任子朝 趙 軒 翟嘉祺 徐奉先

(教育部考試中心 100084)

1 引言

開放性試題(Open Ended Problem 或 Open Ended Item)是與封閉性試題相對應的概念.一般來說，封閉性試題具有確定的條件、方法和答案，而開放性試題是指圍繞某一個核心主題，提供一定的材料信息，要求考生就試題設問進行深層分析和開展探究的一種命題形式.早在1993年就有學者概括了數學開放型題特點, 即題目的條件是不完備的、解題策略是多種多樣的[1].隨后對開放題編制的策略和方法都進行了深入的研究[2]，進一步研究了與數學開放題相關的教學特征和方法[3].2020年10月，中共中央國務院《深化新時代教育評價改革總體方案》提出：深化考試招生制度改革.穩(wěn)步推進中高考改革，構建引導學生德智體美勞全面發(fā)展的考試內容體系，改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和“機械刷題”現象[4].在課程改革、高考改革和教育評價改革并行推進的新時期，必須根據新課改和新高考的要求，研究開放題新的意義、新的作用、新的要求和新的內容，發(fā)揮其在高考改革中的推動作用.

2 開放題的理論

開放性試題由于條件、方法與結果的不確定性，所以呈現出條件開放、過程開放、結論開放等特點，且沒有唯一固定答案，因此在教育和評價中有特定的功能.如果說封閉性試題在考查學生思維的嚴謹性、目標的客觀性、方式的規(guī)范性上獨具優(yōu)勢的話，那么開放性試題則在考查學生思維的靈活性、創(chuàng)造性上更為突出，甚至關注學習者情感、態(tài)度和價值觀等非智力因素，關注探究性和生成性的考查，所以在評價研究與實踐中發(fā)揮越來越重要的作用.特別要結合新課程標準和中國高考評價體系，深化開放題的理論和命題技術研究.

2.1 開放題與核心素養(yǎng)

課程標準明確指出：“學科核心素養(yǎng)是學科育人價值的集中體現，是學生通過學科學習而逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力.[5]”對開放性試題而言，實現考試內容的開放才是有意義的開放.核心素養(yǎng)作為考試內容的核心，其要素應該在開放性試題中得到體現和考查，而且核心素養(yǎng)的考查本身就要求試題具有開放性.以必備品格為例，必備品格具有導向價值觀念和關鍵能力的獨特作用.數學學科的必備品格應該包括理性思維、獨立思考、求真求實、探究建模、勇于探索等.在考試中實現對必備品格的真實考查，可以依托開放性試題實現，研究利用開放題的考查路徑是落實核心素養(yǎng)理念的重要內容.同時核心素養(yǎng)的所有要素應該在一次考試中全部體現，考試是根據命題藍圖設計試題，因此要科學地分解、組合各核心素養(yǎng)要素和等級水平，并將其合理地分配到各個試題，對于落實到開放題的考查任務，要研究開放性試題的情境設計、問題設計、作答預設以及評分標準等，這是落實核心素養(yǎng)理念的重要任務之一.

2.2 開放題與學科關鍵能力

高考數學學科依據《中國高考評價體系》確定了數學學科的關鍵能力，包括邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數學建模能力、創(chuàng)新能力五項關鍵能力[6].這5個關鍵能力從理論的、思維的和實踐的等方面分別描述了關鍵能力的有機構成，每個能力都與試題的開放性密切相關.開放性試題具有從新的角度觀察事物的特質，考查被試是否能夠從新的角度解讀和解釋情境，考查理解程度和聯系能力；是否能夠使用理論認識事物，考查受試者思維的深度；是否能夠初步建立一種探究性思維方式并予以充分表達，考查受試者的整合能力.開放性試題的顯著特點是鼓勵受試者獨立思考，個性化地解決問題.這種試題對受試者所有關鍵能力的考查都是較為深刻的考驗.

2.3 開放題的學科特點

除了一般開放題的特點，數學開放題還有獨特的特征.傳統(tǒng)數學試題的特點是條件都是給定的，而且不多不少，全部應用就可以解題.解題的思路是固定的，即使是一題多解的題目，每種解法的思路也是固定的，只要沿著固定的思路就能解題.解題的結果也是唯一、確定的，能得出確切的結論和數值.而數學開放題具有以下的特點：

1. 數學開放題的條件是不充分的，需要學生補充條件才能解題，補充的條件不同，解題的思路和解法也會不同.

2. 題目的結論不是事先給定的，有些問題的答案是不確定的，存在著多樣的解答，但重要的還不是答案本身的多樣性，而在于尋求解答過程中主體的認知結構的重建.

3. 沒有現成的解題模式，有些答案可能易于直覺地被發(fā)現，但是在求解過程中往往需要從多個角度進行思考和探索.

4. 實際應用性的開放題，主體必須將生活語言用數學語言將其數學化，建立數學模型才能解決.在求解過程中往往可以引出新的問題，或將問題加以推廣，找出更一般、更有概括性的結論.

2.4 開放題設計原則

在考試中設計、開發(fā)開放題不同于教學中編制開放題，首先要注意，問題本身要有意義，要有研究的價值和解決的價值.開放題的題目背景應為學生所熟悉，解決問題的知識應該是學生已經掌握的，是運用現有的知識能夠解決的問題.要把握問題的開放程度和解題難度，使得解題要求多數學生都能夠達到.要掌握開放題的設問方式，語言的提示要恰當，防止引起歧義或將學生思維導入歧途.開放問題的答案應該有明確的對錯標準，易于閱卷評分.開放性問題要具有發(fā)展性，可以引導學生深入研究和思考.

3 開放題的考查實踐

開放性試題以核心素養(yǎng)和關鍵能力為考查目標，在命制開放題時，可以從三個方面進行探索嘗試，一是給出一系列事實或數據，要求考生從中發(fā)現問題并歸納結論或闡釋原理；二是設置條件缺失試題，要求考生補充條件，解決問題；三是給出限制條件，列舉滿足條件的實例.主旨是讓學生在真實性任務情境下，解決有一定挑戰(zhàn)的建構性實踐問題，以鍛煉問題分析與問題解決能力，啟發(fā)創(chuàng)造性與開放性思維.

3.1 列舉實例，考查學以致用

舉例題在2013年的高考新題型測試中已經引入，要求考生通過給出已知結論、性質和定理等條件，從題干中獲取信息，整理信息，寫出符合題干要求的結論或是具體實例[7].在2021年8省聯考中又進一步的測試、考查.

例1(8省聯考試卷第15題)

寫出一個最小正周期為2的奇函數f(x)=．

在2021年的高考中，實際考查了舉例題.

例2(2021年新高考Ⅱ卷第14題)

寫出一個具有性質①②③的函數f(x)=．

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)； ②當x∈(0,+∞)時，f′(x)>0； ③f′(x)是奇函數.

試題要求考生在理解函數性質①②③的基礎上從抽象到具體構建出一個函數f(x).解題的關鍵是理解函數性質，第①條為自變量積的函數等于函數的積，第②條是在x軸正半軸為增函數，第③條導函數是奇函數，則原函數為偶函數.由于答案是開放的，可以有多個答案，例如f(x)=|x|，f(x)=x2等.試題在考查思維的靈活性方面發(fā)揮了很好的作用，同時也給不同水平的考生提供了充分發(fā)揮自己數學能力的空間.

舉例題的特點是條件限定，而滿足條件的結論或具體例子有很多，給了考生更大的發(fā)揮空間.舉例題不同于一般的填空題，一般填空題的正確答案是唯一的，閱卷時與正確答案相同就給分，不相同就不給分.舉例題需要閱卷人員逐一驗證結論，因此對閱卷人員的要求有所提高，閱卷的工作量也相應增大，這要求閱卷機構配合高考內容改革，增加閱卷的人員投入，提高閱卷人員的業(yè)務水平.

例3(2021年高考乙卷文、理科第16題)

以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側視圖和俯視圖，組成某個三棱錐的三視圖，則所選側視圖和俯視圖的編號依次為(寫出符合要求的一組答案即可)．

本題不同于舉例題，不是要學生構造實例，而是給出實例要求學生選擇.但試題沒有給出一個“幾何體”的空間圖形，只給出這個“幾何體”的正視圖①，要求考生在所給的圖②③④⑤四個圖中選出兩個分別作為側視圖和俯視圖，與①組成這個“幾何體”的三視圖.試題的正確答案有二種：②⑤或③④，具有一定的開放性.考生可以先從側視圖入手，借助于空間線面關系，確定相應的俯視圖；也可以先從俯視圖入手，然后選定相應的側視圖.本題不要求學生選出全部的符合要求的答案，而是選出一個即可，不同的答案對應著不同的思考方案，其思維的靈活性體現在方案的選擇上，試題全面考查了考生的空間想象能力，具有較好的選拔性.

3.2 主動選擇，鼓勵獨立思考

2020年新高考中考查的結構不良試題是根據高考的特點，考慮到考生付出的勞動進行改造的試題，即不是讓考生自己尋找條件，而是給出三個條件，讓考生選擇.“這樣既保持了結構不良試題的特點，又保證了考試的公平性.[8]”在新高考的命題實踐中，對結構不良試題進行了進一步的研究，命制了改良版的結構不良試題，要求考生自己選擇結論成立的條件.

例4(2021年高考甲卷理科第18題)

已知數列{an}的各項均為正數，記Sn為{an}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立．

本題給出部分已知條件，要求考生根據試題要求構建一個命題，并證明命題成立.試題設計了三個不同的組合方案，組成三個真命題，給考生充分的選擇空間.選擇什么樣的條件和結論，直接影響到問題的思維和證明過程，考生選什么樣的條件和結論組成命題，體現了考生不同的數學思維角度和方式.這種結構不良試題的適度開放不僅有益于考生在不同層面上發(fā)揮自己的數學能力，而且也有益于對中學數學教學的積極導向，引導中學在數學概念與數學方法的教學中，重視培養(yǎng)數學核心素養(yǎng)，克服“機械刷題”現象，充分考查學生對數學本質的理解.

例5(2021年新高考Ⅱ卷第22題)

已知函數f(x)=(x-1)ex-ax2+b．

(1)討論f(x)的單調性；

(2)從①②兩組條件中選取一組作為已知條件，證明：f(x)恰有一個零點．

本題第(2)問要求考生在①②兩組中選取一組作為已知條件，證明f(x)恰有一個零點.試題的開放性在于考生不能按照既定的條件去證明試題的結論，而必須先選擇①或②，構成完整的命題，進而探索證明方法.試題的開放性要求考生用整體的眼光分析問題，合理選擇新的條件，從而獲得正確的證明途徑.試題第(1)問全面考查了函數單調性的基礎知識和基本思想方法，同時考查考生應用分類討論思想解決問題的能力.根據分類討論的情況，恰當選擇新的條件完成f(x)恰有一個零點的證明，體現了“結構不良問題”適度開放命題的要求，在設計上突出素養(yǎng)導向、能力為重的命題原則.試題對理性思維作了重點考查，對邏輯推理能力，數學抽象能力，直觀想象能力等作了很深入的考查.由于選擇①或選擇②均能證明f(x)恰有一個零點，因此命題設計以適度開放為原則，既有利于選拔，也有利于考生發(fā)揮自己的水平，有利于閱卷評分.

在高考數學中，開放性試題更注重解法的開放，考生對解法的選擇基于其對試題的深入理解、對基礎知識的掌握和自身能力的高低.解法選擇得當可以簡化解題步驟，減少運算過程，降低出錯的幾率，節(jié)省考試時間.解法的選擇更體現出高層次的素養(yǎng)和能力.

新高考Ⅰ卷第18題可以說是一道身臨其境的開放題，要求考生為小明做出決策.小明能正確回答A類問題的概率為0.8，但每題得分20分，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，每題得分80分，要綜合考慮，根據累計得分的期望最大的要求做出決策.

3.3 判斷存在問題，考查批判性思維

例6(2021年新高考Ⅱ卷第18題)

記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知b=a+1，c=a+2．

(1)若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求a；若不存在，說明理由．

本題背景取材于教材，內容貼近學生.試題題干中已知△ABC的對邊分別為a，a+1，a+2，第(2)問要求考生判斷是否存在正整數a，使得△ABC為鈍角三角形，并運用數學推理說明理由.試題進行開放性設計，直覺上會發(fā)現a=3時，△ABC是直角三角形，且∠C是直角.進一步發(fā)現△ABC是鈍角三角形時，cosC<0，由此推理可得正整數a=2.試題命制基于課程標準，重點考查考生的邏輯推理能力和運算求解能力.問題在體現開放性的同時也體現了思維的準確性與有序性.

例7(2021年新高考Ⅰ卷第21題)

(1)求C的方程；

4 開放題的意義

在高考實踐中，開放題對考試命題、高考選拔和中學教學都具有重要的意義.

4.1 推動試題命制的創(chuàng)新

開放題實現了命題的創(chuàng)新并促進了命題的創(chuàng)新.根據傳統(tǒng)的命題要求，試題要有統(tǒng)一的、確定的標準答案.這一要求使得命題者在命題的形式上受到了極大限制: 既要考慮出題的范圍必須限定在相關學科和課程范圍以內，試題內容和解答所需知識不能超出教學大綱要求，又要使試題有確定的答案，同時還要將答案限定在某個范圍以內，因此要限定學生的思考范圍和選擇，有時候為了滿足這些條件而舍棄了一些好題.而開放性試題可以擺脫這些針對封閉性試題的出題限制，給予命題者更大的自由發(fā)揮空間，把題目放大到多學科、多領域、多層面的水平上，因此促進了命題的創(chuàng)新.

4.2 發(fā)揮選拔考試的實效

在高考中，以增強試題的開放性為重點突破口，創(chuàng)新試題形式，增強試題的靈活性，有利于加強核心素養(yǎng)和關鍵能力的考查，發(fā)揮高考科學評價和選拔功能.開放題改變了相對固化的試題形式，減少死記硬背和“機械刷題”現象，考查學生的真才實學，體現了考生的真實水平，增強了考試的實效性.同時，由于每位考生在答題過程中，考慮問題的角度不同，聯想和運用到的知識在內容和細節(jié)方面也各不相同，因此得出的答案也就有所不同.這樣就可以有效地避免學生在考試中互相抄襲答案作弊的現象，從而保證了考試的公平性，提高了考試的實效性，也能夠真正檢測出學生的學習效果和水平，最大程度上實現了考試的目的.

4.3 促進學生自主學習

開放題為學生提供了自己進行思考并用他們自己的想法來表達的機會，要求構建他們自己的題目條件和解題方案，給學生提出了自主學習的要求.同時要求學生表達對問題的深層次的理解，鼓勵學生用不同的方法來解決問題.在解題的過程中可以形成積極探究和創(chuàng)造的心理勢態(tài), 對數學的本質產生新的領悟.開放性題目鼓勵學生積極地去自主探索并大膽聯想，催發(fā)他們的好奇心和求知欲，有利于學習者不斷拓寬視野，擴大知識層面，要求他們在學習過程中，必須不斷加深和提高學習內容的深度和廣度.開放題鼓勵學生積極進行發(fā)散性思考，最大限度地發(fā)揮其創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)他們的思維靈活性和主動創(chuàng)新精神.

4.4 引導中學教學改革

高考中命制開放題有利于引導基礎教育對開放性問題的研究和教學，有利于教師轉變教育觀念，激發(fā)教育熱情，擺脫淺層次的教學循環(huán)，體現教師自身的生命活力.開放題的解決要體現學生的個性，因此教師在教學中要調動學生的學習主動性和思維靈活性，注重培養(yǎng)學生從不同角度和不同層面去分析、解答問題的能力，進而激發(fā)和提高學生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.開放題對學習者所采取的學習方法以及獲取知識的手段也提出了更高的要求，僅僅靠死摳課本內容或死記硬背，應付不了考試.教師必須教育學生應用各種現代化手段去搜索信息、整合知識，并且合理運用這些信息和知識去回答問題.這要求教師具有相應的信息技術素養(yǎng)，能夠運用現代科技去搜集整理以及分析信息，教師的綜合能力需要有進一步的提高.

開放題作為新時期高考改革的有效措施，推動了高考命題的創(chuàng)新，推動了學生學習方式和教師教學的改革.要進一步深化開放題的命題理論與技術的研究，探求其在教育評價改革的積極作用，總結形成具有中國特色的命題經驗.