信琴琴

(華中師范大學(xué)廈門(mén)海滄附屬中學(xué) 福建廈門(mén) 361026)

在第一輪中考復(fù)習(xí)中，所有學(xué)生主要以落實(shí)基本知識(shí)和基本技能為主，但學(xué)有余力的學(xué)生要能構(gòu)建初中數(shù)學(xué)的知識(shí)體系，并且理清知識(shí)之間的聯(lián)系。以相似三角形和銳角三角函數(shù)為例，人教版教材將銳角三角函數(shù)放在相似三角形之后，這兩者之間的共同之處都是求線段的比值問(wèn)題，但銳角三角函數(shù)是利用相似的直角三角形得到的，所以可以看作相似的一個(gè)特例，從本質(zhì)上講，它也可以看作是相似問(wèn)題。為了通過(guò)題目使學(xué)生更加清楚這兩者之間的關(guān)系，需要教師認(rèn)真選題，并認(rèn)真研題，通過(guò)解題析題過(guò)程，讓學(xué)生以后遇到線段的比值問(wèn)題時(shí)能夠快速確定解題方向和策略。

一、題目選取

（2020福州二檢）已知△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是AB邊上一點(diǎn)，連接CD，E是CD上一點(diǎn)，且∠AED＝45°.

（1）如圖1，若AE＝DE，

圖1

①求證：CD平分∠ACB；

（2）如圖2，連接BE，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。

圖2

二、了解問(wèn)題

本題在等腰直角三角形的背景下，已知一個(gè)特殊角，問(wèn)題（1）中增加線段相等的條件，要求證CD平分∠ACB，同時(shí)還要求線段的比值，如何尋找本題的突破口？這些條件該如何使用？

問(wèn)題（2），改變條件，若AE⊥BE，求tan∠ABE的值。而我們知道解題的關(guān)鍵求出AE和BE之間的關(guān)系。

三、擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

因?yàn)橐阎鰽BC，AB＝AC，∠BAC＝90°，故∠B=∠ACB=45°。

對(duì)問(wèn)題（1），根據(jù)已知條件，∠AED＝45°，AE＝DE，則∠EAD=∠ADE=67.5°。

①求證：CD平分∠ACB。只要想辦法證明∠ACD=∠CAE即可解決問(wèn)題。

解法1：利用外角，因?yàn)椤螦DE=67.5°，∠B=45°，所以∠ACD=22.5°，因此∠CAE=22.5°，解決問(wèn)題。

解法2：利用直角三角形兩銳角互余，因?yàn)椤螧AC＝90°，∠ADE=67.5°，所以∠ACD=22.5°，得證。

圖3

分析：根據(jù)①中CD平分∠ACB的結(jié)論，聯(lián)想到角平分線的性質(zhì)，嘗試解決問(wèn)題。學(xué)生能利用角的平分線的性質(zhì)，證明與線段相等有關(guān)的問(wèn)題。這里可以考查學(xué)生運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決幾何問(wèn)題的能力，以及對(duì)添加的輔助線的掌握情況。

除了這種方法，你能?chē)L試用其他方法解題嗎？可以試試看。這樣的設(shè)問(wèn)可以撥動(dòng)學(xué)生的好奇心，激發(fā)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的原動(dòng)力，尤其是初三學(xué)生，已經(jīng)儲(chǔ)備了很多知識(shí)，當(dāng)然躍躍欲試，并且往往會(huì)收到較好的效果。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)開(kāi)始變得“好玩”起來(lái)。很快就會(huì)有其他做法。

圖4

圖5

解法1：三角形相似

圖6

解法2：構(gòu)造手拉手模型

圖7

解法3：構(gòu)造弦圖模型

圖8

圖9

綜上，求線段比值的問(wèn)題時(shí)，我們常借助相似三角形或者銳角三角函數(shù)，如何構(gòu)造值得思考。通過(guò)解題、析題的過(guò)程，最后讓學(xué)生感悟，可以添加平行線，構(gòu)造“8字型”形似或者“A字型”形似；或者作垂線，構(gòu)造直角三角形，達(dá)到解決問(wèn)題的目的。

此外，通過(guò)解題析題過(guò)程，讓學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，遇到求線段比值問(wèn)題的題目時(shí)，可以通過(guò)添加輔助線（平行線、垂線等），構(gòu)造相似三角形或者直角三角形來(lái)解決問(wèn)題，達(dá)到多題一解的目的，使學(xué)生明確解題方向。

四、回顧反思

教師不能單純地搞題海戰(zhàn)術(shù)，我們首先要明確所選例題要使學(xué)生掌握什么知識(shí)，明白什么知識(shí)之間的關(guān)系，以學(xué)生為主體，從學(xué)生的認(rèn)知角度出發(fā)，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，搞清楚知識(shí)的來(lái)龍去脈，并不斷讓學(xué)生總結(jié)各類(lèi)問(wèn)題的解題策略和思路及所用到的知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)思考，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，進(jìn)一步反思，真正感悟到例題所發(fā)揮的價(jià)值，以發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)。

在解題過(guò)程中，我們不斷引發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，讓學(xué)生充分思考，確定不同的解題的方向，則能使不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)認(rèn)真鉆研教材和題目，并且嘗試從多個(gè)進(jìn)行解題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生嘗試用多種方法解題，且對(duì)各種方法進(jìn)行對(duì)比歸納，以此拓展學(xué)生的思維，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

五、教學(xué)思考

（一）提煉基本模型，引導(dǎo)方法選擇

在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)過(guò)程中，教師不能單純?yōu)榱酥v題而講題。在每節(jié)習(xí)題課前，要認(rèn)真鉆研教材和題目，引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度尋求解題思路，并制定相應(yīng)的計(jì)劃進(jìn)行嘗試，在嘗試過(guò)程中，讓學(xué)生感悟解題方向?qū)忸}的影響，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。通過(guò)這種引導(dǎo)，可以改善學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生的思維得到提升。最后，還要對(duì)題目進(jìn)行回顧，對(duì)解題方法和思路進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)不再是單純地解題。

（二）注重一題多解，提高解題技巧和能力

《課標(biāo)》指出，數(shù)學(xué)課程要讓學(xué)生獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必須的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。因此，在解題過(guò)程中，教師一定要帶著學(xué)生充分挖掘題目中條件隱藏的信息，分析條件特征和圖形特征，通過(guò)分離基本圖形、基本模型等，尋求突破口，并且要多問(wèn)問(wèn)還有沒(méi)有其他解法。課堂上讓學(xué)生盡可能展示不同的解題方法和思路，并讓學(xué)生對(duì)比不同方法的優(yōu)劣，以及在什么條件下選擇什么樣的方法更佳。通過(guò)一題多解的訓(xùn)練，可以使學(xué)生在解題思維上更靈活，思路更廣，而且能培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

綜上，在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，要以《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》為基本依據(jù)，仔細(xì)研讀教材，精選優(yōu)選題目，根據(jù)學(xué)生實(shí)際和課標(biāo)的要求用好教材，用好例題，切實(shí)培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。