徐想平

體積與容積是小學數(shù)學中比較抽象的核心概念，也是小學階段研究物體體積度量的重要起點。通過前測調(diào)研，筆者發(fā)現(xiàn)造成學生認識體積的障礙有兩個：“空間”和“占空間”比體積本身更難感受和理解;“表面積”和“質(zhì)量”是干擾體積概念表象建立和內(nèi)涵理解的重要因素。此外，體積和容積這兩個概念有很多相似之處，容易混淆。如何設(shè)計有效的學習路徑，幫助學生突破難點和障礙，在概念的建構(gòu)中培養(yǎng)空間觀念、發(fā)展高階思維呢？

—、圍繞“比較”，在問題解決中建構(gòu)概念本質(zhì)

在“圖形與幾何”領(lǐng)域中，無論是周長、面積還是體積的計算，都屬于求“積”問題。對求“積”問題的本質(zhì)認識一般都源于“比較”。因此，體積和容積概念的學習活動應(yīng)圍繞“比較”展開。

筆者認為，幫助學生建構(gòu)體積概念一般分為三個層次：感知物體占有一定的空間;感知物體所占空間有大有小;感知所占空間的大小是可以分辨和確定的。課上，筆者首先引導學生把桌斗清空，伸出雙手去摸一摸桌斗，感受一下桌斗的空間;然后讓學生把一摞書放進去，再摸一摸桌斗的空間，初步感知空間大小的變化。這樣的想象、知覺活動讓學生清晰地感受到“空間”以及“物體是占空間的”。

比較物體所占空間的大小一般分為兩個層次：一是直接通過目測觀察就可以分辨出來的物體體積的比較，如比較空調(diào)、水杯、乒乓球這三個物體所占空間的大小。教學中，筆者通過“看、找、想、說”的活動，引導學生經(jīng)歷目測觀察和用數(shù)學語言描述的過程，使學生初步感知物體不僅占空間，而且它們所占的空間還有大小之分。在此基礎(chǔ)上，筆者演示吹氣球的過程，讓學生通過仔細觀察感悟：不僅固體占空間，氣體也占空間，且氣球內(nèi)氣體所占的空間會隨著吹入氣體的多少而發(fā)生變化。這兩個教學活動有利于學生理解體積概念的豐富內(nèi)涵。二是通過目測觀察無法分辨出來的物體體積的比較，如比較土豆和紅薯所占空間的大小。實驗開始前，筆者首先啟發(fā)學生思考、設(shè)計不同的實驗方案。學生提出榨成泥后比較、水測（溢測）法比較、比表面積或比質(zhì)量等想法。然后，筆者引導學生對實驗方案是否可行進行討論交流，對表面積、質(zhì)量這兩個干擾因素進行層層剝繭，排除了這兩種方法。最后，筆者提供實驗材料，讓學生通過水測法驗證土豆和紅薯的體積到底哪個更大，由此感悟物體所占空間有大有小，并且體積的大小是可以確定的。

對容積概念的認識同樣圍繞“比較”來設(shè)計學習活動。首先，筆者設(shè)疑：目測無法分辨出誰的內(nèi)部空間大的杯子和瓶子，誰裝的水多呢？以此激發(fā)學生設(shè)計實驗方案解決問題。有學生提出可以把杯子和瓶子都裝滿水，再分別倒入另外一個杯子，同時做好標記，哪一個水面高哪一個裝的水就多;還有學生提出可以把杯子裝滿水，然后倒入瓶子里，如果滿了并溢出來了，就說明杯子裝的水多，如果沒滿，就說明杯子裝的水少。在實驗演示、求證、比較、描述的過程中，學生得出“瓶子裝的水多，杯子裝的水少”，說明瓶子的容積比杯子大，直觀感知到容器裝滿水時水的體積等于容器的容積，從而深入理解了容積概念——容器所能容納物體的體積就是容器的容積。

二、圍繞“偏差”，在障礙沖突中領(lǐng)悟概念內(nèi)涵

小學階段有些數(shù)學概念的表述是比較抽象和難以理解的。比如，教材用體積來定義、表述容積：“容器所能容納物體的體積，是容器的容積。”對于“所能容納”，學生很容易產(chǎn)生認識上的偏差。為此，筆者在用“杯子倒水”幫助學生初步認識容積的基礎(chǔ)上，采用“杯子裝米”的方式，循序漸進地幫助學生在質(zhì)疑交流中矯正認識上的偏差。

教學中，筆者首先用準備好的杯子裝了部分米（未裝滿），讓學生判斷杯子的容積。學生觀察后認為杯子還可以容納米。接著，筆者往杯子里慢慢倒入米，直至正好裝滿，再讓學生判斷杯子的容積。學生通過直觀觀察發(fā)現(xiàn)杯子已經(jīng)裝滿，再也不能容納米了，得出此時杯子的容積應(yīng)該是米的體積。筆者乘機引導學生觀察米之間有縫隙，說明還可以容納東西，并演示將少量水緩緩倒入裝滿米的杯子且水沒有溢出的過程。學生通過這個實驗發(fā)現(xiàn)：杯子的容積比米的體積大。

這樣教學讓學生在真切的感受中比較，在比較的過程中產(chǎn)生認識沖突，在辨析沖突中達成一致理解，從而準確理解“所能容納”是指杯子中的米正好裝滿，沒有縫隙，也沒有超出，而且能很直觀地遷移理解：杯子里即使沒有裝東西，杯子也是有容積的;杯子里米的量在變化，但杯子的容積沒有發(fā)生改變;相同杯子的容積是相等的。這樣的問題串能夠幫助學生更透徹地理解容積概念的本質(zhì)。

三、圍繞“關(guān)聯(lián)”，在猜測想象中透徹概念理解

在理解體積和容積概念的基礎(chǔ)上，還要幫助學生認識兩者的聯(lián)系與區(qū)別，重在明晰兩種情況：一是同體積的物體容積未必相同，二是同一個物體（容器）的體積大于容積。

課上，筆者首先呈現(xiàn)兩個外觀大小相同的紙箱并提問：這兩個紙箱誰的體積大？學生仔細觀察后發(fā)現(xiàn)兩個紙箱完全一樣，得出體積相同的答案。然后，筆者引導學生猜想它們的容積是否也相同。有的學生認為兩個紙盒的體積一樣大，容積應(yīng)該也一樣;有的學生認為如果兩個紙箱里面的構(gòu)造一樣，它們的容積就相同，反之容積就不同。最后，筆者適時打開兩個紙箱呈現(xiàn)內(nèi)部的不同構(gòu)造。學生觀察到紙箱壁的厚度不一樣，明確了容器容積的大小不能只看外表，體積相同的兩個物體（容器）的容積不一定相同。接下來，筆者還是以紙箱為例，逐步呈現(xiàn)三個問題，引導學生在想象中思考：如果紙箱的外壁不斷加厚，體積和容積有什么變化;如果紙箱的內(nèi)壁不斷加厚，體積和容積有什么變化;如果紙箱的內(nèi)壁不斷變薄，體積和容積又有什么變化。在這樣充滿挑戰(zhàn)性的漸進式問題中，學生邊想象邊體會體積和容積隨著壁厚的變化而變化。特別是對第三個問題，學生逐漸想象到“零厚度”，滲透了極限思想。這個過程在培養(yǎng)學生空間想象力的同時，發(fā)展了學生的高階思維，進而使他們對概念的理解走向深入。

體積與容積概念的建立不是概念符號的記憶過程，也不僅僅是積累直觀形象的過程，而是概念意義的形成過程。這個過程需要基于學生生活經(jīng)驗和有效的數(shù)學活動來突出概念本質(zhì)，促進學生真正理解概念。

（作者單位：應(yīng)城市楊嶺鎮(zhèn)中心小學）

責任編輯? 劉佳