(r,θ,φ)表示天體表面地形的密度函數(shù),G為萬(wàn)有引力常量,dV表示天體表面地形的體積微元;r0和r分別表示點(diǎn)A和點(diǎn)B的徑向矢量,兩矢量的夾角為γ,兩矢量差的模為|r-r0|.

        圖1 界面地形重力位估算示意圖

        假定表面地形的密度為常數(shù),即ρ(r,θ,φ)=ρ0,并考慮到勒讓德多項(xiàng)式母函數(shù)的關(guān)系[10-11],以及積分與求和進(jìn)行互換,對(duì)式(1)在徑向進(jìn)行積分得

        UA(r0,θ0,φ0)=

        Rn+3]Pn(cosγ)sinθdθdφ

        (2)

        上式中,Pn(cosγ)表示n階勒讓德多項(xiàng)式.利用二項(xiàng)式公式,可以將式(2)進(jìn)一步化簡(jiǎn)成

        UA(r0,θ0,φ0)=

        (3)

        (4)

        為了進(jìn)一步化簡(jiǎn)式(3),參考文獻(xiàn)[10],將n階勒讓德多項(xiàng)式Pn(cosγ)表示成n階m次正則化球諧函數(shù)Yinm的關(guān)系,即

        (5)

        其中

        (6)

        上式中,Pnm(cosθ)表示正則化的n階m次連帶勒讓德函數(shù),cosmφ和sinmφ表示余弦和正弦函數(shù),θ和φ分別表示余緯度和經(jīng)度.參考文獻(xiàn)[12],正則化的球諧函數(shù)Yinm滿足如下正交性原則

        (7)

        上式中狄拉克函數(shù)δnl和δmk滿足如下關(guān)系

        (8)

        如圖1所示,參考文獻(xiàn)[3-5,10]可將地形高程h(θ,φ)展開(kāi)l階p次成球諧函數(shù)的形式,假定地形高程球諧展開(kāi)系數(shù)為hilp,即

        (9)

        (10)

        (11)

        將式(11)代入式(3),顧及式(5)—(8),可得

        (12)

        (13)

        其中,M表示天體在參考半徑R內(nèi),平均密度為ρ0的總質(zhì)量,而且必須滿足r0>r.

        3 討論與應(yīng)用

        有關(guān)地形引起的重力位,其位系數(shù)式(13)涉及求和運(yùn)算,而且隨著階次n的增加,計(jì)算量不斷增大,但這實(shí)際上沒(méi)必要考慮太多高階項(xiàng).式(13)來(lái)源于式(4),其中h/R表示表面地形高程與天體平均半徑的比值,此項(xiàng)的值一般較小,特別是對(duì)于高階項(xiàng).以火星表面最高的奧林匹斯山(Olympus)為例,其高程接近22 km[12-14],而火星的平均半徑為3389.5 km[15],h/R的高階項(xiàng)趨近于零,一般計(jì)算時(shí)不超過(guò)7階.圖2表示求和項(xiàng)式(4)中每一項(xiàng)的值隨k和n的分布,由圖可知,當(dāng)k超過(guò)5時(shí),式(4)的高階項(xiàng)幾乎沒(méi)有變化.圖3表示式(4)中所有項(xiàng)之和,由圖可知,對(duì)于同一個(gè)球諧階數(shù)n,k取k=3和k=7時(shí)并沒(méi)有太大的區(qū)別,因此,實(shí)際應(yīng)用中,式(4)的求和項(xiàng)數(shù)最多取前7項(xiàng)即可滿足精度要求.

        圖2 重力位求和式(4)中每一項(xiàng)隨k和n變化圖

        圖3 重力位求和式(4)隨k和n變化的總和分布

        為了應(yīng)用本文算法,參考文獻(xiàn)[16,17],取火星行星殼密度ρc=2900 kg·m-3,取火星重力位參考球面半徑r0=3396 km[17],地形數(shù)據(jù)取自文獻(xiàn)[16].在計(jì)算過(guò)程中取式(13)最大求和項(xiàng)數(shù)為5項(xiàng),火星表面地形產(chǎn)生的重力位分布如圖4所示,其投影中心坐標(biāo)為(-90°W,0°E),左邊是火星表面著名的奧林匹斯山脈(如圖4白色區(qū)域所示).圖4表明火星北半球的重力位明顯低于其南半徑,這主要是由于北半球因低洼的盆地產(chǎn)生負(fù)的重力位,而南半球因高原產(chǎn)生正重力位所致,這與火星表面如文獻(xiàn)[16]給出的地形特征一致,表明本文構(gòu)建的算法具有一定的合理性.

        圖4 火星表面地形取火星殼密度2900 kg·m-3時(shí)的重力位分布

        為了比較直角坐標(biāo)模型與本文球諧模型的差異,圖5給出了本文算法的重力位UA與直角坐標(biāo)平面模型重力位Δg的差值UA-Δg.火星南半球?yàn)楦叩兀卑肭驗(yàn)槠皆?,赤道附近聚積了較多火山.圖5表明兩種算法對(duì)兩極,以及赤道附近火山區(qū)域重力位的計(jì)算存在一定的偏差.文獻(xiàn)[18]的研究表明,火星扁率對(duì)其重力位的影響較大.圖5也顯示兩種算法的重力位在兩極存在一定的差異,表明火星表面曲率對(duì)重力位的影響不能忽略.因此,本文基于球坐標(biāo)系推導(dǎo)的球諧模型更適合于球狀天體表面地形重力位的估算.

        圖5 直角坐標(biāo)模型與本文球諧模型求解的重力位偏差圖(火星殼密度取2900 kg·m-3)

        4 結(jié)論

        由于月球和火星此類(lèi)小天體曲率特征的影響,目前地學(xué)界常用的直角坐標(biāo)模型不適合于這類(lèi)小天體的重力位估算.特別是近年來(lái)火星和月球探測(cè)數(shù)據(jù)越來(lái)越豐富,有必要構(gòu)建適用于這類(lèi)小天體的球坐標(biāo)重力正反演模型.本文基于牛頓引力位理論,應(yīng)用球諧變換對(duì)重力位進(jìn)行展開(kāi),通過(guò)特定的數(shù)值推理,發(fā)現(xiàn)表面地形引起的重力位可以用地形的高階展開(kāi)系數(shù)直接計(jì)算,進(jìn)而簡(jiǎn)化了傳統(tǒng)數(shù)值積分復(fù)雜的求積過(guò)程.同時(shí),研究發(fā)現(xiàn)高階地形產(chǎn)生的影響不超過(guò)7階,在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中取5階以內(nèi)的高階地形就能滿足精度要求.

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